Д. В. Хомицкий А. С. Гаревский

- 37 -
1)
144 60 60 25
=
A
,
2
=
n
;
2)
3 5
2 3
5 2
3 5
2
−
−
−
−
=
A
,
3
=
n
10.10.
В базисе
{
}
n
t
t
t
,
,
,
,
1 2
K
пространства многочленов степени не выше
n
записать матрицу, а также найти ядро и образ следующих операторов:
1)
Оператор дифференцирования
dt
d
D
=
;
2)
Оператора интегрирования
( )
∫
=
t
d
f
I
0
ξ
ξ
11.
Задачаособственныхзначенияхисобственныхвекторах
Если образы оператора
A
от векторов некоторого подпространства M
линейного пространства L вновь лежат в подпространстве M , то оно называется инвариантным подпространством оператора
A
, действующего в L
В случае, когда M одномерно, то есть для всех
M
∈
x
имеем
x
x
λ
=
A
, где
λ
- вещественное или комплексное число. Тогда ненулевой вектор x называется собственным вектором оператора
A
, а число
λ
- соответствующим ему собственным значением. Набор собственных значений линейного оператора называется его спектром. Если в
n
- мерном пространстве L задан базис
{
}
n
e
e
,
,
1
K
и определена матрица A данного оператора, то нахождение собственных значений и собственных векторов представляет собой задачу о решении системы линейных однородных уравнений порядка
n
для компонент собственного вектора x , описываемую матрицей
(
)
E
A
λ
−
Собственные значения
λ
находятся из условия равенства нулю определителя данной системы, а полученное в результате алгебраическое уравнение
(
)
0
det
=
−
E
A
λ
, являющееся уравнением
n
- й степени на
λ
, называется характеристическим уравнением. Согласно основной теореме алгебры, во множестве комплексных чисел характеристическое уравнение всегда имеет
n
корней с учётом их кратности. Число вещественных корней может быть меньше, и они могут отсутствовать вовсе.

- 38 -
Пример 1. Найти собственные значения и собственные вектора оператора, заданного своей матрицей
1 2
2 2
2 3
i
i
A
−
+
=
Решение. Для нахождения собственных значений решаем уравнение
0 1
2 2
2 2
3
=
−
−
+
−
λ
λ
i
i
, откуда
5 1
=
λ
и
1 2
−
=
λ
Для первого собственного значения система уравнений для компонент собственного вектора имеет вид



=
−
−
=
+
+
−
0 4
)
2 2
(
0
)
2 2
(
2 2
1 2
1
x
x
i
x
i
x
, откуда первый собственный вектор






+
=






=
1 1
2 1
1
i
x
x
e
Для второго собственного значения имеем систему уравнений



=
+
−
=
+
+
0 2
)
2 2
(
0
)
2 2
(
4 2
1 2
1
x
x
i
x
i
x
, откуда находим компоненты второго собственного вектора






+
−
=






=
1 2
/
)
1
(
2 1
2
i
x
x
e
Пример 2. Найти собственные значения и собственные вектора оператора, заданного матрицей
1 3
2 1
−
=
A
, с учётом принадлежности собственных значений множеству рациональных чисел.
Решение. Характеристическое уравнение имеет вид
0 1
3 2
1
=
−
−
−
λ
λ
, или
0 7
2
=
−
λ
Поскольку данное уравнение не имеет корней в области рациональных чисел, то собственных значений и собственных векторов, удовлетворяющих условию задачи, не существует.
Задачидлясамостоятельногорешения.
11.1.
Найти собственные значения и собственные вектора оператора, заданного матрицей
1 3
2 1
−
=
A
, с учётом принадлежности собственных значений множеству вещественных чисел.
11.2.
Найти собственные значения и собственные вектора операторов, заданных своими матрицами:

- 39 -
1)
7 2
2 3
i
i
A
+
−
=
;
2)
1 2
0 0
1 0
1 1
2
−
−
−
=
A
; 3)
4 0
0 0
3 0
3
i
i
A
−
=
; 4)
1 0
0 0
0 0
0 1
0 0
0 0
0 0
0 1
=
A
;
5)
1 0
0 1
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 1
=
A
11.3.
Операторы
1
L
и
2
L
в некотором базисе представлены матрицами
0 1
0 1
0 1
0 1
0 2
1 1
=
L
и
0 0
0 0
0 2
1 2
i
i
i
i
L
−
−
=
Найти собственный базис оператора
1
L
и вид матриц
1
L
и
2
L
в этом базисе.
11.4.
Найти вид оператора с матрицей Паули






