Д. В. Хомицкий А. С. Гаревский

- 12 -
Выполним проверку, вычислив произведение
1
−
AA
, в результате получив единичную матрицу.
Пример 2. Найти матрицу
X
из уравнения
1 1
1 2
3 1
5 2
=
X
Решение. Уравнение имеет вид
B
AX
=
, откуда
B
A
X
1
−
=
Находим обратную матрицу для матрицы
A
, для которой имеем
2 1
5 3
1
−
−
=
−
A
Вычисляя произведение
B
A
X
1
−
=
, получаем ответ
1 0
2 1
−
=
X
Выполним проверку, подставив найденную матрицу
X
в исходное уравнение. После вычисления произведения
AX
получается матрица, равная матрице
B
в правой части уравнения.
Задачидлясамостоятельногорешения.
3.1.
Найти обратную матрицу для матрицы A поворота в плоскости
( )
xy
на угол
ϕ
,
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
cos sin sin cos
−
=
A
3.2.
Найти обратную матрицу для следующих матриц 3-го порядка:
1)
1 0
0 0
1 0
0 2
1
−
=
A
2)
1 1
1 1
2 0
0 1
2
−
−
−
−
=
A
3.3.
Пусть матрица A удовлетворяет уравнению
O
E
A
A
=
+
+
2
, где E- единичная, а
O
- нулевая матрицы. Доказать, что
1
−
A
существует и найти её.
3.4.
Пусть матрицы A и B коммутируют, т.е.
BA
AB
=
, и имеют обратные.
Доказать, что в этом случае выполняется
1 1
1 1
−
−
−
−
=
A
B
B
A
3.5.
Пусть матрицы A и
C
не вырождены. Решить матричные уравнения и выразить неизвестную матрицу X :
1)
O
AX
=
2)
B
AX
=
3)
B
XA
=
4)
B
AXC
=
5)
(
)
B
C
X
A
=
+

- 13 -
3.6.
Найти обратную матрицу для матрицы
I
E
A
λ
−
=
, где Е – единичная матрица, I – квадратная матрица такая, что
E
I
=
2
,
λ – число, причём
1
<
λ
3.7.
Найти матрицу X из уравнения:
1)
1 1
1 1
1 1
1 1
−
−
=
X
2)
1 0
1 1
1 0
1 1
X
X
=
3)
2 0
0 0
1 1
1 1
1
=
−
X
X
4)
3 3
10 2
4 5
2 7
3 1
3 2
=
X
5)
1 2
3 2
5 4
2 3
3 4
6 5
=
−
−
−
X
6)
1 8
5 2
5 5
2 2
1 2
1 2
1 2
2
−
=
−
−
−
X
3.8.
Показать, что определитель унитарной матрицы
U
с комплексными элементами, обладающей свойством
+
−
=
U
U
1
, является комплексным числом, модуль которого равен единице.
4.
Системылинейныхуравненийкрамеровскоготипа
Системой
m
линейных уравнений с
n
неизвестными называется система
m
равенств, записываемая в матричном виде как
b
x
=
A
, где вектор-столбец
(
)
T
n
x
x
,
,
1
K
=
x
есть набор неизвестных, вектор
(
)
T
m
b
b
,
,
1
K
=
b
называется столбцом свободных членов, а коэффициенты матрицы A порядка
n
m
×
являются коэффициентами при неизвестных. Если
n
m
=
и
0
b
≠
, то система называется системой крамеровского типа. Она имеет единственное решение при условии
0
det
≠
A
и не имеет решений при
0
det
=
A
В случае
0
det
≠
A
её единственной решение находится по формулам Крамера:
∆
∆
=
j
j
x
, где
A
det
=
∆
, а
j
∆
есть определители, полученные заменой j -го столбца A на столбец свободных членов. Системы линейных уравнений можно также решать метод последовательного исключения неизвестных, или методом Гаусса.
Пример 1. Решить систему линейных уравнений третьего порядка, используя формулы Крамера:





