Д. В. Хомицкий А. С. Гаревский

Нижегородский государственный университет им. Н.И.Лобачевского
Национальный исследовательский университет
Учебно-научный и инновационный комплекс "
Новые многофункциональные материалы и нанотехнологии"
Д.В. Хомицкий
А.С. Гаревский
А.В. Тележников
Сборникзадачполинейнойалгебре
(
Практикум)
Мероприятие 1.2. Совершенствование образовательных технологий, укрепление материально-технической базы учебного процесса
Учебныедисциплины: «Линейная алгебра», «Численные методы и математическое моделирование», «Вычислительная физика»
Специальности, направления: 011200 «Физика», 210100 «Электроника и наноэлектроника», 222900 «Нанотехнология и микросистемная техника»,
230400 «
Информационные системы и технологии»
ННГУ
2010

- 2 -
УДК 512.64(076)
ББК В143
Х-76
Х-76 Хомицкий Д.В., Гаревский А.С., Тележников А.В.
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ: Практикум (Учебно- научный и инновационный комплекс "Новые многофункциональные материалы и нанотехнологии" ). – Нижний Новгород: Издательство
Нижегородского госуниверситета, 2010.– 51 с.
Рецензент: доцент Д.Е. Бурланков
Сборник содержит задачи по общему курсу «Линейная алгебра», читаемому студентам физического факультета ННГУ. Каждый параграф предваряется кратким введением в изучаемый раздел курса, содержащим основные определения, теоремы, а также примеры решения типовых задач. Упражнения, представленные в сборнике, соответствуют темам практических занятий, контрольных работ и экзаменационных билетов.
УДК 512.64(076)
ББК В143
©
Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского, 2010

- 3 -
Глава 1. Матрицы, определители исистемылинейныхуравнений
Алгебра матриц и систем линейных уравнений представляет собой один из основных инструментов математики, применяющийся в подавляющем большинстве прикладных задач, где действуют линейные закономерности.
Особенно важным является аппарат матричного исчисления в квантовой физике, составляющей теоретическую базу современной физики микро- и наноструктур.
1.
Матрицы
Матрицей A называется прямоугольная таблица, элементами которой могут быть вещественные или комплексные числа. Если A состоит из
m
строк и
n
столбцов, говорят о матрице порядка
n
m
×
, элементы которой обозначаются
ij
a
, где
m
i
K
,
1
=
и
n
j
K
,
1
=
Матрицы с равным числом строк и столбцов
n
m
=
называют квадратными матрицами порядка
n
Следом квадратной матрицы называется сумма её диагональных элементов, обозначаемая как
∑
=
=
n
i
ii
a
A
1
)
tr(
Операции с матрицами определяются через операции с их элементами.
Транспонирование матрицы, или замена местами строк и столбцов:
( )
ji
ij
T
a
A
=
Умножение матрицы на число
α
определяет новую матрицу
( )
ij
ij
a
A
α
α
=
Сложение двух матриц возможно лишь для матриц одинакового порядка, в результате
(
)
ij
ij
ij
b
a
B
A
+
=
+
Произведение определено для двух матриц с порядками
n
m
×
и
p
n
×
, т.е. число столбцов первого сомножителя равно числу строк второго сомножителя, а элемент произведения есть
(
)
∑
=
=
⋅
n
k
kj
ik
ij
b
a
B
A
1
Отсюда можно определить
n
- ю степень квадратной матрицы
A
A
A
A
n
⋅
⋅
⋅
=
K
как
n
- кратное умножение матрицы на себя. Для различных матриц A и B при возможности вычисления
AB
и
BA
в общем случае
BA
AB
≠
Величина
[ ]
BA
AB
AB
−
=
называется коммутатором матриц
A
и
B
Матрицы, для которых
[ ]
0
=
AB
, называют коммутирующими. Так, всегда коммутируют между собой две диагональные квадратные матрицы одного порядка. При использовании ряда Тейлора для функций возможно вычисление функций от квадратных матриц через соответствующие линейные комбинации, образующие ряд.
Некоторые виды матриц имеет своё собственное обозначение из-за особенностей в структуре расположения своих элементов. Диагональная

