Д. В. Хомицкий А. С. Гаревский

- 18 - частного решения
ЧН
x
и уже найденного общего решения однородной системы
OO
x
Для нахождения
ЧН
x
достаточно выполнить описанную в предыдущем параграфе процедуру нахождения
OO
x
, придав всем
r
n
−
свободным переменным в правой части нулевые значения. Полученная система крамеровского типа с неоднородностью
b
определит одно необходимое частное решение
¡
x
Пример 1. Найти общее решение системы уравнений, где
a
и
b
- произвольные числа:



=
−
+
=
+
+
b
x
x
x
a
x
x
x
3 2
1 3
2 1
Решение. Прежде всего, найдём ранг матрицы системы
1 1
1 1
1 1
−
=
A
и ранг расширенной матрицы
b
a
A
1 1
1 1
1 1
*
−
=
Миноры второго порядка, содержащиеся во вторых и третьих столбцах обеих матриц, являются ненулевыми, поэтому
( )
( )
2
rang rang
*
=
=
A
A
, то есть согласно теореме
Кронекера-Капелли система является совместной. Общее решение однородной системы было рассмотрено в предыдущем параграфе, где был получен результат
(
)
T
OO
C
0
,
1
,
1
−
=
x
Найдём частное решение неоднородной системы. Повторяя решение однородной задачи и оставляя в левой части переменные, отвечающие базисному минору, получаем систему



−
=
−
−
=
+
1 3
2 1
3 2
x
b
x
x
x
a
x
x
Найдём какое-либо её решение, например, при
0 1
=
x
, которое имеет вид
(
)
(
)
(
)
T
¢
£
b
a
b
a
2
,
2
,
0
−
+
=
x
Общее решение неоднородной системы есть сумма
¤
¥
x
и
OO
x
Пример 2. При каком значении параметра
λ
система линейных уравнений





=
+
+
−
−
=
−
+
−
=
+
+
−
5 5
2 1
2 2
4 3
2 1
4 3
2 1
4 3
2 1
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
λ
является совместной?

- 19 -
Решение. Составляем матрицу системы
5 1
2 1
1 1
2 1
1 1
2 1
−
−
−
−
=
A
и расширенную матрицу
5 5
1 2
1 1
1 1
2 1
1 1
2 1
*
−
−
−
−
−
=
λ
A
Максимальный размер минора матрицы
A
, не равного нулю, равен двум. Базисным минором является, например, определитель, составленный из элементов первых двух строк и последних двух столбцов матрицы
A
Итак,
( )
2
rang
=
A
Далее, определим такое значение параметра
λ
, при котором также и
( )
2
rang
*
=
A
, что является критерием совместности системы. Из структуры матрицы
*
A
видно, что новый столбец справа не приведёт к увеличению порядка ненулевого минора, если он будет равен соседнему столбцу. Такая ситуация достигается при значении
1
=
λ
, т.е. система будет совместна при
1
=
λ
Задачидлясамостоятельногорешения.
6.1.
Используя теорему Кронекера-Капелли, проверить совместность системы линейных уравнений и найти общие решения совместных систем:
1)








=
+
+
−
=
+
+
=
+
+
=
+
+
+
=
+
+
+
2 3
2 2
3 2
2 3
2 0
0 5
4 3
4 3
2 3
2 1
5 4
3 2
4 3
2 1
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
2)








=
+
+
=
−
+
+
=
+
+
+
=
−
+
+
=
−
+
+
2 2
5 5
1 2
2 2
1 3
2 1
2 3
1 3
2 3
2 1
4 3
2 1
4 3
2 1
4 3
2 1
4 3
2 1
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
3)







=
−
+
+
+
=
+
+
+
−
=
−
+
+
+
=
+
+
+
+
12 3
3 4
5 23 6
2 2
2 3
2 3
7 5
4 3
2 1
5 4
3 2
5 4
3 2
1 5
4 3
2 1
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
4)







=
−
+
−
−
=
+
−
+
=
−
+
−
=
+
−
+
4 3
2 1
2 5
2 3
2 2
3 1
2 4
3 2
1 4
3 2
1 4
3 2
1 4
3 2
1
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x

- 20 -
6.2.
Найти общее решение системы:
1)
1 4
3 2
1
=
+
+
+
x
x
x
x
2)