=
+
=
−
+
=
−
+
3 3
2 3
2 2
3 1
3 2
1 3
2 1
x
x
x
x
x
x
x
x

- 14 -
Решение. Прежде всего, вычислим определитель системы
2 1
0 1
2 1
3 1
1 2
−
=
−
−
=
∆
Поскольку
0
≠
∆
, система имеет единственное решение. Вычисляем остальные определители:
4 1
0 3
2 1
3 1
1 2
1
−
=
−
−
=
∆
,
2 1
3 1
2 3
3 1
2 2
2
=
−
−
=
∆
, и
2 3
0 1
3 1
3 2
1 2
3
−
=
=
∆
Далее по формулам Крамера находим решение системы:
2 1
1
=
∆
∆
=
x
,
1 2
2
−
=
∆
∆
=
x
,
1 3
3
=
∆
∆
=
x
Подставив найденные значения неизвестных в исходную систему уравнений, убеждаемся, что уравнения превращаются в тождества.
Пример 2. . Решить систему линейных уравнений третьего порядка, используя формулы Крамера:




=
+
−
−
=
+
−
=
+
−
5 7
4 4
5 3
9 3
2 3
2 1
3 2
1 3
2 1
x
x
x
x
x
x
x
x
x
Решение. Вычислим определитель системы
0 1
7 4
1 5
3 3
1 2
=
−
−
−
=
∆
Поскольку
0
=
∆
, а система является неоднородной, имея ненулевой столбец свободных членов, то решения не существует. Система является несовместной.
Задачидлясамостоятельногорешения.
4.1.
Решить систему линейных уравнений третьего порядка по формулам
Крамера:
1)




=
+
+
=
+
+
−
=
+
6 7
5 3
3 5
3 2
1 3
3 2
1 3
2 1
3 2
x
x
x
x
x
x
x
x
2)





=
+
−
−
=
+
−
=
+
−
5 7
4 4
5 3
9 3
2 3
2 1
3 2
1 3
2 1
x
x
x
x
x
x
x
x
x
4.2.
Найти коэффициенты квадратичного многочлена
( )
c
bx
ax
x
f
+
+
=
2
, зная, что
( )
1 1
−
=
f
,
( )
9 1
=
−
f
и
( )
3 2
−
=
f

- 15 -
4.3.
Решить систему четвертого порядка, используя формулы Крамера либо метод исключения неизвестных:
1)







=
+
+
−
−
=
+
−
+
=
−
−
−
=
−
+
+
11 2
3 2
5 2
2 3
2 3
2 2
1 2
3 2
4 3
2 1
4 3
2 1
4 3
2 1
4 3
2 1
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
2)







−
=
+
+
−
=
−
−
+
−
=
+
−
+
=
−
+
−
7 6
7 3
9 2
2 3
7 4
4 3
2 6
3 2
4 3
2 1
4 3
2 1
4 3
2 1
4 3
2 1
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
3)







=
+
−
−
−
=
−
+
−
=
+
+
−
=
+
−
−
22 9
4 3
4 2
3 5
3 2
3 5
2 3
4 3
2 1
4 2
1 4
3 2
1 4
3 2
1
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
4)







−
=
+
+
−
=
−
−
−
−
=
+
+
+
=
−
+
+
8 2
4 8
5 3
2 2
3 4
4 3
2 4
3 8
3 4
3 2
1 4
3 2
1 4
3 2
1 4
3 2
1
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
4.4.
Найти коэффициенты многочлена третьей степени
( )
d
cx
bx
ax
x
f
+
+
+
=
2 3
, для которого
( )
0 1
=
−
f
,
( )
4 1
=
f
,
( )
3 2
=
f
и
( )
16 3
=
f
5.
Системыоднородныхлинейныхуравнений
При нулевом столбце свободных членов
0
b
=
система линейных уравнений
0
x
=
A
называется однородной. Однородная система всегда совместна, поскольку нулевое решение
(
)
T
0
,
0
,
0
K
=
x
обращает все уравнения системы в тождества. В случае квадратной матрицы A при
0
det
≠
A
по формулам Крамера для неё существует лишь тривиальное решение
0
x
=
Таким образом, условием наличия нетривиального решения однородной системы с квадратной матрицей является равенство нулю её определителя. В общем случае прямоугольной матрицы
n
m
×
системы её решения, т.е.
n
- компонентные вектора
(
)
T
n
x
x
,
,
1
K
, представляют собой множество, являющееся линейным векторным пространством. Число линейно независимых решений, т.е. размерность пространства, равна
r
n
−
, где
)
rang(A
r
=
Базис в этом пространстве называется фундаментальной системой решений (ФСР).
Для нахождения ФСР в матрице A выделяют базисные строки и рассматривают лишь уравнения, содержащиеся в этих строках. Далее в них выделяют базисные столбцы, а переменные, не содержащиеся в базисных столбцах, считают свободными и переносят в правую часть. Таких свободных переменных насчитывается
r
n
−
штук. Формируя из них
r
n
−
линейно независимых столбцов высоты
r
n
−
, решают
r
n
−
раз получившуюся систему крамеровского типа, находя ФСР из векторов
{
}
r
n
−
e
e
,
,
1
K
Общее решение

