ОГЭ 2018 Математика Новый полный справочник. Справочник для подготовки к огэ А. Г. Мерзляк, В. Б. Полонский
 Скачать 3.79 Mb.
| Образовательный портал Как узнать результаты егэ Стихи про летний лагерь 3агадки для детей |
| Часть 2 29. В угол, величина которого составляет 60 , вписаны две окружности, касающиеся друг друга внешним образом. Найдите радиус меньшей из них, если радиус большей равен 12 см. На хорде AB окружности отметили точку M. Докажите, что MA MB = R 2 – d 2 , где R — радиус окружности, d — расстояние от точки M до центра окружности. Окружность, центр которой принадлежит гипотенузе прямоугольного треугольника, касается большего катета и проходит через вершину противолежащего острого угла. Найдите радиус окружности, если катеты равны 5 см и 12 см. Две окружности, радиусы которых равны 4 см и 9 см, касаются внешним образом. Найдите расстояние между точками касания данных окружностей сих общей внешней касатель ной. Рис. 17.40 Глава II. ГЕОМЕТРИЯ. Две окружности с центрами O 1 и O 2 , радиусы которых равны 10 см и 16 см соответственно, касаются внешним образом в точке C. Прямая, проходящая через точку C, пересекает окружность с центром O 1 в точке A, а другую окружность в точке B. Найдите хорды AC и BC, если 39 см. На продолжении стороны AC треугольника ABC заточку отметили точку D так, что ADB = 30 Найдите радиус окружности, описанной около треугольника ABD, если ACB = 45 , а радиус окружности, описанной около треугольника равен 8 см. Основание равнобедренного тупоугольного треугольника равно 18 см, а радиус описанной около него окружности — 15 см. Найдите боковую сторону треугольника. Биссектриса AM треугольника ABC ( C = 90 делит катет BC на отрезки длиной 6 см и 10 см. Найдите радиус окружности, проходящей через точки A, C и M. 37. Стороны треугольника равны 6 см, 25 см и см. Найдите радиус вписанной окружности данного треугольника. Точка касания окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, делит его гипотенузу на отрезки 8 см и 12 см. Найдите периметр треугольника. Катеты прямоугольного треугольника равны см и 8 см. Найдите расстояние от вершины меньшего острого угла треугольника до центра вписанной окружности § 18. Многоугольник. Высота равнобедренного треугольника, прове дённая к основанию, равна 18 см, а радиус вписанной в него окружности — 8 см. Найдите периметр данного треугольника. Одна из сторон треугольника равна 30 см, а другая сторона делится точкой касания вписанной окружности на отрезки длиной 12 см и 14 см, считая от конца неизвестной стороны. Найдите радиус вписанной окружности. Окружность, вписанная в треугольник ABC, касается стороны AB в точке D, BD = 1 см 5 см, ABC = 120 . Найдите отрезок CD. 43. Основание равнобедренного треугольника равно см, а высота, проведённая к нему, — 15 см. Найдите расстояние между точками касания окружности, вписанной в треугольник, сего боковыми сторонами. Перпендикуляр, опущенный из точки окружности на её диаметр, делит диаметр на два отрезка, один из которых на 27 см больше другого. Найдите длину окружности, если длина перпендикуляра равна 18 см 18. Многоугольник. Четырёхугольник и его элементы Рассмотрим фигуру, состоящую из четырёх точек и четырёх отрезков AB, BC, CD, таких, что никакие два соседних отрезка не лежат на одной прямой и никакие два несоседних отрезка не имеют общих точек (рис. 18.1). Фигура, образованная этими отрезками, ограничивает часть плос Глава II. ГЕОМЕТРИЯ кости, выделенной на рисунке 18.2. Эту часть плоскости вместе с отрезками AB, BC, CD и DA называют четырёхугольником. Точки A, B, C и D называют вершинами четырёхугольника, а отрезки AB, BC , CD и DA — сторонами четырёхугольника. Сумму длин всех сторон четырёхугольника называют периметром четырёхугольника. Отрезок, соединяющий противолежащие вершины четырёхугольника, называют диагональю. На рисунке 18.3 отрезки AC и BD — диагонали четы рёхугольника Углы ABC, BCD, CDA ирис) называют углами четырёхугольника ABCD. В этом четырёх угольнике все они меньше развёрнутого угла. Такой четырёхугольник называют выпуклым. На рисунке угол B четырёхугольника ABCD больше 180 Такой четырёхугольник называют невыпуклым. A C B D A C B D Рис. Рис. Рис. 18.3 § 18. Многоугольник 351 Сумма углов четырёхугольника равна 360 . 