Сарайский Ю. Н., Алешков И. И. Аэронавигация. Часть 1_СПб ГУГА_2013. Аэронавигация часть I. Основы навигации и

91
Нетрудно догадаться, что в данном случае суммирование чисел заменяется механическим сложением отрезков с длинами a и b . Считать ничего не нужно. Необходимо только правильно установить шкалы друг относительно друга и прочитать готовый результат.
По похожему принципу устроена и логарифмическая линейка, но предназначена она не для сложения и вычитания, а для умножения и деления.
Такая линейка могла появиться только после изобретения Джоном Непером логарифмов (XVII век). Идея ее создания формировалась несколькими учеными того времени, но в виде, наиболее похожем на современный, логарифмическую линейку предложил Вильям Отред (1575-1660), которого можно считать ее изобретателем (рис. 4.2)
Рис. 4.2. Изобретатель логарифмической линейки Вильям Отред
Работа линейки основана на известном свойстве логарифмов: логарифм произведения чисел равен сумме логарифмов этих чисел. Соответственно, и наоборот − логарифм частного равен разности логарифмов:
log (ab)=log a + log b,
log (a/b) = log a – log b.
Идея логарифмической линейки состоит в том, чтобы заменить умножение чисел сложением отрезков, длины которых равны логарифмам этих чисел. Для этого шкалы линейки следует сделать не равномерными, как у измерительной линейки, а логарифмическими. Это означает, что, например, число 2 наносят не на расстоянии, равном двум единицам (например, сантиметрам) от начала шкалы, а на расстоянии, равном логарифму числа 2.
Десятичный логарифм 2 равен 0,301. На шкале откладывают отрезок именно такой длины, но у соответствующего деления пишут 2. Затем откладывают отрезок, равный логарифму числа 3 и пишут возле него число 3 и т.д. Таким образом получают логарифмические шкалы (рис. 4.3).

92
Рис. 4.3. Логарифмические шкалы
Собственно логарифмическая линейка и представляет собой как минимум две шкалы (обычно гораздо больше), которые можно сдвигать относительно друг друга (рис. 4.4).
Рис. 4.4. Фрагмент универсальной логарифмической линейки
Подвижная часть линейки называется движком, а неподвижная –
основанием или корпусом линейки. И на основании, и на движке нанесены различные логарифмические шкалы. Чтобы было удобно устанавливать и отсчитывать числа, вдоль линейки перемещается визирка из стекла или прозрачной пластмассы, на которой нанесена визирная линия. Она облегчает совмещение чисел на разных шкалах, особенно если эти шкалы расположены не рядом.
Необходимо обратить внимание на следующие особенности логарифмических шкал.
1. Логарифмическая шкала начинается с числа 1, а не с числа 0, как у обычной измерительной линейки. Это объясняется тем, что логарифм единицы равен нулю. Ведь на шкале откладываются отрезки, равные логарифмам чисел, но надписаны сами числа.
2. Шкала является неравномерной, поскольку логарифмическая функция нелинейная. Можно видеть (см. рис. 4.3), что расстояние между делениями, обозначенными 2 и 3, меньше, чем между делениями 1 и 2.
Расстояние между 9 и 10 совсем небольшое.
3. Цена нанесенных на шкале более мелких делений различна в разных местах шкалы. Например, интервал от 4 до 5 разделен на десять более мелких делений, а между 8 и 9 – всего на пять. Это означает, что здесь каждое