- 16 -
OO
x
однородной системы является линейной комбинацией векторов ФСР и содержит
r
n
−
произвольных постоянных, т.е.
∑
−
=
=
r
n
k
k
k
OO
C
1
e
x
Пример 1. Найти ФСР и записать общее решение системы линейных однородных уравнений:



=
−
+
=
+
+
0 0
3 2
1 3
2 1
x
x
x
x
x
x
Решение. Определим вначале ранг матрицы системы
1 1
1 1
1 1
−
=
A
Максимальный размер минора в данном случае равен двум. Минор второго порядка, составленный из элементов второго и третьего столбцов, является базисным, поскольку равен
2 1
1 1
1
−
=
−
=
M
, то есть ранг матрицы равен двум.
Число неизвестных равно трём, поэтому число линейно независимых решений есть
1
=
−
r
n
Найдём базис в пространстве решений, т.е. ФСР. Для этого оставим в левой части переменные, коэффициенты при которых составляют базисный минор:



−
=
−
−
=
+
1 3
2 1
3 2
x
x
x
x
x
x
Придав переменной
1
x
значение
1 1
=
x
, решаем полученную систему крамеровского типа, находя
1 2
−
=
x
и
0 3
=
x
Таким образом, ФСР состоит из одного вектора
(
)
T
0
,
1
,
1 1
−
=
e
, а общее решение системы содержит одну произвольную постоянную и имеет вид
1
e
x
C
=
Пример 2. Пусть столбцы
(
)
T
0
,
0
,
1
,
1 1
−
=
e
и
(
)
0
,
0
,
1
,
0 2
−
=
e
являются
ФСР некоторой системы однородных линейных уравнений.
Из скольких уравнений может состоять эта система?
Решение. Число неизвестных можно определить по размерности вектора решений, которая в данном случае равна четырём, т.е.
4
=
n
Далее, размерность пространства решений равна числу векторов в ФСР, т.е. в данном случае двум. Следовательно, ранг матрицы системы
r
удовлетворяет уравнению
2 4
=
−
r
, откуда
2
=
r
Матрица, имеющая ранг
2
=
r
, должна иметь порядок не менее двух, то есть у неё должно быть не менее двух строк.
Кроме того, матрица может иметь ещё строки, не входящие в базисный минор.
Но каждая строка матрицы системы представляет одно из её уравнений, поэтому данная система состоит из двух или более уравнений.

- 17 -
Задачидлясамостоятельногорешения.
5.1.
Найти ФСР и записать общее решение системы линейных однородных уравнений:
1)



=
−
+
=
+
−
0 2
0 3
2 1
3 2
1
x
x
x
x
x
x
2)



=
+
+
=
+
+
0 3
4 2
0 2
3 3
2 1
3 2
1
x
x
x
x
x
x
3)



=
+
+
−
=
+
+
−
0 2
6 4
0 3
3 8
5 4
3 2
1 4
3 2
1
x
x
x
x
x
x
x
x
4)





=
+
+
+
−
=
+
+
+
−
=
+
−
+
−
0 2
8 2
0 7
5 2
4 0
4 2
3 2
5 4
3 2
1 5
4 3
2 1
5 4
3 2
1
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
5)







=
+
=
−
+
=
+
+
=
+
+
0 2
0 4
0 9
6 3
0 6
4 2
3 2
3 2
1 3
2 1
3 2
1
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
6)







=
−
−
+
=
−
−
+
=
−
−
+
=
+
+
+
0 14 9
0 11 7
0 2
0 4
3 2
1 4
3 2
1 4
3 2
1 4
3 2
1
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
7)







=
+
+
=
+
−
=
+
−
=
+
+
0 4
17 0
4 5
3 0
3 2
0 2
3 3
2 1
3 2
1 3
2 1
3 2
1
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
8)







=
+
+
=
+
+
=
+
+
=
+
+
0 7
16 3
0 12 7
7 0
5 2
3 0
2 2
3 2
1 3
2 1
3 2
1 3
2 1
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
5.2.
Пусть столбцы
(
)
T
0
,
0
,
1
,
1 1
−
=

перейти в каталог файлов