18.2. Параллелограмм и его свойства Параллелограммом называют четырёхуголь ник, у которого каждые две противолежащие стороны параллельны. На рисунке 18.6 изображён параллелограмм AB || CD, BC || AD. Высотой параллелограмма называют перпендикуляр, опущенный из любой точки прямой, содержащей сторону параллелограмма, напрямую, содержащую противолежащую сторону. На рисунке 18.7 каждый из отрезков AF, QE, BM , CK, PN является высотой параллелограмма ABCD A C B D A C B D Рис. Рис. Рис. Рис. 18.7 Глава II. ГЕОМЕТРИЯ Свойства параллелограмма. У параллелограмма противолежащие стороны равны. На рисунке 18.6 изображён параллелограмм, поэтому АВ = CD, BC = AD. 2. У параллелограмма противолежащие углы равны. На рисунке 18.6 изображён параллелограмм, поэтому A = C, B = D. 3. У параллелограмма диагонали точкой пересечения делятся пополам. На рисунке 18.8 изображён параллелограмм, диагонали которого пересекаются в точке поэтому AO = OC, BO = OD. 4. Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов его сторон. Имеем: BD 2 + AC 2 = 2AB 2 + 2BC 2 (рис. Задача. Биссектриса тупого угла параллелограмма делит сторону в отношении 2 : 1, считая от вершины острого угла. Найдите стороны параллелограмма, если его периметр равен 60 см. Р е ш е ни е. Пусть биссектриса тупого угла B параллелограмма (рис. 18.9) пересекает сторону в точке M. По условию AM : MD = 2 : Углы ABM и CBM равны по условию. Рис. Рис. 18.9 § 18. Многоугольник 353 Углы CBM и AMB равны как накрест лежащие при BC || AD и секущей Тогда ABM = AMB . Следовательно, треугольник равнобедренный, отсюда AB = Пусть MD = x см, тогда AB = AM = 2x см 3x см. Периметр параллелограмма равен + AD). Учитывая условие, получаем (2x + 3x) = 60; x = Следовательно, AB = 12 см, AD = 18 см. О т в е т 12 см, 18 см. Признаки параллелограмма. Если в четырёхугольнике каждые две противолежащие стороны равны, то этот четырёхугольник — параллелограмм. На рисунке 18.10 изображён четырёхугольник ABCD , у которого AB = CD и BC = AD, поэтому че тырёхугольник ABCD — параллелограмм. 2. Если в четырёхугольнике две противолежащие стороны равны и параллельны, то этот четы рёхугольник — параллелограмм. На рисунке 18.10 изображён четырёхугольник ABCD , в котором BC = AD и BC || AD, поэтому четы рёхугольник ABCD — параллелограмм. A C B D A C B D O Рис. Рис. 18.11 Глава II. ГЕОМЕТРИЯ. Если в четырёхугольнике диагонали точкой пересечения делятся пополам, то этот четырёх угольник — параллелограмм. На рисунке 18.11 изображён четырёхугольник ABCD , в котором диагонали AC и BD пересекаются в точке O, причём AO = OC и BO = OD, поэтому че тырёхугольник ABCD — параллелограмм. 4. Если в четырёхугольнике каждые два противолежащих угла равны, то этот четырёхугольник — параллелограмм. На рисунке 18.10 изображён четырёхугольник ABCD , в котором A = C, B = D, поэтому четы рёхугольник ABCD — параллелограмм. З ада ч а. Две стороны треугольника равны 23 см и 30 см, а медиана, проведённая к большей из известных сторон, — 10 см. Найдите третью сторону треугольника. Р е ш е ни е. Пусть в треугольнике ABC AC = 23 см 30 см, отрезок AM — медиана, AM = 10 см. На продолжении отрезка AM заточку отложим отрезок MD, равный медиане рис. 18.12). Тогда AD = 20 см. В четырёхугольнике ABDC диагонали AD и BC точкой пересечения делятся пополам (BM = MC по условию, AM = MD по построению. Следовательно, четырёхугольник ABDC — параллелограмм. Рис. 18.12 § 18. Многоугольник 355 По свойству диагоналей параллелограмма имеем + BC 2 = 2 (AB 2 + Тогда 20 2 + 30 2 = 2 (AB 2 + 23 2 ); 400 + 900 = 2 (AB 2 + 