−
=
+
+
+
−
=
+
+
+
−
=
+
−
+
−
1 2
8 2
1 7
5 2
4 1
4 2
3 2
5 4
3 2
1 5
4 3
2 1
5 4
3 2
1
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
3)





=
+
+
−
=
−
−
−
=
−
−
−
2 4
5 2
3 2
2 3
1 2
3 4
3 2
1 4
3 2
1 4
3 2
1
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
4)





=
−
−
−
=
+
+
−
=
+
+
−
1 2
3 5
7 9
6 9
2 4
5 2
3 4
3 2
1 4
3 2
1 4
3 2
1
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
5)




=
+
+
=
+
+
=
+
+
4 2
3 4
z
by
x
z
by
x
z
y
ax
(
a
и
b
- произвольные числа).
6.3.
Среди многочленов степени, не превосходящей 2, найти два линейно независимых многочлена
( )
t
f
1
и
( )
t
f
2
таких, что
( )
( )
3 2
2 2
1
=
=
f
f
6.4.
При каком значении параметра
λ
система линейных уравнений




=
+
−
+
=
+
−
+
=
+
+
−
λ
4 3
2 1
4 3
2 1
4 3
2 1
11 4
7 2
4 2
1 2
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
является совместной?

- 21 -
Глава 2. Линейныепространства
Обобщением трёхмерного векторного пространства из курса аналитической геометрии на случай произвольного числа измерений является общее понятие линейного пространства. Большинство физических задач, изучающих линейные закономерности, имеют дело с объектами из некоторых линейных пространств. Во многих задачах физики рассматриваются линейные пространства, элементами которых являются функции. Такие пространства, как правило, имеют бесконечную размерность и являются предметом изучения функционального анализа либо методов математической физики.
7.
Определениелинейногопространства. Базисиразмерность
Линейным пространством L называется множество объектов произвольной природы
K
,
,
,
z
y
x
, называемых элементами этого пространства, или векторам, для которых определены операции «сложение» и
«
умножение на число». Операция сложения «
y
x
+
» сопоставляет двум элементам из L третий элемент, который также должен принадлежать L.
Операция умножения на число «
x
⋅
λ
» сопоставляет элементу
L
∈
x
и комплексному (либо вещественному) числу
λ
новый элемент
x
λ
, также принадлежащий L. Указанные операции подчинятся набору аксиом, описывающих коммутативный, ассоциативный и дистрибутивный характер операций сложения и умножения. Среди элементов любого линейного пространства можно выделить нулевой элемент
0
, когда
x
0
x
=
+
, и для каждого элемента x найти противоположный элемент x
−
, удовлетворяющий условию
( )
0
x
x
=
−
+
Операция умножения на число при любом способе её введения удовлетворяет условию
x
x
=
⋅
1
Система элементов
n
x
x
x
K
,
,
2 1
называется линейно независимой, если их линейная комбинация
∑
=
=
n
k
k
k
c
1
0
x
лишь при условии, когда все
k
c
равны нулю, в противном случае система называется линейно зависимой. Рассмотрим в данном пространстве L набор из
n
линейно независимых векторов
{
}
n
e
e
,
,
1
K
Если для любого
L
∈
x
найдётся такой единственный набор коэффициентов
(
)
n
x
x
K
,
1
, что
∑
=
=
n
k
k
k
x
1
e
x
, то система
{
}
n
e
e
,
,
1
K
называется базисом линейного пространства L. Набор чисел
(
)
n
x
x
K
,
1
называется координатами, или компонентами элемента x в базисе
{
}
n
e
e
,
,
1
K
Число элементов в наборе
{
}
n
e
e
,
,
1
K
, являющееся максимальным числом линейно независимых элементов в L, называется размерностью линейного пространства и обозначается
L
dim
В координатном представлении, когда в

