Д. В. Хомицкий А. С. Гаревский

- 24 -
4)
Найти координаты
e
X
элемента x в базисе
{ }
e
, если его координаты в базисе
{ }
f
есть
(
)
1
,
3
,
5
=
f
X
7.6.
В пространстве
3
R
даны два базиса
{ }
e
и
{ }
f
с координатами базисных векторов в стандартном базисе
(
)
1
,
1
,
0 1
=
e
,
(
)
1
,
1
,
2 2
=
e
,
(
)
1
,
0
,
1 3
=
e
и
(
)
3
,
2
,
1 1
=
f
,
(
)
2
,
1
,
2 2
=
f
,
(
)
1
,
1
,
0 3
=
f
1)
Найти матрицу перехода
S
от базиса
{ }
e
к базису
{ }
f
2)
Найти матрицу обратного перехода.
3)
Найти координаты элемента
1
f
в обоих базисах.
4)
Найти координаты элемента
3
e
в обоих базисах
4)
Координаты
e
X
элемента x в базисе
{ }
e
, если его координаты в базисе
{ }
f
есть
(
)
1
,
3
,
2
−
=
f
X
7.7.
В пространстве
4
R
даны вектора
(
)
1
,
2
,
1
,
1 1
=
x
,
(
)
1
,
0
,
1
,
1 2
−
=
x
,
(
)
1
,
1
,
0
,
0 3
−
=
x
,
(
)
0
,
2
,
2
,
1 4
=
x
, а также вектор
(
)
1
,
1
,
1
,
1
=
y
Показать, что вектора
{
}
4 1
x
x
−
образуют базис в
4
R
и найти в нём координаты вектора
y
7.8.
Как изменится структура матрицы
S
перехода от некоторого базиса
{ }
e
к другому базису
{ }
f
, если
1)
Поменять местами два элемента базиса
{ }
e
?
2)
Поменять местами два элемента базиса
{ }
f
?
3)
Записать элементы обоих базисов в обратном порядке?
7.9.
Найти координаты многочлена
( )
n
n
x
a
x
a
x
a
a
x
f
+
+
+
+
=
K
2 2
1 0
1)
В базисе из функций
{
}
n
x
x
x
,
,
,
,
1 2
K
2)
В базисе из функций
(
)
(
)
{
}
n
x
x
x
α
α
α
−
−
−
,
,
,
,
1 2
K
, где
α
- фиксированное число.
3)
Записать матрицу перехода между указанными базисами.
8.
Подпространствалинейныхпространств
Подмножество A линейного пространства L называется линейным подпространством L относительно введённых в L операций сложения и умножения на число, если для любых элементов из A и любых чисел результат сложения и умножения на число вновь является элементом A. Это означает, что подпространство само является линейным пространством, имеющим базис и размерность. При этом
L
A
dim dim
<
, поскольку при
L
A
dim dim
=
подпространство изоморфно всему пространству. Множество всех линейных

- 25 - комбинаций векторов
{
}
k
x
x
K
,
1
пространства L называется линейной оболочкой этих векторов. Её размерность равна максимальному числу линейно независимых векторов, составляющих данную совокупность, и может быть найдена как ранг матрицы, составленной из столбцов координат векторов
{
}
k
x
x
K
,
1
Для каких-либо двух подпространств
1
A
и
2
A
линейного пространства L определены два новых подпространства, называемые суммой и пересечением
1
A
и
2
A
Сумма подпространств
2 1
A
A
+
определяется как множество, состоящее из всей совокупности элементов
1 1
A
∈
x
и
2 2
A
∈
x
, а пересечение
2 1
A
A
∩
определяется как множество элементов, принадлежащих
1
A
и
2
A
одновременно. Размерности суммы и пересечения связаны с размерностями
1
A
и
2
A
соотношением
(
)
(
)
2 1
2 1
2 1
dim dim dim dim
A
A
A
A
A
A
+
=
∩
+
+
Если каждый элемент
L
∈
x
единственным образом представляется в виде
2 1
x
x
x
+
=
, где
1 1
A
∈
x
, а
2
A
∈
x
, то пространство L представляет собой прямую сумму подпространств
1
A
и
2
A
, что записывается как
2 1
A
A
L
⊕
=
В этом случае, очевидно, пересечение
1
A
и
2
A
состоит лишь из нулевого элемента.
Пример 1. Выяснить, является ли множество
P
векторов пространства
n
R
, все координаты которых равны между собой, подпространством линейного пространства, и если является, то найти его размерность.
Решение. Рассмотрим два элемента
P
:
(
)
x
x
K
,
=
x
и
(
)
y
y
K
,
=
y
Их линейная комбинация
y
x
β
α
+
имеет координаты
y
x
β
α
+
, которые все равны между собой и, следовательно, также принадлежит
P
, которое поэтому является подпространством
n
R
Любой элемент
P
задаётся единственным числом, определяющим все его координаты, поэтому
1
dim
=
P
Пример 2. Найти размерность суммы и пересечения подпространств
1
L
и
2
L
, являющихся линейными оболочками векторов
{
}
2 1
,a
a
и
{
}
2 1
,b
b
:
(
)
1
,
0
,
2
,
1 1
=
a
,
(
)
0
,
1
,
1
,
1 2
=
a
;
(
)
0
,
1
,
0
,
1 1
=
b
,
(
)
1
,
0
,
3
,
1 2
=
b
Решение. Размерность каждого из подпространств
1
L
и
2
L
можно определить, рассматривая матрицы
1
M
и
2
M
из столбцов координат
{
}
2 1
,a
a
и
{
}
2 1
,b
b
:
0 1
1 0
1 2
1 1
1
=
M
и
1 0
0 1
3 0
1 1
2
=
M