93 деление соответствует двум единицам более младшего разряда. Интервал же от 1 до 2 разделен на десять делений, но каждое из них разделено еще пополам более короткими рисками. Каждая такая половинка содержит пять единиц еще более мелкого разряда.
Пользоваться линейкой невозможно без умения правильно определять цену деления и устанавливать числа на шкале.
Умножение на логарифмических шкалах выполняется так же, как выполнялось рассмотренное выше сложение на равномерных шкалах. Начало первой шкалы (число 1) (см. рис. 4.3) установлено на первый сомножитель
(им здесь является число 2), а напротив второго сомножителя на первой шкале можно прочитать по второй шкале результат его умножения на 2.
Например, напротив числа 3 стоит 6, напротив 4 стоит 8 и так далее.
Если бы мы захотели умножить число 2, например, на 7, то в том положении шкал, которое изображено на рисунке (см. рис. 4.3), это сделать бы не удалось. Результат умножения оказался бы за пределами шкалы. В таких случаях необходимо, как говорят, «перебросить» одну из шкал, то есть сдвинуть ее так, чтобы напротив первого сомножителя (числа 2) была установлена не единица в начале шкалы, а единица в конце шкалы (иногда вместо единицы там написано 10). В этом случае ответ окажется между цифрами 1 и 2 на нижней шкале. Если посчитать количество более мелких делений от единицы до полученного ответа, то их окажется четыре. Таким образом, первая цифра ответа 1, а вторая 4. то есть получается 14.
Следует помнить важную вещь: на линейке устанавливаются не сами
числа, а только значащие цифры чисел. Это значит, что одно и то же место на шкале соответствует, например, и числу 14, и числу 0,14, и числу 1400, и числу 0,00014… То есть на нули перед первой ненулевой цифрой, и на нули после последней ненулевой цифры можно не обращать внимания. Поэтому умножение, например, 2 на 3, 2000 на 0,03 или 0,002 на 0,3 − все это соответствует одному и тому же положению шкал.
На линейке почти всегда можно получить две-три значащие цифры числа, а если в конкретном месте линейке размеры делений крупные, то при хорошем глазомере можно примерно получить и четвертую цифру. Линейка
– не калькулятор, который точно выдает все цифры ответа. На ней результат оказывается, как правило, приближенным. Это, конечно, не значит, что не следует стремиться устанавливать и отсчитывать числа аккуратно и возможно точнее.
При чисто математических расчетах может вызвать затруднение вопрос: а какое все же число получилось в ответе? Во всех перечисленных случаях последнего примера ответ на шкале будет представлять собой значащую цифру 6. Но что это, просто 6, или 600, или 0,0006? Для решения этого вопроса в принципе существуют формальные правила, которые здесь приводить не будем. Практически удобнее поступить следующим образом: округлить сомножители настолько сильно, до таких «грубых» значений, чтобы их умножение можно было легко выполнить в уме. Порядок

94 полученного «грубого» значения и будет таким же, как у правильного точного ответа.
Например, если умножалось 450 на 0,3, то можно округлить 450 до 100, а 0,3 округлить до 0,1. Нетрудно сосчитать, что 100х0,1=10. На шкалах линейки получатся значащие цифры 1, 3 и 5. Следовательно, ответ 13,5
(ближе всего к округленному ответу 10), а не 1350 и не 0,00135.
Необходимо заметить, что такого рода проблемы возникают только при решении довольно абстрактных математических задач. При решении
навигационных задач обычно проблем нет. Если пилот рассчитывал путевую скорость и получил на линейке число 3, то и так ясно, что скорость 300 км/ч, а 3, не 30 и не 3000.
На логарифмической линейке можно не только делить и умножать. На ней много шкал и некоторые построены таким образом, что откладываются не просто логарифмы чисел, а логарифмы каких-либо элементарных функций этих чисел, например, синусов, квадратов, экспоненциальных функций.
Поэтому на линейке легко выполнять операции и с этими функциями, например, умножить число на тангенс какого-либо угла.
Шкалы навигационной линейки НЛ-10М. Навигационная линейка отличается от обычной универсальной логарифмической линейки тем, что шкалы ее более приспособлены для решения именно навигационных задач.
Впервые в СССР идея навигационной линейки была предложена в 1923 г. конструктором В.Г.Немчиновым, а в 1928 г. штурман авиации
Черноморского флота Л.С.Попов сконструировал первую навигационную линейку. На ней было совсем мало шкал и, следовательно, с ее помощью можно было решать не так много видов навигационных задач.
Но линейка совершенствовалась, появлялись ее новые модификации
(НЛ-7,8,9,10) с дополнительными шкалами. Уже в 1939 г. на линейке было 12 шкал, а последняя модификация НЛ-10М содержит 17 шкал.
Линейка имеет лицевую и обратную стороны (рис. 4.5) и состоит из трех частей: основание (корпус), движок и визирка. Каждая шкала имеет название и номер, позволяющий легко на нее ссылаться.
Мы рассмотрим только некоторые, наиболее часто используемые шкалы линейки. Использование других шкал будет рассмотрено по мере необходимости решения различных навигационных задач.
Наиболее часто используемыми являются шкалы с первой по пятую
(см. рис. 4.5). Рассмотрим их более подробно.
Шкала 1, называемая шкалой расстояний и скоростей, состоит из трех декад. Декада – это часть логарифмической шкалы от одной единицы до другой единицы шкалы. Или, что то же самое, до десятки, поскольку нули на логарифмической шкале не имеют значения. На обычной логарифмической линейке нанесена всего одна декада. В этом ее неудобство, поскольку приходится «перебрасывать движок», когда результат расчета выходит за пределы шкалы.

