Д. В. Хомицкий А. С. Гаревский

y
x,
, где матрица билинейной формы определена через её значения на базисных векторах как
( )
j
i
ij
B
b
e
e ,
=
В координатах векторов x и
y
значения форм записываются как
( )
∑
=
=
n
j
i
j
i
ij
y
x
b
B
1
,
, y
x
и
( )
∑
=
=
n
j
i
j
i
ij
x
x
a
A
1
,
x
, при этом

- 44 - матрица ij
a
квадратичной формы всегда является симметричной. В частности, скалярное произведение в вещественном евклидовом пространстве представляет собой билинейную форму с симметричной матрицей, являющейся матрицей Грама. Если при помощи невырожденной матрицы
S
выполнен переход от базиса
{
}
n
e
e
,
,
1
K
к базису
{
}
n
f
f
,
,
1
K
, то матрица
f
B
билинейной формы
B
в новом базисе связана с матрицей
e
B
в старом базисе соотношением
S
B
S
B
e
T
f
=
Базис, в котором матрица квадратичной формы имеет диагональный
(
канонический) вид, называется каноническим базисом. Квадратичная форма в таком базисе является суммой квадратов координат её аргумента,
( )
∑
=
=
n
i
i
i
x
A
1 2
λ
x
, где коэффициенты
(
)
n
λ
λ
K
,
1
называются каноническими коэффициентами. Привести билинейную (квадратичную) форму к каноническому виду, или диагонализовать её, означает построить суперпозицию невырожденных преобразований базисов, в последнем из которых матрица формы является диагональной, при этом числа на диагонали матрицы будут искомыми каноническими коэффициентами. Один из методов диагонализации, известный как метод Лагранжа, заключается в пошаговом выделении полного квадрата каждой из координат в выражении для формы
( )
x
A
Другой метод основан на выполнении в евклидовом пространстве равенства
( ) (
)
y
x
y
x
,
,
A
B
=
, где
A
- некоторый самосопряжённый оператор, называемый присоединенным к билинейной (квадратичной) форме
( )
y
x,
B
В ортонормированном базисе матрицы билинейной формы и присоединённого оператора совпадают, поэтому в новом базисе, состоящем из собственных векторов присоединённого оператора
A
, билинейная (квадратичная) форма имеет диагональный вид, а её каноническими коэффициентами являются собственные значения оператора
A
Поскольку переход от одного ортонормированного базиса к другому осуществляется ортогональным либо унитарным преобразованием, данный способ приведения к каноническому виду называется приведением ортогональным преобразованием.
Пример 1. По заданной квадратичной форме
2 2
2 1
9 18
x
x
x
A
+
−
=
составить билинейную форму в пространстве
2
R
и записать её матрицу.
Решение. Как известно, по заданной квадратичной форме
( )
x
A
может быть построена симметричная билинейная форма, задаваемая выражением

- 45 -
( )
(
) ( ) ( )
(
)
y
x
y
x
y
x
A
A
A
B
−
−
+
=
2 1
,
Используя эту формулу, получаем, что для данной
( )
x
A
билинейная форма имеет вид
( )
2 2
1 2
2 1
9 9
9
,
y
x
y
x
y
x
B
+
−
−
=
y
x
, и ей соответствует матрица
9 9
9 0
−
−
=
B
Выполним проверку, подставив найденную билинейную форму в выражение
( ) ( )
x
x
x
,
B
A
≡
для квадратичной формы, получив в результате исходное выражение для
( )
x
A
Пример 2. Привести квадратичную форму
( )
4 3
2
x
x
A
=
x
в пространстве
4
R
к каноническому виду методом Лагранжа, найдя канонические коэффициенты и преобразование базиса.
Решение. В исходной форме отсутствует слагаемое с квадратом какой-либо из координат, поэтому сразу произвести выделение полного квадрата невозможно.
По аналогии с задачами аналитической геометрии о приведении уравнений кривых второго порядка к каноническому виду можно применить преобразование поворота





+
=
−
=
2 2
4 3
4 4
3 3
y
y
x
y
y
x
по переменным
4 3
, x
x
, оставив
1 1
x
y
=
и
2 2
x
y
=
В новых координатах квадратичная форма сразу примет канонический вид
(
)
2 4
2 3
4 3
2 1
,
,
,
y
y
y
y
y
y
A
−
=
с каноническими коэффициентами
(
)
1
,
1
,
0
,
0
−
и преобразованием базиса
(
)
(
)
T
n
T
n
y
y
S
x
x
K
K
,
,
1 1
=
с матрицей
2 1
2 1
0 0
2 1
2 1
0 0
0 0
1 0
0 0
0 1
−
=
S
Задачидлясамостоятельногорешения.
13.1.
Составить матрицу данной симметричной билинейной формы в пространстве
n
R
и записать соответствующую ей квадратичную форму:
1)
1 1
y
x
B
=
,
1
=
n
;
2)
1 1
y
x
B
=
,
2
=
n
;
3)
2 2
1 2
2 1
1 1
5 2
y
x
y
x
y
x
y
x
B
−
−
−
=
,
2
=
n