- 26 -
Ранг каждой из этих матриц равен двум, то есть
1
L
и
2
L
двумерны. Размерность суммы
2 1
L
L
+
можно определить, установив ранг матрицы
3
M
, являющейся объединением всех столбцов
{
}
2 1
,a
a
и
{
}
2 1
,b
b
:
1 0
0 1
0 1
1 0
3 0
1 2
1 1
1 1
3
=
M
Ранг
3
M
, как легко видеть, равен трём: вычтем из первой строки последнюю и получим матрицу
1 0
0 1
0 1
1 0
3 0
1 2
0 1
1 0
, у которой первая и третья строки одинаковы. Вычитая из первой троки третью, получим матрицу
1 0
0 1
0 1
1 0
3 0
1 2
0 0
0 0
с нулевой строкой, ранг которой заведомо меньше четырёх.
Поскольку в ней существует ненулевой минор третьего порядка, например, расположенный в первых трёх столбцах и последних трёх строках, ранг данной матрицы равен трём. Итак, размерность суммы подпространств
2 1
L
L
+
равна трём. Для определения размерности пересечения
2 1
L
L
∩
воспользуемся формулой
(
)
(
)
2 1
2 1
2 1
dim dim dim dim
L
L
L
L
L
L
+
=
∩
+
+
, откуда
(
)
1 3
2 2
dim
2 1
=
−
+
=
∩
L
L
Задачидлясамостоятельногорешения.
8.1.
Выяснить, является ли данное подмножество пространства
n
R
подпространством, и если является, то найти его размерность.
1)
Множество векторов, первая координата которых равна нулю.
2)
Множество векторов, сумма координат которых равна единице.
3)
Множество векторов, сумма координат которых равна нулю.
4)
Множество векторов из трёхмерного пространства, концы которых лежат на некоторой прямой.
8.2.
Выяснить, является ли данное подмножество пространства
n
n
R
×
квадратных матриц порядка
n
подпространством, и если является, то найти его размерность и указать базис.
1)
Матриц с нулевой первой строкой.
2)
Диагональных матриц.
3)
Верхних треугольных матриц.

- 27 -
4)
Симметричных матриц.
5)
Антисимметричных матриц.
6)
Вырожденных матриц.
8.3.
В пространстве
3
R
даны вектора
(
)
0
,
1
,
0 1
=
x
,
(
)
1
,
2
,
1 2
=
x
,
(
)
1
,
1
,
1 3
=
x
и
(
)
3
,
4
,
3 4
=
x
Найти размерность и указать базис линейной оболочки этих векторов.
8.4.
Найти размерность и указать базис в подпространстве
n
R
A
⊂
, если компоненты векторов
A
⊂
x
удовлетворяют условию
0 1
=
+
+
n
x
x
K
8.5.
Найти размерность суммы и пересечения подпространств
1
L
и
2
L
, являющихся линейными оболочками векторов
{
}
3 2
1
,
,
a
a
a
и
{
}
3 2
1
,
,
b
b
b
:
(
)
1
,
1
,
1
,
1 1
=
a
,
(
)
1
,
1
,
1
,
1 2
−
−
=
a
,
(
)
3
,
1
,
3
,
1 3
=
a
;
(
)
2
,
0
,
2
,
1 1
=
b
,
(
)
2
,
1
,
2
,
1 2
=
b
(
)
1
,
3
,
1
,
3 3
=
b
9.
Евклидовыпространства
Линейное пространство L, на котором задано скалярное произведение, называется евклидовым. Скалярное произведение
( )
y
x,
определяется как такая числовая функция от двух элементов x и
y
пространства L, которая удовлетворяет нижеследующим аксиомам.
Для вещественного случая, когда
( )
R
,
∈
y
x
:
1)
( ) ( )
x
y
y
x
,
,
=
(
симметричность);
2)
(
)
( ) ( )
z
y
z
x
z
y
x
,
,
,
β
α
β
α
+
=
+
(
дистрибутивность);
3)
0
x
≠
∀
( )
0
,
>
x
x
, и
( )
0
x
0
x
x
=
⇔
=
,
(
положительная определённость).
В случае комплексного значения скалярного произведения, когда
( )
C
,
∈
y
x
, пространство называется унитарным. В унитарном пространстве для выполнения аксиомы положительной определённости требуется изменить первую из аксиом, набор которых выглядит следующим образом:
1)
( ) ( )
x
y
y
x
,
,
=
(
эрмитова симметричность);
2)
(
) ( ) ( )
z
y
z
x
z
y
x
,
,
,
β
α
β
α
+
=
+
, при этом
(
)
( )
y
x
y
x
,
,
α
α
=
;
3)
0
x
≠
∀
( )
0
,
>
x
x
, и
( )
0
x
0
x
x
=
⇔
=
,
(
положительная определённость).

