Д. В. Хомицкий А. С. Гаревский

- 30 -
9.3.
Выяснить, можно ли в вещественном пространстве
n
R
ввести скалярное произведение по формуле:
1)
( )
2 2
1 1
3 2
,
y
x
y
x
+
=
y
x
,
2
=
n
;
2)
( )
2 2
1 2
2 1
1 1
3
,
y
x
y
x
y
x
y
x
+
−
−
=
y
x
,
2
=
n
9.4.
Выяснить, можно ли в унитарном пространстве
n
C
ввести скалярное произведение по формуле:
1)
( )
2 2
1 1
4 3
,
y
x
y
x
+
=
y
x
, а)
2
=
n
, б)
3
=
n
;
2)
( )
2 1
,
y
x
=
y
x
,
2
=
n
;
3)
( )
1 2
2 1
,
y
ix
y
ix
+
=
y
x
,
2
=
n
;
4)
( )
( )
( )
2 2
1 2
2 1
1 1
3 1
1
,
y
x
y
x
i
y
x
i
y
x
+
−
+
+
+
=
y
x
,
2
=
n
;
5)
( )
2 2
1 1
5
,
y
ix
y
x
+
=
y
x
,
2
=
n
9.5.
Можно ли в линейном пространстве квадратных матриц второго порядка ввести скалярное произведение по формуле
(
)
2 1
2 1
1 2
2 1
,
d
d
c
c
b
b
a
a
B
A
−
+
−
=
, где
1 1
1 1
d
c
b
a
A
=
и
2 2
2 2
d
c
b
a
B
=
?
Предложить свой способ введения скалярного произведения в пространстве матриц.
9.6.
Показать, что скалярное произведение в пространстве многочленов степени, не превосходящей двух, может быть введено по формуле
(
) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1 1
0 0
1 1
,
g
f
g
f
g
f
g
f
⋅
+
⋅
+
−
⋅
−
=
9.7.
Показать, что в пространстве многочленов степени не выше
n
скалярное произведение может быть задано с помощью коэффициентов многочленов
(
)
n
a
a
a
,
,
,
1 0
K
и
(
)
n
b
b
b
,
,
,
1 0
K
по формуле
( )
∑
=
=
n
i
i
i
b
a
g
f
0
,
Вычислить матрицу Грама такого скалярного произведения в базисе
{
}
n
t
t
t
,
,
,
,
1 2
K
9.8.
Показать, что скалярное произведение в пространстве вещественных функций, интегрируемых на отрезке
[ ]
b
a,
, может быть введено по формуле
( )
( ) ( )
∫
=
b
a
dx
x
g
x
f
g
f ,

- 31 -
9.9.
В комплексном пространстве
2
C
скалярное произведение введено по формуле
( )
( )
( )
2 2
1 2
2 1
1 1
3 1
1
,
y
x
y
x
i
y
x
i
y
x
+
−
+
+
+
=
y
x
, а также выбран новый базис
(
)
0
,
1 1
=
f
,
(
)
1
,
1 2
−
=
f
Найти матрицу Грама в базисе
{
}
2 1
,f
f
, а также выразить скалярное произведение
( )
y
x,
через компоненты x и
y
в этом базисе.
9.10.
Доказать, что в унитарном пространстве из равенства
( )
0
,
=
y
x
следует равенство
2 2
2
y
x
y
x
+
=
+
Что можно сказать о значении
( )
y
x,
, если известно, что в унитарном пространстве последнее равенство выполнено?
9.11.
Найти ошибку в доказательстве: «В евклидовом пространстве
n
R
дан произвольный базис
{
}
n
e
e
,
,
1
K
Координаты элемента
k
e
в данном базисе все равны нулю, кроме
( )
1
=
k
k
e
Тогда при
k
p
≠
скалярное произведение двух различных векторов базиса
(
)
0 0
0 1
0 0
1 0
0
,
=
⋅
+
+
⋅
+
+
⋅
+
+
⋅
=
K
K
K
p
k
e
e
, т.е. базис является ортонормированным».
9.12.
В пространстве
4
R
даны три линейно независимых вектора
(
)
2
,
1
,
1
,
0
,
1 1
−
=
x
,
(
)
2
,
1
,
1
,
0
,
1 2
−
−
=
x
и
(
)
0
,
0
,
3
,
0
,
1 3
=
x
Построить по методу Грама-Шмидта ортонормированный базис в линейной оболочке этих векторов.
9.13.
В пространстве многочленов степени не выше двух с базисом
{
}
2
,
,
1
x
x
задано скалярное произведение
(
) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1 1
0 0
1 1
,
g
f
g
f
g
f
g
f
⋅
+
⋅
+
−
⋅
−
=
Построить по методу Грама-Шмидта ортонормированный базис в этом пространстве.
9.14.
Построить по методу Грама-Шмидта первые три ортонормированные вектора в
1
+
n
- мерном пространстве многочленов
{
}
n
t
t
t
,
,
,
,
1 2
K
, если скалярное произведение задано как
(
)
( ) ( )
∫
−
=
1 1
,
dx
x
g
x
f
g
f