- 46 -
13.2.
По заданной квадратичной форме составить билинейную форму в пространстве
n
R
и записать её матрицу:
1)
2 1
3x
A
−
=
,
1
=
n
;
2)
2 2
2 1
2 1
3 6
2
x
x
x
x
A
−
−
=
,
3
=
n
;
3)
2 3
3 2
2 2
3 1
2 1
2 1
7 12 5
4 4
x
x
x
x
x
x
x
x
x
A
+
+
+
+
+
=
,
3
=
n
;
4)
∑
−
=
+
=
1 1
1
n
i
i
i
x
x
A
13.3.
Привести квадратичную форму в пространстве
3
R
к каноническому виду методом Лагранжа, найдя канонические коэффициенты и преобразование базиса:
1)
( )
3 2
3 1
2 1
2 3
2 2
2 4
4 3
3
x
x
x
x
x
x
x
x
A
−
+
+
+
=
x
;
2)
( )
3 1
2 1
2 3
2 2
2 1
4 2
3
x
x
x
x
x
x
x
A
−
+
+
+
=
x
;
3)
( )
3 2
2 1
x
x
x
x
A
+
=
x
; 4)
( )
3 2
3 1
2 1
4 2
x
x
x
x
x
x
A
+
+
=
x
13.4.
Привести квадратичные формы в пространстве
3
R
к каноническому виду методом ортогонального преобразования, найдя канонические коэффициенты и преобразование базиса:
1)
( )
3 2
2
x
x
A
−
=
x
;
2)
( )
2 1
2 2
2 1
2 3
x
x
x
x
A
+
+
=
x
;
3)
( )
3 2
3 1
2 1
2 3
2 2
2 4
4 3
3
x
x
x
x
x
x
x
x
A
−
+
+
+
=
x
14.
Классификацияквадратичныхформ
Квадратичная форма
( )
x
A
называется положительно определённой, если
0
x
≠
∀
имеем
( )
0
>
x
A
и
( )
0
x
x
=
⇔
=
0
A
Соответственно, сменой знака неравенства вводится понятие отрицательной определённости квадратичной формы, а при наличии нестрогого неравенства форма называется полуопределённой. Квадратичная форма полностью определяется набором своих канонических коэффициентов
(
)
n
λ
λ
K
,
1
, полученных при приведении её к диагональному виду
( )
∑
=
=
n
i
i
i
x
A
1 2
λ
x
Если все
0
>
i
λ
, форма
( )
x
A
, очевидно, является положительно определённой. Канонический

- 47 - базис и значение всех
i
λ
зависит от способа приведения к диагональному виду, однако число положительных и отрицательных канонических коэффициентов является инвариантом преобразования базиса. Это утверждение носит название закона инерции квадратичных форм.
Установить знакоопределённость квадратичной формы по её матрице
ij
a
, не приводя её к каноническому виду, позволяет критерий Сильвестра. Для этого изучаются знаки угловых миноров
k
∆
матрицы
ij
a
, представляющие собой определители
k
- го порядка, составленные из элементов в левом верхнем углу матрицы
ij
a
размером
k
k
×
Если все
0
>
∆
k
, квадратичная форма с матрицей
ij
a
является положительно определённой. Если знаки
k
∆
чередуются, причём
0 1
<
∆
, квадратичная форма является отрицательно определённой. Заметим, что в обоих случаях
0
det
≠
∆
=
n
A
Наконец, если указанные условия не выполняются, форма
ij
a
не является знакоопределённой.
Пример 1. При каких значениях параметра
λ
квадратичная форма
( )
(
)
2 2
2 1
2 1
3 4
x
x
x
x
A
+
+
−
=
λ
λ
x
является (а) положительно определённой и
(
б) отрицательно определённой?
Решение. Составим матрицу данной квадратичной формы:
3 2
2
+
−
−
=
λ
λ
A
Найдём её угловые миноры:
λ
=
=
∆
11 1
a
,
(
)
4 3
det
2
−
+
=
=
∆
λ
λ
A
Для положительной определённости необходимо одновременное выполнение условий
0 1
>
∆
и
0 2
>
∆
Решая полученную систему неравенств относительно параметра
λ
, находим, что форма является положительно определённой при
1
>
λ
Далее, условие отрицательной определённости означает, что
0 1
<
∆
и
0 2
>
∆
, что приводит к другому решению системы неравенств относительно параметра
λ
, именно,
4
−
<
λ
Наконец, в промежутке значений
1 4
<
<
−
λ
квадратичная форма не является ни положительно, ни отрицательно определённой, поскольку критерий Сильвестра для данных значений
λ
не выполняется.