95
На шкале 1 НЛ-10М нанесено подряд три декады. Они отличаются друг от друга только оцифровкой. Первая декада от 1 до 10, вторая от 10 до
100, третья от 100 до 1000. Поскольку нули в принципе не играют роли, то это три одинаковые декады. Они абсолютно равноценны, хотя и несколько различаются в градуировке мелких делений.
Такое устройство шкалы позволяет перебрасывать движок гораздо реже, ведь если результат расчета вышел за пределы одной декады, то он попал на шкалу следующей.
Шкала 5 является абсолютно такой же, как и шкала 1. Если установить визиркой какое-либо число на шкале 1, оно же окажется установленным на шкале 5.
Шкала 2 называется шкалой времени, но, конечно, на ней можно устанавливать не только время. Вторая (средняя) декада этой шкалы полностью идентична средней декаде шкалы 1. В первой декаде совпадают только оцифрованные деления, а более мелкие – нет. Здесь каждое деление разбито не на 10 частей, а на 6. Ведь это шкала времени, а в минуте 60 секунд, в часе 60 минут. Такое построение шкалы позволяет удобно отсчитывать на ней время. Ответ получится сразу в минутах и секундах, а не в минутах и десятых долях минуты.
Третья декада шкалы 2 также построена так, чтобы было удобно работать с временными величинами. В том месте шкалы, где на шкале 1 стоит число 120, на шкале 2 стоит цифра 2. Напротив 180 стоит 3 и так далее.
Это позволяет получать ответ в часах и минутах (или минутах и секундах).
Ведь, например, 180 минут – это три часа.
Такое построение первой и третьей декад шкалы 2 удобно, если рассчитывается именно время. Если же на этих шкалах рассчитываются величины совсем другого рода, например, расстояния, то такое устройство шкал неудобно – ведь деления разделены на 6 частей.
Шкала 4 называется шкалой тангенсов и оцифрована в градусах от 0,5° до 85°. Деления для углов, меньших, чем десять градусов, разделены на более мелкие минутные деления. Необходимо помнить, что в 1° содержится 60 минут (60') и тогда легко определить цену деления. Например, интервал шкалы от 1° до 2° разделен на шесть делений. Следовательно, каждое деление содержит 10' .
Шкала 3, нанесенная посередине движка, это шкала синусов. Она имеет двойную оцифровку. Начинается с 5° и увеличивается вправо до 90° по нижней части шкалы, а потом возрастает уже влево по верхней части шкалы до 175° . Таким образом, например, 15° и 165° – это фактически одно и то же место на шкале. Ничего удивительного в этом нет, поскольку
sin α = sin (180 – α).
На шкале синусов вблизи значения 90° деления расположены настолько близко, что не хватило места для их оцифровки. После значения

96 60° следующее оцифрованное значение уже 90°, а 70° и 80° не оцифрованы.
В этом случае, чтобы найти нужное место на шкале, следует обращать внимание на длину рисок, поскольку все десятиградусные риски одной длины.
Если угол, синус которого необходимо определить, составляет менее
5°, то для его определения следует пользоваться шкалой тангенсов (шкала 4).
Это объясняется тем, что синусы и тангенсы малых углов очень близки и неразличимы в пределах точности линейки. Поэтому разработчики линейки решили, что нет необходимости наносить рядом две практически одинаковые шкалы.
Шкала 6 обозначена на линейке как «V:100». Это объясняется тем, что при определении радиуса разворота на ней устанавливается истинная скорость, выраженная в сотнях километров в час. На этой шкале нанесены значения, которые являются квадратными корнями из значений на шкале 5, поэтому с помощью шкал 5 и 6 можно возводить числа в квадрат и извлекать корни.
Основные ключи для расчетов на НЛ-10М. Небольшие графические схемы, подсказывающие как решить ту или иную задачу на линейке, в авиации издавна называют «ключами». Ключ показывает, на каких шкалах следует устанавливать исходные данные, как шкалы должны быть сдвинуты друг относительно друга и где отсчитать ответ. Приведем только несколько самых распространенных ключей. Другие будут рассмотрены далее, а некоторые уже нами использовались.
1. Умножение чисел можно выполнить на шкалах 1 и 2 в соответствии с ключом (рис. 4.6).
Рис. 4.6. Умножение чисел
Число 10 на шкале 2 линейки (оно обведено квадратом, чтобы легче найти) следует, сдвинув движок, установить на первый сомножитель a по шкале 1. Тогда напротив второго сомножителя b (на шкале 2) можно по шкале 1 отсчитать результат умножения ab.
Число 10, обведенное в квадратик, является «единицей» (началом) второй декады шкалы. Вместо нее может использоваться и единица первой декады (надписана как 1) или единица третьей декады (обозначена как 100 и тоже обведена прямоугольником).