=
0 1
1 0
z
σ
в собственном базисе оператора с матрицей Паули






−
=
0 0
i
i
y
σ
11.5.
Найти собственные значения и собственные векторы оператора проектирования на прямую линию, заданную уравнениями
3 2
1
x
x
x
=
=
11.6.
Пусть
1
x
и
2
x
- собственные вектора линейного оператора
A
, отвечающие различным собственным значениям
2 1
λ
λ
≠
Показать, что вектор
2 1
x
x
β
α
+
с ненулевыми числами
α
и
β
не является собственным вектором оператора
A
11.7.
Найти собственные функции и собственные значения оператора
ϕ
∂
∂
−
i
, где
π
ϕ
2 0
<
≤
11.8.
Пусть линейные операторы
A
и
B
коммутируют. Показать, что в этом случае у них имеется общий набор базисных векторов.

- 40 -
12.
Линейныеоператорывевклидовыхпространствах
В евклидовом пространстве L со скалярным произведением
( )
y
x,
для данного линейного оператора
A
можно ввести понятие сопряжённого ему оператора
*
A
, удовлетворяющего равенству
(
)
(
)
y
x
y
x
*
,
,
A
A
=
для любых элементов пространства. В базисе
{
}
n
e
e
,
,
1
K
с матрицей Грама
( )
j
i
ij
Г
e
e ,
=
матрица сопряжённого оператора вычисляется по формуле
Г
А
Г
A
Т
1
*
−
=
в вещественном случае и
(
)
Г
А
Г
А
1
*
−
=
в комплексном случае, где черта обозначает комплексное сопряжение. В частности, в ортонормированном базисе
T
A
A
=
*
в вещественном евклидовом пространстве и
+
=
A
A
*
в унитарном пространстве. Оператор, для которого
A
A
=
*
, называется самосопряженным, или эрмитовым. Его матрица, как это следует из формулы для
*
A
, является вещественной симметричной либо комплексной эрмитовой матрицей. Её собственные значения вещественны, а собственные вектора, относящиеся к различным собственным значениям, ортогональны и образуют базис в пространстве L.
Оператор
U
, сохраняющий скалярное произведение, т.е. удовлетворяющий соотношению
(
) ( )
y
x
y
x
,
,
=
U
U
для любых векторов пространства
L
, называют ортогональным оператором в случае вещественного пространства и унитарным оператором в случае комплексного пространства. В этом случае матрица сопряжённого оператора в ортонормированном базисе равна обратной матрице,
1
*
−
=
U
U
Собственные значения унитарных операторов по модулю равны единице, а собственные вектора, как и для самосопряжённого оператора, образуют ортонормированный базис.
Пример1. Найти сопряжённый оператор к линейному оператору
A
, осуществляющему поворот на угол
3 2
π
ϕ
=
вокруг прямой
3 2
1
x
x
x
=
=
в пространстве
3
R
Решение. При указанном в задачи повороте базисные вектора декартовой системы преобразуются следующим образом:
2 1
e
e
→
,
3 2
e
e
→
,
1 3
e
e
→
, поэтому матрица преобразования имеет вид
0 1
0 0
0 1
1 0
0
=
A
В ортонормированном базисе вещественного пространства матрица