- 22 - данном базисе элементу x сопоставляется набор
(
)
n
x
x
K
,
1
, любое линейное пространство размерности
n
идентично по своей структуре (изоморфно)
n
- мерному векторному пространству
n
R
Стандартным базисом в этом пространстве называется набор элементов
{
}
n
e
e
,
,
1
K
с координатами
(
)
0
,
,
0
,
1 1
K
=
e
,
(
)
0
,
0
,
1
,
0 2
K
=
e
, …,
(
)
1
,
0
,
,
0
,
0
K
=
n
e
Пусть в данном линейном пространстве L выбрано два базиса:
{
}
n
e
e
,
,
1
K
и
{
}
n
f
f
,
,
1
K
Раскладывая элементы второго базиса по первому, получим матричную связь базисов в виде
S
n
n
e
e
f
f
K
K
,
,
,
1 1
=
, где
S
есть квадратная матрица порядка
n
, называемая матрицей перехода от базиса
{
}
n
e
e
,
,
1
K
к базису
{
}
n
f
f
,
,
1
K
Отсюда следует, что элементы
{
}
n
f
f
,
,
1
K
являются линейно независимыми и будут образовывать базис, лишь если матрица перехода
S
является невырожденной.
Пример 1. Для множества положительных вещественных чисел операции сложения и умножения на вещественное число определены как «
y
x
+
» =
xy
и
«
x
λ
»=
λ
x
Является ли указанное множество с такими операциями линейным пространством? В случае положительного ответа найти его размерность и указать базис.
Решение. Для любых вещественных положительных чисел
x
,
y
и
λ
результат операций
xy
и
λ
x
также является вещественным положительных числом, то есть принадлежит указанному множеству. Непосредственной проверкой убеждаемся, что все аксиомы линейного пространства выполняются.
Роль нулевого элемента играет число 1, а роль противоположного элемента для данного
x
выполняет число, равное
x
1
Выбрав некоторый ненулевой элемент
1
≠
a
, получим, что для любого элемента
b
данного множества справедливо представление
C
a
Ca
b
=
=
, где
b
C
a
log
=
Таким образом, любые два элемента данного пространства линейно зависимы и, следовательно, его размерность равна единице. Базисом является любой ненулевой элемент, т.е. любое вещественное число
1
≠
a
Пример 2. Выяснить, является ли множество функций, непрерывных на отрезке
[ ]
b
a,
, линейным пространством с обычными операциями сложения и умножения на число.
Решение. Линейная комбинация непрерывных функций также является непрерывной функцией, т.е. принадлежит данному множеству.
Непосредственной проверкой убеждаемся, что все аксиомы линейного пространства выполняются. Нулевым элементом данного пространства является функция, тождественно равная нулю, а противоположным элементом

- 23 - для данной
( )
x
f
будет функция
( )
x
f
−
В пространстве функций можно составить линейную комбинацию из любого числа элементов, не равную тождественно нулю, поэтому данное линейное пространство является бесконечномерным.
Задачидлясамостоятельногорешения.
7.1.
Для множества вещественных чисел операции сложения и умножения на вещественное число определены как «
y
x
+
» =
( )
( )
(
)
y
x
Arctg
Arctg tg
+
и «
x
λ
»=
( )
(
)
x
Arctg tg
⋅
λ
Является ли указанное множество с такими операциями линейным пространством? В случае положительного ответа найти его размерность и указать базис.
7.2.
Образует ли множество прямоугольных матриц порядка
n
m
×
линейное пространство относительно операций сложения матриц и умножения матрицы на число? В случае положительного ответа найти его размерность и указать базис.
7.3.
Выяснить, является ли данное множество функций, заданных на отрезке
[ ]
b
a,
, линейным пространством.
1)
Непрерывно дифференцируемых на данном отрезке.
2)
Интегрируемых на данном отрезке.
3)
Ограниченных на данном отрезке.
4)
Функций, для которых
[ ]
( )
1
sup
,
≤
x
f
b
a
5)
Неотрицательных на данном отрезке.
6)
Равных нулю при
a
x
=
7)
Равных единице при
a
x
=
8)
Функций, для которых
( )
+∞
=
+
→
x
f
a
x
0
lim
9)
Монотонно возрастающих на
[ ]
b
a,
10)
Монотонных на
[ ]
b
a,
7.4.
Найти матрицу преобразования от базиса
(
)
0
,
1 1
=
x
,
(
)
1
,
0 2
=
x
к базису
(
)
1
,
1 2
1
'
1
=
x
,
(
)
1
,
1 2
1
'
2
−
=
x
7.5.
В пространстве
3
R
даны два базиса
{ }
e
и
{ }
f
с координатами базисных векторов в стандартном базисе
(
)
1
,
1
,
1 1
=
e
,
(
)
1
,
1
,
2 2
=

перейти в каталог файлов