529); AB 2 = 121; AB = 11 см. О т в е т 11 см. Прямоугольник, ромб, квадрат Прямоугольником называют параллелограмму которого все углы прямые. На рисунке 18.13 изображён прямоугольник Диагонали прямоугольника равны. На рисунке 18.14 изображён прямоугольник. Его диагонали AC и BD равны. Если один из углов параллелограмма прямой, то этот параллелограмм — прямоугольник. Если диагонали параллелограмма равны, то этот параллелограмм — прямоугольник. Ромбом называют параллелограмму которого все стороны равны. A C B D Рис. Рис. Рис. 18.15 Глава II. ГЕОМЕТРИЯ На рисунке 18.15 изобра жён ромб ABCD. Диагонали ромба перпендикулярны и являются биссектрисами его углов. На рисунке 18.16 изобра жён ромб ABCD, диагонали которого пересекаются в точке O. Поэтому BO AC и = Если диагонали параллелограмма перпендикулярны, то этот параллелограмм — ромб. Если диагональ параллелограмма является биссектрисой его угла, то этот параллелограмм — ромб. Квадратом называют прямоугольнику которого все стороны равны. На рисунке 18.17 изобра жён квадрат Квадрат — это ромбу которого все углы равны. Квадрат является отдельным видом и прямоугольника и ромба. Диагонали квадрата равны, перпендикулярны и являются биссектрисами его углов. Примеры заданий № Часть 1 1. Найдите наименьший из углов четырёхугольни ка, если они пропорциональны числами Ответ дайте в градусах. A C B D O Рис. Рис. 18.17 § 18. Многоугольник. В угол A, изображённый на рисунке, вписана окружность, которая касается сторон угла в точках B и C. Найдите угол, если A = 112 . Ответ дайте в градусах. Чему равна меньшая из сторон параллелограмма, если она на 5 см меньше другой стороны, а периметр параллелограмма равен 70 см Ответ дайте в сантиметрах. Один из углов параллелограмма равен 45 . Его высота, проведённая из вершины тупого угла, равна 3 и делит сторону параллелограмма пополам. Найдите эту сторону параллелограмма. Величины двух углов параллелограмма относятся как 8 : 7. Найдите больший угол параллелограмма. Ответ дайте в градусах. Найдите градусную меру острого угла параллелограмма, изображённого на рисунке, если биссектриса угла BAD образует со стороной BC угол, равный 37 . 7. На рисунке 18.20 изображён прямоугольник, отличный от квадрата. Укажите верное утверждение) AC = AD 3) AC BD 2) ACB = ACD 4) AO = Рис. Рис. Рис. 18.20 Глава II. ГЕОМЕТРИЯ. Каким свойством обладает любой прямоугольник) диагонали равны) диагонали перпендикулярны) диагонали являются биссектрисами его углов) угол между диагоналями равен 30 9. Из четырёх равных прямоугольников составлен прямоугольник ABCD так, как это показано на рисунке. Чему равен периметр прямоугольника, если периметр прямоугольника ABCD равен 24 см Ответ дайте в сантиметрах. Сторона прямоугольника равна 12 см и образует сего диагональю угол 30 . Найдите неизвестную сторону прямоугольника) 6 см) 4 см) 6 см) 12 см. Биссектриса угла D прямоугольника ABCD пересекает сторону AB в точке M, BM = 5, AD = Найдите периметр прямоугольника. На рисунке 18.22 изображён прямоугольник, BOC = 128 . Какова градусная мера угла Рис. 18.21 3 3 Рис. Рис. 18.23 § 18. Многоугольник. В прямоугольник ABCD, изображённый на рисунке, вписана полуокружность с диаметром. Чему равно отношение BC : AB? 1) 2 : 1 3) 3 : 1 2) 1 : 1 4) 2 : 14. Какое свойство имеет любой ромб) диагонали равны) диагонали перпендикулярны) один из углов равен 60 4) угол между диагоналями равен 60 15. На рисунке 18.24 изображён ромб ABCD, отличный от квадрата. Укажите неверное утверждение. Угол между высотой ромба, проведённой из вершины тупого угла, и его меньшей диагональю равен 20 . Какова градусная мера меньшего из углов ромба. В ромбе ABCD, изображённом на рисунке 18.25, B = 100 . Какова градусная мера угла ACD? 18. Диагонали ромба равны 6 и 8. Найдите периметр ромба. A C B D O Рис. Рис. 18.25 Глава II. ГЕОМЕТРИЯ. Укажите верное утверждение) если четырёхугольник одной из диагоналей делится