- 4 - матрица имеет ненулевые элементы лишь на главной диагонали, поэтому
i
ii
a
λ
=
, а все остальные элементы равны нулю. Если все
1
=
i
λ
, то A является единичной матрицей E порядка
n
с элементами
ij
ij
E
δ
=
, где
ij
δ
- символ Кронекера. Симметричная матрица обладает свойством
ji
ij
a
a
=
, а для антисимметричной матрицы, наоборот,
ji
ij
a
a
−
=
В случае комплексных элементов вводится операция эрмитового сопряжения
+
A
, сочетающая транспонирование и комплексное сопряжение:
( )
ji
ij
a
a
=
+
, где черта обозначает комплексное сопряжение. Матрицы, обладающие свойством
A
A
=
+
, называются эрмитовыми. Заметим, что диагональные элементы эрмитовой матрицы всегда вещественны, а класс симметричных матриц является подмножеством эрмитовых матриц с вещественными элементами. По аналогии с антисимметричной матрицей вводятся антиэрмитовы матрицы, обладающие свойством
ji
ij
a
a
−
=
Пример 1. Вычислить произведение матриц
1 1
1 1
0 1
=
AB
Решение. Данные матрицы имеют порядки
2 1
×
и
2 2
×
, поэтому их произведение есть матрица
C
порядка
2 1
×
Вычислим её элементы:
1 1
0 1
1 21 12 11 11 11
=
⋅
+
⋅
=
+
=
b
a
b
a
c
,
1 1
0 1
1 22 12 21 11 12
=
⋅
+
⋅
=
+
=
b
a
b
a
c
, следовательно,
1 1
=
C
Пример 2. Вычислить значение многочлена
( )
A
f
для матрицы
2 4
2 3
5 2
3 4
1
−
−
−
−
=
A
, если
x
x
x
f
−
=
2
)
(
Решение. Разложим вначале многочлен на множители, записав
(
)
1
)
(
2
−
=
−
=
x
x
x
x
x
f
Для матричного аргумента это означает, что
( )
(
)
E
A
A
A
f
−
=
, где
E
- единичная матрица соответствующего порядка.
Подставив матрицу
A
, данную в условии, получим окончательно
( ) (
)
0 0
0 0
0 0
0 0
0 3
4 2
3 4
2 3
4 2
2 4
2 3
5 2
3 4
1
=
−
−
−
−
−
−
−
−
=
−
=
E
A
A
A
f

- 5 -
Задачидлясамостоятельногорешения.
1.1.
Вычислить линейную комбинацию матриц:
1)
1 0
1 0
4 2
3 2
3 2
1 2
1 3
−
−
2)
6 5
0 3
1 2
2 2
−
3)
3 1
1 3
i
+
+
4)
1 1
1 1
0 1
1 1
0 1
1 0
0 1
0 1
1 1
0 0
2
−
1.2. 1)
Можно ли умножить строку длины
m
на столбец высоты
n
?
2)
Можно ли умножить столбец высоты
n
на строку длины
m
?
1.3.
Вычислить произведение матриц, если оно определено:
1)
1 3
4 0
3 2
−
2)
0 3
2 1
3 4
−
3)
9 5
5 3
1 1
1 1
4)
1 1
1 1
0 1
5)
δ
γ
β
α
d
c
b
a
6)
1 2
2 1
4 3
2 1
7)
1 2
2 1
4 2
8)
4 2
1 2
2 1
1.4.
Вычислить
n
- ю степень матриц:
1)
1 1
1 1
2)
0 0
0 0
0 0
1 1
1 3)
1 1
1 1
−
−
4)
n
λ
λ
0 0
1
O
,
i
λ
– числа
5)
1 0
1 1
6)
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
cos sin sin cos
−
1.5.
Найти
n
n
n
n
1 1
lim
α
α
−
∞
→
, где
α
- вещественное число.
1.6.
Проверить, являются ли данные матрицы эрмитовыми:
1)
2 2
2 1
2)
i
i
i
−
−
−
+
+
2 1
1 1
1 0
1 0
1 3)
2 2
1 1
2 1
1 0
1 0
1
i
i
i
i
+
−
−
−
−
+