- 48 -
Пример 2. При каком необходимом и достаточном условии две квадратичные формы
( )
x
A
и
( )
x
A
−
могут быть приведены к одному каноническому виду?
Решение. Проиллюстрируем решение задачи на простом примере. Вначале в двумерном пространстве рассмотрим квадратичную форму
( )
2 2
2 1
x
x
A
−
=
x
, имеющую канонический вид. У данной формы ранг равен двум, а число отрицательных и положительных коэффициентов равно. Форма
( )
2 2
2 1
x
x
A
+
−
=
−
x
также имеет канонический вид, отличающийся от предыдущего общим знаком. Для того чтобы канонические виды совпадали, необходимо провести замену координат
2 1
x
x
↔
Теперь рассмотрим другой пример с формой, имеющей ранг, равный трём:
( )
2 3
2 2
2 1
x
x
x
A
+
−
=
x
Легко видеть, что соответствующая форма
( )
2 3
2 2
2 1
x
x
x
A
−
+
−
=
−
x
не может быть приведена к предыдущему каноническому виду для
( )
x
A
путём выделения общего знака и перестановки координат, поскольку имеет нечётный ранг, т.е. нечётное число ненулевых канонических коэффициентов. Наконец, рассмотрим форму второго ранга
( )
2 2
2 1
x
x
A
+
=
x
, для которой
( )
2 2
2 1
x
x
A
−
−
=
−
x
Видно, что в силу неравенства числа положительных (2) и отрицательных (0) канонических коэффициентов у формы
( )
x
A
произвести перестановку координат с целью совпадения канонического вида
( )
x
A
и
( )
x
A
−
также не представляется возможным. Обобщение полученных результатов на пространства любой размерности и любые квадратичные формы, которые всегда можно привести к каноническому виду, не представляет затруднений.
Таким образом, ответ на поставленный в условии задачи вопрос звучит так: квадратичная форма должна иметь чётный ранг и равное число положительных и отрицательных канонических коэффициентов.
Задачидлясамостоятельногорешения.
14.1.
При каких значениях параметра
λ
данная квадратичная форма является
(
а) положительно определённой и (б) отрицательно определённой?
1)
( )
2 2
2 1
2 1
6 9
x
x
x
x
A
−
+
−
=
λ
x
;
2)
( )
3 2
3 1
2 1
2 3
2 2
2 1
2 2
4 5
x
x
x
x
x
x
x
x
x
A
−
−
+
+
+
=
λ
x
;
3)
( )
3 1
2 1
2 3
2 2
2 1
2 2
3 2
x
x
x
x
x
x
x
A
+
+
+
+
=
λ
x
;
4)
( )
3 2
3 1
2 1
2 3
2 2
2 1
4 2
2 5
x
x
x
x
x
x
x
x
x
A
+
−
+
+
+
=
λ
x
14.2.
Пусть
( )
x
A
- квадратичная форма в пространстве
n
R
Является ли подпространством
n
R
множество
M
векторов
n
R
∈
x
таких, что

- 49 -
( )
0
≥
x
A
?
Рассмотреть в качестве примера форму
( )
2 3
2 2
2 1
x
x
x
A
−
+
=
x
в трёхмерном пространстве.
14.3.
Дана невырожденная матрица
C
порядка
n
Показать, что квадратичная форма с матрицей
C
C
B
T
=
является положительно определённой.
14.4.
Пусть квадратная матрица
A
является матрицей положительно определённой квадратичной формы. Показать, что обратная матрица
1
−
A
также является матрицей положительно определённой квадратичной формы.

- 50 -
Литература
1.
Д.В. Беклемишев, Курсаналитическойгеометрииилинейнойалгебры,
М., 2000.
2.
В.А. Ильин, Э.Г. Позняк, Линейнаяалгебра, М., 1984.
3.
Л.А. Беклемишева, А.Ю. Петрович, И.А. Чубаров, Сборникзадачпо аналитическойгеометрииилинейнойалгебре, М., 2003.
4.
И.В. Проскуряков, Сборникзадачполинейнойалгебре, М., 2002.
5.
Н.Ч. Крутицкая, А.А. Шишкин, Линейнаяалгебравпримерахизадачах,
М., 1985.
6.
Сборникзадачпоалгебреианалитическойгеометрии, под редакцией
А.С. Феденко, Минск, 1999.
7.
З.И. Боревич, Определителииматрицы, М., 1970.

- 51 -
Содержание
Стр.
Глава 1. Матрицы, определители и системы линейных уравнений
3 1.
Матрицы
3 2.
Определители. Ранг матрицы
7 3.
Обратная матрица. Матричные уравнения
11 4.
Системы линейных уравнений крамеровского типа
13 5.
Системы однородных линейных уравнений
15 6.
Системы неоднородных линейных уравнений
17
Глава 2. Линейные пространства
21 7.
Определение линейного пространства. Базис и размерность
21 8.
Подпространства линейных пространств
24 9.
Евклидовы пространства
27
Глава 3. Линейные операторы
33 10.
Определение и матричная запись линейных операторов
33 11.
Задача о собственных значениях и собственных векторах
37 12.
Линейные операторы в евклидовых пространствах
40
Глава 4. Билинейные и квадратичные формы
42 13.
Матрица билинейной и квадратичной форм.
Приведение к каноническому виду
43 14.
Классификация квадратичных форм
46
Литература
50

1   2   3   4   5   6   7