на равные треугольники, то он является параллелограммом) если каждые два противолежащих угла четы рёхугольника равны, то он является параллелограммом) если диагонали четырёхугольника перпендикулярны, то он является ромбом) если диагонали четырёхугольника равны и перпендикулярны, то он является квадратом. На рисунке 18.26 изображён квадрат ABCD, AE = Чему равен угол DAE? Ответ дайте в градусах. Диагонали квадрата ABCD пересекаются в точке O, AO = 12. Найдите отрезок BD. 22. Найдите диагональ квадрата, сторона которого равна Часть 2 23. Сторона BC параллелограмма ABCD вдвое меньше стороны AB. Точка M — середина отрезка. Докажите, что луч CM — биссектриса угла. Биссектрисы углов B и C параллелограмма пересекаются в точке M, принадлежащей стороне AD. Докажите, что точка M — середина стороны AD. 25. Одна из сторон параллелограмма равна 10 см, меньшая диагональ — 14 см, а острый угол — 60 . Найдите периметр этого параллелограмма. A C B D O E Рис. 18.26 2 § 18. Многоугольник. Стороны треугольника равны 6 см и 8 см. Медиана треугольника, проведённая к его третьей стороне, равна см. Найдите неизвестную сторону треугольника. Медиана AM треугольника ABC равна m и образует со сторонами AB и AC углы и соответственно. Найдите сторону AC. 28. Высота BH ромба ABCD делит сторону CD на отрезки см и DH = 16 см. Найдите высоту ромба. Перпендикуляр, опущенный из точки пересечения диагоналей ромба на его сторону, делите на отрезки длиной 3 см и 12 см. Найдите бoль шую диагональ ромба. Перпендикуляр, опущенный из точки пересечения диагоналей ромба на его сторону, делите на два отрезка, один из которых на 5 см больше другого. Найдите периметр ромба, если длина этого перпендикуляра равна 6 см. На стороне BC квадрата ABCD отметили точку так, что DAM = 60 . Найдите отрезок MD, если см. Трапеция. Средняя линия трапеции Трапецией называют четырёхугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие не па раллельны. Каждый из четырёхугольников, изображённых на рисунке 18.27, является трапецией. Параллельные стороны трапеции называют основаниями, а непараллельные — боковыми сторонами (рис. 18.28). 46 3 Глава II. ГЕОМЕТРИЯ Высотой трапеции называют перпендикуляр, опущенный из любой точки прямой, содержащей одно из оснований, напрямую, содержащую другое основание. На рисунке 18.29 каждый из отрезков BM, EF, DK , PQ является высотой трапеции На рисунке 18.30 изображена трапеция ABCD, в которой боковые стороны AB и CD равны. Такую трапецию называют равнобокой или равнобедрен ной. Если боковая сторона трапеции является её высотой, то такую трапецию называют прямоугольной (рис. Средней линией трапеции называют отрезок, соединяющий середины её боковых сторон. На рисунке 18.32 отрезок MN — средняя линия трапеции ABCD. Рис. боковая сторона боковая сторона основание основание Рис. Рис. 18.29 § 18. Многоугольник 363 Средняя линия трапеции параллельна основаниями равна их полусумме. Имеем: MN || AD ирис. В равнобокой трапеции) углы при каждом основании равны) диагонали равны) высота трапеции, проведённая из вершины тупого угла, делит основание трапеции на два отрезка, меньший из которых равен полуразности оснований, а больший — полусумме оснований (средней линии трапеции). З ада ч а. В равнобокой трапеции основания равны см и 9 см, а боковая сторона — 10 см. Найдите диагональ трапеции. Р е ш е ни е. Проведём высоту равнобокой трапеции (рис. Известно, что AM = , MD = Имеем AM = 6 см, MD = 15 см. Из треугольника ABM получаем = = 8 (см). A C B D A C B D A C B D N M Рис. Рис. Рис. Рис. 18.33 AD BC 2 BC AD 2 AB 2 AM 2 10 2 6 2 Глава II. ГЕОМЕТРИЯ Из треугольника MBD получаем = = 17 (см). О т в е т 17 см. Четырёхугольник, вписанный в окружность Четырёхугольник называют вписанным, если существует окружность, которой принадлежат все его вершины. На рисунке 18.34 изобра жён вписанный четырёх угольник ABCD. В этом случае также говорят, что окружность