97
Рис. 4.5. Лицевая и обратная стороны навигационной линейки НЛ-10М

2. Деление чисел – операция обратная умножению (рис. 4.7).
Рис. 4.7. Деление чисел
3. Расчет расстояния, скорости, времени. При решении навигационных задач часто требуется, зная скорость W и время t, определить пройденное за это время расстояние S. Или наоборот, по скорости и известному расстоянию определить время полета, либо определить скорость, зная, что ВС за определенное время прошло определенное расстояние. Соотношения, связывающие эти величины, всем известны:
.
W
S
t
;
t
S
W
;
Wt
S



Таким образом, решение этих задач сводится к умножению или делению, выполнение которых на линейке уже рассмотрено. Но есть небольшая проблема, связанная с единицами измерения этих величин. В авиации в полете по маршруту принято расстояние измерять в километрах, скорость в километрах в час, а время – в минутах. Если просто в соответствии с приведенными формулами, например, расстояние поделить на скорость, то время получится, разумеется, в часах, а не в минутах, как требуется. Но полученные часы легко перевести в минуты – для этого на этих же шкалах нужно умножить время на 60.
Обе проведенные математические операции можно объединить одним ключом (рис. 4.8).
Рис. 4.8. Расчет расстояния, времени или скорости
Вместо числа 60 на шкале 2 стоит треугольник красного цвета, что облегчает использование ключа.
По данному ключу можно решать любую из трех перечисленных задач, то есть находить расстояние, время, или скорость.

99 4. Перевод скорости из километров в час в метры в секунду или
обратно. В километре 1000 метров, а в часе 3600 секунд. Поэтому, чтобы перевести скорость из м/с в км/ч, необходимо ее умножить на 3600, получив количество метров, пройденных за час, а затем, чтобы получить километры, разделить на тысячу. В итоге получается, что нужно умножить на 3,6. На соответствующем этому числу месте шкалы 2 стоит красный полузакрашенный кружок.
С помощью ключа можно перевести скорость из м/с в км/ч и из км/ч в м/с (рис. 4.9).
Рис. 4.9. Изменение единиц измерения скорости
По этому же ключу можно определить время по расстоянию или расстояние по времени. Для этого нужно установить скорость (десяткой в квадратике, если она выражена в м/с, или красным кружком, если она в км/ч).
В этом случае напротив любого расстояния будет стоять соответствующее время. Но, в отличие от ключа (см. рис.4.8), в данном случае время будет выражено в секундах, а не в минутах.
Этот ключ удобен для расчета элементов захода на посадку, когда время полета на участках схемы захода короткое и для точного определения его лучше рассчитывать в секундах.
5. Умножение и деление числа на тригонометрическую функцию.
Для умножения любого числа a на синус или тангенс какого-либо угла α необходимо установить черный треугольник, нанесенный на шкале 4, на число a по шкале 5 и напротив значения угла α отсчитать на той же шкале 5 результат умножения, то есть asin α. При умножении на синус угол следует установить на шкале синусов, а при умножении на тангенс – на шкале тангенсов (рис. 4.10)..
Рис. 4.10. Умножение на тригонометрическую функцию
Умножение числа на косинус угла также выполняется с помощью шкалы синусов. При этом используется известный факт, что косинус угла α

100 равен синусу (90°− α). Следовательно, для умножения на косинус на шкале 3 нужно установить не сам угол, а его дополнение до 90° .
6. Деление числа на тригонометрическую функцию – операция обратная умножению. Найти частное от деления числа, например, на синус угла – это значит найти такое число, которое при умножении на синус даст исходное число.
Чтобы разделить число на тригонометрическую функцию необходимо совместить число на шкале 5 и значение угла (на шкале синусов или тангенсов, в зависимости от вида тригонометрической функции). Результат можно отсчитать напротив черного треугольника (рис.4.11).
Рис. 4.11. Деление на тангенс
При делении на косинус на шкале устанавливается не сам угол, а его дополнение до 90°.

перейти в каталог файлов