- 32 -
9.15.
Построить по методу Грама-Шмидта первые три вектора ортонормированного базиса в бесконечномерном пространстве функций
( )
(
)
nx
Exp
x
f
n
−
=
,
,...
2
,
1
,
0
=
n
, если скалярное произведение задано как
(
)
( ) ( )
∫
∞
=
0
,
dx
x
g
x
f
g
f
9.16.
Показать, что в пространстве непрерывных на
[ ]
1
,
0
функций со скалярным произведением
( )
( ) ( )
∫
=
1 0
,
dx
x
g
x
f
g
f
угол между соседними векторами
1
−
=
n
n
t
f
и
n
n
t
=
+
1
f
стремится к нулю при
∞
→
n
9.17.
В комплексном пространстве
n
C
со скалярным произведением
( )
∑
=
=
n
k
k
k
y
x
1
, y
x
построить базис в ортогональном дополнении
⊥
M
подпространства
M
, если компоненты векторов
M
∈
x
удовлетворяют уравнению:
1)
( )
0 1
3 2
1
=
−
+
+
x
i
ix
x
,
3
=
n
;
2)
(
)
0 2
3 2
1
=
−
+
+
−
x
x
i
ix
,
3
=
n

- 33 -
Глава 3. Линейныеоператоры
С элементами линейных пространств можно производить различные преобразования, которые в линейной алгебры сами, в свою очередь, являются линейными. В курсе аналитической геометрии уже рассматривались линейные преобразования координат, например, повороты вокруг какой-либо оси, каждому из которых была сопоставлена некоторая матрица. Линейные преобразования, или операторы, а также их матричные представления, играют исключительно важную роль в квантовой физике, где каждой физически наблюдаемой величине сопоставляется определённый самосопряжённый оператор.
10.
Определениеиматричнаязаписьлинейныхоператоров
Линейным оператором
A
, действующим из линейного пространства
L
в линейное пространство
M
, называется отображение, сопоставляющее элементу
L
∈
x
элемент
M
∈
y
и линейное по своему аргументу:
(
)
( )
( )
2 1
2 1
x
x
x
x
A
A
A
β
α
β
α
+
=
+
Заметим, что образы элементов
L
∈
2
,
1
x
являются, вообще говоря, элементами другого пространства
M
, при этом всегда
( )
0
0
=
A
Множество образов
( )
M
A
∈
x
всех векторов
L
∈
x
называется образом оператора
A
и обозначается
A
im
Множество векторов
L
∈
x
, отображающихся в нулевой элемент пространства M , называется ядром оператора
A
и обозначается
A
ker
Если образ элементов пространства
L
также лежит в
L
, то линейный оператор
A
называется линейным преобразованием пространства
L
В дальнейшем, если особо не оговорено, мы будем понимать под операторами линейные преобразования соответствующих пространств. Среди операторов выделяют единичный оператор
E
, обладающий свойством
L
∈
∀
x
x
x
=
E
Произведение операторов
A
и
B
определяется как оператор, действующий по правилу
( )
( )
(
)
x
x
B
A
AB
=
Как и в случае произведения матриц, умножение операторов некоммутативно и в общем случае
BA
AB
≠
, при этом разность
[ ]
BA
AB
B
A
−
≡
,
называется коммутатором данных операторов. В случае равенства коммутатора нулевому оператору отображения
A
и
B
называются коммутирующими (перестановочными).