описана около четырёхугольника. Если четырёхугольник является вписанным, то сумма его противолежащих углов равна 180 На рисунке 18.34 углы A и C — противолежащие углы вписанного четырёхугольника ABCD. Поэтому 180 Если в четырёхугольнике сумма противолежащих углов равна 180 , то он является вписанным. Например, прямоугольники равнобокую трапецию можно вписать в окружность. З ада ч а. Из произвольной точки M катета прямоугольного треугольника опущен перпендикулярна гипотенузу. Докажите, что 8 2 15 Рис. Рис. 18.35 § 18. Многоугольник 365 Р е ш е ни е. Имеем BCA = 90 , MKB = рис. 18.35), тогда BCA + MKB = 180 . Следовательно, около четырёхугольника CBKM можно описать окружность. Углы MKC и MBC являются вписанными, опирающимися на одну дугу. Отсюда MKC = MBC. 18.7. Четырёхугольник, описанный около окружности Четырёхугольник называют описанным, если существует окружность, касающаяся всех его сто рон. На рисунке 18.36 изображён описанный четы рёхугольник ABCD. В этом случае также говорят, что окружность вписана в четырёхугольник. Если четырёхугольник является описанным, то суммы его противолежащих сторон равны. На рисунке 18.36 в четырёх угольник ABCD вписана окружность. Поэтому AB + CD = BC + Если в выпуклом четырёх угольнике суммы противолежащих сторон равны, то этот четы рёхугольник является описан ным. Например, описанным четырёхугольником является ромб. Сумма углов выпуклого многоугольника Сумма углов выпуклого n угольника равна (n – На рисунке 18.37 изображён выпуклый n угольник. Угол 1 является смежным Рис. 18.36 Глава II. ГЕОМЕТРИЯ углом 2 многоугольника. Угол 1 называют внешним углом при вершине A 1 выпуклого многоугольника ... Сумма внешних углов выпуклого n угольника, взятых по одному при каждой вершине, равна Задача. Существует ли многоугольник, каждый угол которого равен 100 Решение. Предположим, что такой многоугольник существует и количество его углов равно. Тогда сумма его углов равна 100 n. Эта сумма также равна 180 (n – 2). Получаем уравнение – 2) = 100n. Отсюда 2n = 9. Поскольку должно быть натуральным числом, то такого многоугольника не существует. Правильные многоугольники Многоугольник называют правильным, если у него все стороны равны и все углы равны. Например, равносторонний треугольник — это правильный треугольник, квадрат это правильный четырёх угольник. На рисунке изображены правильные пятиугольники восьмиугольник. Любой правильный многоугольник является как вписанным, таки описанным, причём центры его описанной и вписанной окружностей совпадают. Рис. Рис. 18.38 § 18. Многоугольник 367 Точку, которая является центром описанной и вписанной окружностей правильного многоугольника, называют центром правильного многоугольника. На рисунке 18.39 изо бражён фрагмент правильного угольника с центром O и стороной AB. Угол AOB называют центральным углом правильного многоугольника, AOB = Если длину стороны правильного угольника обозначить, то радиусы R n и r n соответственно описанной и вписанной окружностей можно вычислить по формулам = , r n = Подставив в эти формулы вместо n числа 3, 4, получим формулы для нахождения радиусов описанной и вписанной окружностей для правильных треугольника, четырёхугольника и шестиугольника со стороной Количество сторон правильного n угольника = 3 n = 4 n = Радиус описанной окружности = R 4 = R 6 = Радиус вписанной окружности = r 4 = r 6 = Рис. 18.39 360 n a n 2 180 n sin a n 2tg 180 n a 3 3 a 2 2 a 3 6 a 2 a 3 2 Глава II. ГЕОМЕТРИЯ З ада ч а. В окружность вписан правильный треугольник со стороной 18 см. Найдите сторону правильного шестиугольника, описанного около этой окружности. Р е ш е ни е. Радиус окружности, описанной около правильного треугольника, вычисляется по формуле, где a — длина стороны треугольника (рис. 18.40). Следовательно (см). По условию радиус окружности, вписанной в правильный шестиугольник, равен радиусу окружности, описанной около правильного