- 6 -
4)
3 0
0 2
1
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
i
i
i
i
ie
e
ie
e
−
−
−
, где
ϕ
– вещественное число.
1.7.
Найти значение многочлена
)
(x
f
от матрицы A:
1)
1 2
)
(
2
+
−
=
x
x
x
f
,
2)
1 2
)
(
2
+
−
=
x
x
x
f
,
1 1
1 1
=
A
3)
5 2
3
)
(
2
+
−
=
x
x
x
f
,
2 5
3 1
4 2
3 2
1
−
−
−
=
A
1.8.
Вычислить матрицу
(
)(
)
T
k
i
k
i
E
P
e
e
e
e
−
−
−
=
, где
i
e
–
i - й столбец единичной матрицы E.
1.9.
Выяснить, когда справедливы матричные тождества для двух квадратных матриц A и B одинакового порядка, E– единичная матрица:
1)
(
)
2 2
2 2
B
AB
A
B
A
+
+
=
+
2)
(
)(
) (
)(
)
B
A
B
A
B
A
B
A
+
−
=
−
+
3)
(
)(
)
B
A
B
A
B
A
−
+
=
−
2 2
4)
(
)
E
A
A
A
E
A
+
+
+
=
+
3 3
2 3
3 1.10.
Доказать, что для двух квадратных матриц A и B одинакового порядка выполняется соотношение
( ) ( )
BA
AB
tr tr
=
1.11.
Матрицы
0 1
1 0
=
x
σ
,
0 0
i
i
y
−
=
σ
,
1 0
0 1
−
=
z
σ
называются матрицами
Паули и играют большую роль в математическом аппарате квантовой механики, в частности, в описании спина электрона. Найти коммутаторы этих матриц:
]
[
y
x
σ
σ
,
]
[
z
y
σ
σ
,
]
[
x
z
σ
σ
1.12.
Найти функцию от оператора
2
/
1 1
y
A
σ
−
=
, где
y
σ
есть одна из матриц
Паули, введённых в задаче 1.11.
1.13.
Найти явный вид матриц (
α
- вещественное число), где матрицы Паули
x
σ
,
y
σ
и
z
σ
определены в задаче 1.11.:
1)
)
exp(
x
i
ασ
; 2)
)
exp(
y
i
ασ
; 3)
)
exp(
z
i
ασ
1 0
1 1
=
A

- 7 -
1.14.
Найти коммутатор матриц
]
[
2 1
L
L
, где
0 1
0 1
0 1
0 1
0 2
1 1
=
L
,
0 0
0 0
0 2
1 2
i
i
i
i
L
−
−
=
2.
Определители. Рангматрицы
Определителем, или детерминантом
A
det квадратной матрицы A порядка
n
называется следующая числовая функция от её элементов: для матрицы первого порядка
11
det
a
A
=
, для матрицы 2-го порядка
21 12 22 11
det
a
a
a
a
A
−
=
, для матриц 3-го порядка и выше детерминант можно определить по индукции при помощи формулы разложения, или раскрытия по i -й строке:
( )
∑
=
+
−
=
n
j
ij
ij
j
i
M
a
A
1 1
det
, где
ij
M
есть дополнительный минор элемента
ij
a
(
черта здесь не обозначает комплексное сопряжение), представляющий собой определитель порядка
1
−
n
, составленный из элементов исходной матрицы A, из которой вычеркнуты i -я строка и j -й столбец. Раскрытие определителя
ij
M
производится аналогично. Матрицы с ненулевым определителем называются невырожденными, или неособыми, а при
0
det
=
A
матрица, строки
(
столбцы) которой становятся при этом линейно зависимыми, называется вырожденной, или особой.
Основные свойства определителей при операциях с элементами матрицы: при перестановке столбцов (строк)
A
det меняет знак, при умножении одной строки (столбца) на число весь
A
det умножается на это число. При транспонировании матрицы её определитель не меняется. Определитель также не меняется при операции, когда меняется лишь одна строка (столбец) матрицы, к элементам которой прибавляют элементы другой строки (столбца), умноженные на некоторое число. Действия над элементами матрицы, при которых не изменяется её определитель, называются элементарным преобразованием матрицы. При вычислении определителей справедливы также равенства
( )
(
)
n
n
A
A
det det
=
,
( )
A
A
n
det det
α
α
=
и
( )
B
A
AB
det det det
⋅
=
Минором
k
- го порядка прямоугольной матрицы A называется определитель, составленный из элементов некоторых
k
строк и
k
столбцов этой матрицы, при этом
( )
n
m
k
,
min
≤
Наивысший порядок минора, отличного от нуля, когда все миноры более высоких порядков равны нулю, называется рангом матрицы A и обозначается
)
rang(A
Любой минор с порядком, равным рангу, называется базисным минором данной матрицы. Строки и столбцы, составляющие базисный минор, называются базисными строками и столбцами, и являются линейно независимыми.

- 8 -
Пример 1. Вычислить определитель
n
- го порядка:
0 5
5 5
5 0
5 5
5 5
0 5
5 5
5 5
M
L
O
L
L
L
M
M
M
=
n
D
Решение. Используем метод элементарных преобразований. Вычтем первую строку матрицы из всех остальных, при этом определитель не изменится:
5 5
5 5
0 5
5 5
0 0
5 5
5 5
5 5
−
−
−
=
M
L
O
L
L
L
M
M
M
n
D
Полученный детерминант есть определитель верхней треугольной матрицы, который равен произведению элементов, стоящих на главной диагонали, т.е.
( ) ( ) ( ) ( )
n
n
n
D
5 1
5 5
5 5
1
⋅
−
=
−
⋅
−
⋅
−
⋅
=
−
K
Пример 2. Показать, что определитель эрмитовой матрицы всегда является вещественным числом.
Решение. Эрмитова матрица обладает свойством
T
A
A
=
, кроме того, определитель любой квадратной матрицы не меняется при транспонировании,
T
A
A
det det
=
, а комплексное сопряжение элементов матрицы приводит к комплексному сопряжению всего определителя,
( )
A
A
det det
=
Комбинируя все эти свойства, мы получаем, что для эрмитовой матрицы
( )
A
A
A
A
T
det det det det
=
=
=
, т.е. число, равное
A
det
, является вещественным.