- 28 -
В евклидовом пространстве можно ввести понятие нормы, или длины элемента x , определив её как
( )
x
x
x
,
=
В вещественном случае
( )
R
,
∈
y
x
можно также ввести понятие угла между элементами x и
y
, для которого определён
( )
(
)
y
x
y
x,
cos
=
ϕ
Как в евклидовом, так и в унитарном пространстве элементы x и
y
, для которых
( )
0
,
=
y
x
, называются ортогональными.
Пусть в евклидовом пространстве L выделено какое-либо подпространство
M .
Если для каждого вектора
M
∈
x
найден ортогональный ему вектор
y
, то совокупность всех векторов
y
, для которых
( )
0
,
=
y
x
, образует новое подпространство
⊥
M
, называемое ортогональным дополнением подпространства
M
Любое евклидово пространство является прямой суммой своего подпространства и его ортогонального дополнения.
Если в
n
- мерном евклидовом пространстве введён базис
{
}
n
e
e
,
,
1
K
, то скалярное произведение элементов может быть выражено через столбцы их координат
(
)
T
n
x
x
X
K
,
1
=
и
(
)
T
n
y
y
Y
K
,
1
=
в данном базисе при помощи матричной записи скалярного произведения
( )
ГY
X
T
=
y
x,
, где симметричная матрица
( )
j
i
ij
Г
e
e ,
=
называется матрицей Грама в данном базисе. В случае унитарного пространства скалярное произведение определяется с дополнительным комплексным сопряжением как
( )
ГY
X
+
=
y
x,
, где операция
( )
T
X
X
≡
+
является эрмитовым сопряжением.
В случае, когда
( )
ij
j
i
ij
Г
δ
=
=
e
e ,
, т.е. матрица Грама является единичной, базис
{
}
n
e
e
,
,
1
K
называется ортонормированным базисом. Примером ортонормированного базиса в
3
R
является тройка координатных ортов. Если изначально был задан неортонормированный базис
{
}
n
f
f
,
,
1
K
, то линейными преобразованиями из него можно получить ортонормированный базис
{
}
n
e
e
,
,
1
K
по методу ортогонализации Грама-Шмидта:
(
)
1 1
1 1
,f
f
f
e
=
;
(
)
2 2
2 2
,
/
g
g
g
e
=
, где
(
)
1 1
2 2
2
,
e
e
f
f
g
−
=
;
……………………………………………….
(
)
n
n
n
n
g
g
g
e
,
=
, где
(
)
(
)
1 1
1 1
,
,
e
e
f
e
e
f
f
g
n
n
n
n
n
n
−
−
−
=
−
−
K

- 29 -
Пример 1. Выяснить, можно ли в вещественном пространстве
n
R
ввести скалярное произведение по формуле
( )
2 2
1 1
2
,
y
x
y
x
−
=
y
x
,
2
=
n
Решение. Прежде всего, рассмотрим аксиому положительной определённости, вычислив скалярный квадрат:
( )
2 2
2 1
2
,
x
x
−
=
x
x
Видно, что данное выражение отрицательно для ненулевого вектора
(
)
1
,
0
=
x
, поэтому предложенным способом ввести скалярное произведение нельзя.
Пример 2. В комплексном пространстве
n
C
со скалярным произведением
( )
∑
=
=
n
k
k
k
y
x
1
, y
x
построить базис в ортогональном дополнении
⊥
M
подпространства
M
, если компоненты векторов
M
∈
x
удовлетворяют уравнению
0 2
1
=
+
ix
x
и
2
=
n
Решение. Для элемента
⊥
∈
M
y
, ортогонального
M
∈
x
, имеем условие ортогональности
0 2
2 1
1
=
+
y
x
y
x
Если
M
∈
x
, то по определению подпространства
M
его вторая компонента связана с первой соотношением
1 2
ix
x
=
, поэтому
0 2
1 1
1 2
2 1
1
=
+
=
+
y
ix
y
x
y
x
y
x
, откуда
0 2
1
=
+
y
i
y
Последнее равенство, эквивалентное
0 2
1
=
−
iy
y
, полностью определяет подпространство
⊥
M
Из двух координат его элементов одну, например,
1
y
, можно задавать произвольно, т.е.
⊥
M
является одномерным, как и само M .
Вторая координата определяется из условия
0 2
1
=
−
iy
y
Таким образом, базисным вектором в
⊥
M
будет, например, вектор
(
)
T
i
−
=
,
1

перейти в каталог файлов