треугольника, те см. Так как, где b — длина стороны правильного шестиугольника, то b = = = 12 (см). О т в е т 12 см. Примеры заданий № Часть 1 1. Как можно окончить предложение В любой равнобокой трапеции, чтобы полученное утверждение было верным) диагонали перпендикулярны) диагонали точкой пересечения делятся пополам a b Рис. 18.40 a 3 3 18 3 3 6 3 6 3 b 3 2 2r 6 3 2 6 3 3 § 18. Многоугольник) диагонали делят углы трапеции пополам) диагонали равны. Сумма двух углов равнобокой трапеции равна . Найдите больший угол трапеции. Ответ дайте в градусах. Прямая CE параллельна боковой стороне AB трапеции, изображённой на рисунке 18.41. Найдите градусную меру угла трапеции. Чему равен больший из углов равнобокой трапеции, если один из них враз меньше другого? Ответ дайте в градусах. Известно, что AD — большее основание трапеции. Через вершину B проведена прямая, которая параллельна стороне CD и пересекает основание AD в точке M. Найдите периметр трапеции, если периметр треугольника равен 28, BC = 5. 6. Меньшее основание прямоугольной трапеции равно 9 см, бoльшая диагональ — 17 см, а высота см. Чему равен периметр трапеции Ответ дайте в сантиметрах. Найдите высоту равнобокой трапеции, основания которой равны 23 см и 17 см, а диагональ — 25 см. Ответ дайте в сантиметрах. Основания трапеции относятся как 2 : 5, а её средняя линия равна 28 см. Найдите основания трапеции) 8 см, 20 см) 32 см, 80 см) 16 см, 40 см) 12 см, 30 см A D C B 25° 80° E Рис. 18.41 Глава II. ГЕОМЕТРИЯ. Прямые MK и NP, пересекающие стороны треугольника, изображённого на рисунке, параллельны стороне BC, AK = KP = PC, MK = 6 см. Чему равна длина стороны BC треугольника Ответ дайте в сантиметрах. Вершинами какого четырёхугольника являются концы двух неперпендикулярных диаметров окружности) трапеция) квадрат) ромб) прямоугольник. Какое утверждение неверно) через любые две точки можно провести окружность) около любого треугольника можно описать окружность) около любого прямоугольника можно описать окружность) около любой трапеции можно описать окружность. На рисунке 18.43 изображена трапеция ABCD с основаниями AD и BC, вписанная в окружность. Чему равно отношение стороны AB к стороне CD? 1) 1 : 1 2) 2 : 1 3) 4 : 1 4) 3 : Рис. Рис. 18.43 § 18. Многоугольник. Боковые стороны трапеции равны 3 см и 7 см. Найдите среднюю линию трапеции, если вне можно вписать окружность) 5 см 2) 4 см 3) 6 см 4) найти невозможно. Сумма углов выпуклого многоугольника равна . Чему равно количество его сторон. Найдите градусную меру угла правильного двадцатиугольника. 16. Определите количество сторон правильного многоугольника, центральный угол которого равен 10 . 17. Сколько сторон имеет правильный многоугольник, угол которого равен 150 ? 18. Укажите неверное утверждение) если стороны четырёхугольника равны, то его углы равны) если около четырёхугольника можно описать окружность, то суммы его противолежащих углов равны) любой правильный n угольник имеет ось симметрии) в любой правильный n угольник можно вписать окружность. Чему равен радиус окружности, вписанной в правильный треугольник со стороной 18 см) 3 см) 6 см) 9 см) 18 см. Около окружности описан правильный шестиугольник со стороной 8 см. Найдите сторону квадрата, вписанного в эту окружность) 12 см) 6 см) 12 см) 6 см 3 3 3 3 2 2 Глава II. ГЕОМЕТРИЯ. Пять правильных шестиугольников расположены так, как показано на рисунке 18.44. Длина окружности, описанной около одного из шестиугольников, равна 12 см. Чему равна длина выделенной линии Ответ дайте в сантиметрах. Фигура, изображённая на рисунке 18.45, составлена из правильных многоугольников. Диаметр окружности, описанной около правильного шестиугольника, изображённого на этом рисунке, равен 4 см. Чему равна длина выделенной линии Ответ дайте в сантиметрах.  перейти в каталог файлов | Образовательный портал Как узнать результаты егэ Стихи про летний лагерь 3агадки для детей |