- 34 -
Пусть в
n
- мерном линейном пространстве L выбран базис
{
}
n
e
e
,
,
1
K
Подействуем на каждый из базисных векторов линейным оператором
A
, в результате чего получится набор образов базисных векторов
{
}
n
A
A
e
e
,
,
1
K
Каждый вектор из данного набора можно разложить по базису
{
}
n
e
e
,
,
1
K
, при этом любому вектору
j
Ae
будет отвечать столбец своих координат высоты
n
Всего будем иметь
n
столбцов, которые, следовательно, образуют квадратную матрицу A порядка
n
, называемую матрицей линейного оператора A в базисе
{
}
n
e
e
,
,
1
K
Единичному оператору соответствует единичная матрица. Данное определение, очевидно, можно обобщить на случай отображения
n
- мерного пространства L в
m
- мерное пространство M , в результате чего матрица оператора
A
будет прямоугольной матрицей порядка
n
m
×
Оператор
1
−
A
, удовлетворяющий соотношению
E
AA
A
A
=
=
−
−
1 1
, называется обратным оператором для данного оператора
A
Необходимым и достаточным условием наличия обратного для данного
A
является его взаимная однозначность, т.е. наличие в
A
ker лишь нулевого элемента.
Матрица обратного оператора равна обратной матрице исходного оператора, откуда видно, что обратимым может быть лишь отображение между двумя пространствами с одинаковой размерностью, либо преобразование линейного пространства. Для примера рассмотрим линейное преобразование двумерного пространства с матрицей
0 0
0 1
=
A
Поскольку
0
det
=
A
, данное преобразование не имеет обратного. Убедимся, что ядро оператора A в данном случае состоит не только из нулевого элемента: для множества векторов вида
(
)
T
1
,
0 0
α
=
x
имеем
0
x
=
0
A
, т.е.
A
ker
0
∈
x
Рассматривая действие данного оператора на произвольный вектор
(
)
T
x
x
2 1
,
=
x
, получаем, что образом оператора является одномерное, как и ядро, пространство векторов
(
)
0
,
1
im
1
x
A
=
Если при помощи невырожденной матрицы
S
выполнен переход от базиса
{
}
n
e
e
,
,
1
K
к базису
{
}
n
f
f
,
,
1
K
, то матрица
f
A
оператора
A
в новом базисе связана с матрицей
e
A
в старом базисе соотношением
S
A
S
A
e
f
1
−
=

- 35 -
Пример 1. Выяснить, является ли данное преобразование пространства
n
R
линейным:
( )






−
=
2 1
2
x
x
x
A x
,
2
=
n
;
Решение. Проверяем линейность преобразования по формуле
(
)
( )
( )
y
x
y
x
A
A
A
β
α
β
α
+
=
+
Имеем:
(
) (
)
T
y
y
x
x
y
x
A
))
(
)
(
(
),
(
2 1
2 1
2 2
−
+
−
+
=
+
β
α
β
α
β
α
y
x
, что равно
(
)
(
)
( )
( )
y
x
A
A
y
y
y
x
x
x
T
T
β
α
β
α
+
=
−
+
−
2 1
2 2
1 2
,
,
, т.е. данное преобразование является линейным.
Пример 2. Записать в декартовом базисе трёхмерного пространства матрицу оператора проектирования на прямую линию, заданную уравнением
0
=
=
z
x
Решение. Матрица любого линейного оператора в данном базисе может быть построена при рассмотрении действия этого оператора на базисные вектора.
Направляющий вектор
a
данной прямой имеет координаты
(
)
1
,
1
,
1
Обозначим проекцию каждого из единичных векторов декартового базиса как '
i
e
Все вектора '
i
e
параллельны
a
и имеют длину, равную направляющему косинусу вектора
a
, т.е.
3 1
Компоненты '
i
e
в исходной декартовой системе получаются после проектирования '
i
e
на оси системы координат, что даёт
(
)
T
T
i
1
,
1
,
1 3
1 3
1
,
3 1
,
3 1
3 1
'
=






=
e
Так выглядит любой из столбцов матрицы оператора, которая окончательно имеет вид
1 1
1 1
1 1
1 1
1 3
1
=
A
Задачидлясамостоятельногорешения.
10.1.
Выяснить, является ли данное преобразование пространства
n
R
линейным:
1)
( )






=
2 1
2
x
x
x
A x
,
2
=
n
; 2)
( )






−
=
2 1
2
x
x
x
A x
,
2
=
n
;
3)
( )






=
2 1
2
x
x
x
A x
,
2
=
n
; 4)
( )










−
=
3 1
2 3
x
x
x
A x
,
3
=
n
;

- 36 -
5)
( )










−
+
=
2 1
1 3
1 3
2 2
x
x
x
x
x
x
A x
,
3
=
n
; 6)
( )
0
x
=
A
;
7)
( )










+
=
2 2
2 1
3 0
x
x
x
A
перейти в каталог файлов