- 9 -
Задачидлясамостоятельногорешения.
2.1.
Вычислить определитель, используя элементарные преобразования матрицы:
1)
28523 28423 13647 13547
; 2)
621 721 342 443 543 1014 327 427 246
−
2.2.
Вычислить определитель 3-го порядка, где
γ
β
α
,
,
– вещественные числа:
γ
γ
β
β
α
α
2 2
2 2
2 2
cos sin
2
cos sin
2
cos sin
2
−
−
−
2.3.
Доказать, что
2 2
2 2
2 2
1 1
1 1
1 1
b
a
a
c
c
b
b
a
a
c
c
b
b
a
a
c
c
b
+
+
+
+
+
+
+
+
+
=
2 2
2 1
1 1
2
c
b
a
c
b
a
c
b
a
2.4.
Вычислить
(
) (
) (
)
(
) (
) (
)
(
) (
) (
)
(
) (
) (
)
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
3 2
1 3
2 1
3 2
1 3
2 1
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
δ
δ
δ
δ
γ
γ
γ
γ
β
β
β
β
α
α
α
α
2.5.
Решить неравенство относительно
x
:
0 3
5 2
1 1
1 2
2
>
−
−
−
+
x
x
2.6.
Вычислить определитель 5-го порядка:
0 0
36 6
1 0
0 16 4
1 0
0 4
2 1
3 2
0 0
0 1
1 0
0 0
2.7.
Вычислить
A
det
, зная, что в матрице A сумма строк с чётными номерами равна сумме строк с нечётными номерами.
2.8.
Найти все комплексные числа, умножение на которые матрицы порядка
n
не изменит её определителя.

- 10 -
2.9. 1)
Найти число всех миноров
k
- го порядка квадратной матрицы порядка
n
, содержащихся в фиксированных
k
строках.
2)
Найти число всех миноров
k
- го порядка квадратной матрицы порядка
n
2.10.
Пусть в матрице порядка
n
какие-либо
n
элементов равны 1, а остальные равны нулю. Чему может быть равен определитель матрицы A?
2.11.
Найти все числа, умножение на которые квадратной матрицы порядка
n
не меняет её определителя.
2.12.
Вычислить определитель
n
- го порядка:
1)
0 0
1 1
0 0
0 1
0 0
0 1
0
L
L
O
O
M
M
O
M
L
2)
n
n
n
n
L
L
O
L
L
L
L
L
L
3 2
1 0
2 1
3 0
1 3
2 1
−
−
−
−
−
−
3)
1 0
0 1
0 1
0 1
0 0
1 1
1 1
1 0
L
O
O
M
M
M
O
L
L
4)
n
L
L
L
O
O
M
M
L
M
L
3 2
1 1
0 0
0 1
0 0
0 1
0 5)
2 1
0 0
1 0
2 1
0 1
2 1
0 0
1 2
L
O
O
O
M
O
M
O
L
2.13.
Доказать, что для любой вещественной матрицы A выполняется неравенство
( )
0
det
≥
T
AA
2.14.
Вычислить определитель Вандермонда
(
)
n
x
x
W
K
,
1
, где
n
x
x
K
,
1
– переменные:
(
)
1 1
3 1
2 1
1 2
2 3
2 2
2 1
3 2
1 1
1 1
1 1
,
−
−
−
−
=
n
n
n
n
n
n
n
n
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
W
L
L
L
L
L
L
L
L
L
K
2.15.
Найти ранг и указать базисный минор матрицы:
1)
1 1
1 1
1 1
−
2)
14 6
4 4
0 2
1 3
1 2
2 0
−
−
−
3)
2 8
1 1
2 7
1 5
2 4
4 2
3 1
2
−
−
−
−

- 11 -
4)
48 20 32 25 134 54 94 75 132 53 94 75 43 17 31 25 5)
1 1
1 0
0 0
0 1
0 1
0 0
1 0
0 1
1 0
0 0
1 0
1 0
0 0
0 1
0 1
−
−
−
−
−
−
2.16.
Пусть
(
)
n
T
a
a
K
,
1
=

  1   2   3   4   5   6   7