- 41 - сопряжённого оператора равна транспонированной матрице исходного оператора, поэтому окончательно имеем
0 0
1 1
0 0
0 1
0
*
=
=
T
A
A
Пример 2. В евклидовом пространстве
2
R
со стандартным ортонормированным базисом
{
}
2 1
,e
e
задан базис
{
}
2 1
,f
f
и матрица
f
A
линейного оператора
A
в этом базисе. Найти в базисе
{
}
2 1
,f
f
матрицу сопряжённого оператора
*
f
A
, если
1 1
e
f
=
,
2 1
2
e
e
f
+
−
=
, и
1 1
4 1
=
f
A
Решение. Матрица сопряжённого оператора находится по формуле
Г
А
Г
A
1
*
−
=
, где
( )
j
i
f
ij
Г
f
f ,
=
есть матрица Грама в базисе
{
}
2 1
,f
f
Вычисляя её в с помощью формул
1 1
e
f
=
,
2 1
2
e
e
f
+
−
=
и используя ортонормированность базиса
{
}
2 1
,e
e
, имеем
2 1
1 1
−
−
=
f
Г
, а обратная матрица имеет вид
1 1
1 2
1
=
−
f
Г
Вычисляя произведение трёх матриц
Г
А
Г
A
¡
1
*
−
=
, получаем окончательно
1 3
0 3
*
−
=
f
A
Задачидлясамостоятельногорешения.
12.1.
Линейный оператор
A
, действующий в
n
- мерном пространстве
L
, задан диагональной матрицей с коэффициентами
(
)
n
λ
λ
,
,
1
K
Найти матрицу сопряжённого оператора
*
A
, если (а) все коэффициенты
R
∈
i
λ
и (б) все коэффициенты
C
∈
i
λ
Является ли оператор
A
самосопряжённым?
12.2.
В евклидовом пространстве
2
R
со стандартным ортонормированным базисом
{
}
2 1
,e
e
задан базис
{
}
2 1
,f
f
и матрица
f
A
линейного оператора
A
в этом базисе. Найти в базисе
{
}
2 1
,f
f
матрицу сопряжённого оператора
*
f
A
, если
1 1
e
f
=
,
2 1
2 2
e
e
f
+
=
, и
3 1
2 1
=
f
A
12.3.
Пусть в евклидовом пространстве
L
задан самосопряжённый оператор
A
, имеющий обратный. Показать, что обратный оператор также является самосопряжённым.

- 42 -
12.4.
В пространстве
3
R
задан оператор векторного умножения
[ ]
x
a
x
,
=
A
, где
(
)
3 2
1
,
,
a
a
a
=
a
- фиксированный вектор. Найти сопряжённый оператор
*
A
12.5.
Может ли матрица самосопряжённого преобразования вещественного евклидового пространства быть несимметричной?
12.6.
Пусть
M
- инвариантное относительно ортогонального оператора
A
подпространство евклидового пространства
L
Показать, что ортогональное дополнение
⊥
M
также инвариантно относительно оператора
A
12.7.
В евклидовом пространстве
2
R
самосопряжённый оператор
A
задан своей матрицей A. Найти матрицу оператора
B
такого, что
A
B
=
2
(
задача о корне из оператора). Существует ли решение задачи для любого самосопряжённого оператора?
1)
8 2
2 5
−
−
=
A
;
2)
2 5
2 3
2 3
2 5
=
A

- 43 -
Глава 4. Билинейныеиквадратичныеформы
В курсе аналитической геометрии рассматривались уравнения кривых второго порядка на плоскости, а также уравнения поверхностей второго порядка в пространстве. В эти уравнения входит сумма некоторого числа слагаемых второго порядка, называемая группой квадратичных слагаемых.
Обобщением подобных выражений на случай пространства любого числа измерений является теория квадратичных (от одного аргумента) и билинейных
(
от двух аргументов) форм. Как и в задачах аналитической геометрии, основным вопросом является выбор такой системы координат, где форма имеет наиболее простой вид суммы квадратов с определёнными коэффициентами, называемый каноническим видом. Кроме того, в приложениях к механике очень важен вопрос о постоянстве знака для значений, принимаемых квадратичной формой при различных аргументах, что приводит к необходимости изучения классификации квадратичных форм.
13.
Матрицабилинейнойиквадратичнойформ.
Приведениекканоническомувиду
Билинейной формой
( )
y
x,
B
, заданной на линейном пространстве L, называется числовая функция от двух элементов данного пространства, линейная по каждому из них, т.е.
(
)
( )
( )
y
z
y
x
y
z
x
,
,
,
B
B
B
β
α
β
α
+
=
+
и аналогично для второго аргумента. Мы будем рассматривать вещественные формы, когда значение
( )
y
x,
B
при любых значениях аргументов является вещественным числом. Если
( ) ( )
x
y
y
x
,
,
B
B
=
, то билинейная форма называется симметричной. Функция одного аргумента
( ) ( )
x
x
x
,
B
A
≡
, полученная из симметричной билинейной формы, называется квадратичной формой. Обратно, по заданной квадратичной форме
( )
x
A
может быть построена симметричная билинейная форма
( )
(
) ( ) ( )
(
)
y
x
y
x
y
x
A
A
A
B
−
−
+
=
2 1
,
В базисе
{
}
n
e
e
,
,
1
K
n
- мерного пространства L билинейная и квадратичная формы могут быть записаны через столбцы координат
(
)
T
n
x
x
X
K
,
1
=
и
(
)
T
n
y
y
Y
K
,
1
=
своих аргументов при помощи матричной записи билинейной формы
( )
BY
X
B
T
=

перейти в каталог файлов