ОГЭ 2018 Математика Новый полный справочник. Справочник для подготовки к огэ А. Г. Мерзляк, В. Б. Полонский
 Скачать 3.79 Mb.
| Образовательный портал Как узнать результаты егэ Стихи про летний лагерь 3агадки для детей |
| § 14. Простейшие геометрические фигуры и их свойства. Прямая, луч, отрезок. Измерение отрезков Через любые две точки можно провести прямую, ипритом только одну. Прямую обозначают, указывая и называя две любые её точки. Так, прямую, изображённую на рисунке, обозначают одним из двух способов или BA. Прямые также обозначают одной строчной латинской буквой. На рисунке 14.2 изображены прямые и n. Две прямые, имеющие общую точку, называют пересекающимися. На рисунке 14.3 изображены прямые a и b, пересекающиеся в точке O. Любые две пересекающиеся прямые имеют только одну общую точку. 1 Здесь ив дальнейшем, говоря две точки, три точки», «две прямые и т. д, будем иметь ввиду, что это разные точки и разные прямые. B A n m O a b Рис. Рис. Рис. 14.3 Глава II. ГЕОМЕТРИЯ Проведём прямую AB и отметим на ней произвольную точку O. Эта точка разбивает прямую на две части (рис. 14.4). Каждую из этих частей вместе сточкой называют лучом или полупрямой. Точку называют началом луча. Луч обозначают, указывая две его точки первой указывают начало луча, второй — любую другую точку, принадлежащую лучу. Так, луч с началом в точке O (рис. 14.5) можно обозначить OM или ON. Два луча, имеющие общее начало и лежащие на одной прямой, называют дополнительными. Например, на рисунке 14.6 лучи BC и BA — дополни тельные. На рисунке 14.7 изображена прямая a, проходящая через точки A и B. Эти точки ограничивают часть прямой a. Такую часть прямой вместе с точками и B называют отрезком, а точки A и B концами этого отрезка. Отрезок обозначают, указывая его концы. На рисунке изображён отрезок Два отрезка называют равными, если их можно совместить наложением. B O A N O M C A B Рис. Рис. Рис. 14.6 B a A N M B A C AB = AC + Рис. Рис. Рис. 14.9 § 14. Простейшие геометрические фигуры и их свойства 275 Каждый отрезок имеет определённую длину, и для её измерения надо выбрать единичный отрезок. В качестве единичного можно выбрать любой отрезок. На практике чаще всего используют такие единичные отрезки 1 мм, 1 см, 1 дм, 1 м, 1 км. Если точка C является внутренней точкой отрезка рис. 14.9), то отрезок AB равен сумме отрезков и CB, те. Угол. Измерение углов На рисунке 14.10 изображена фигура, состоящая из двух лучей OA и OB, имеющих общее начало. Эта фигура делит плоскость на две части. Каждую из этих частей вместе с лучами OA и OB называют углом. Лучи OA и OB называют сторонами угла, а точку O — вершиной угла. Угол на рисунке 14.11 можно обозначить так, или NOM, или просто O. Угол, стороны которого являются дополнительными лучами, называют развёрнутым рис. Два угла называют равными, если их можно совместить наложением. Биссектрисой угла называют луч с началом в вершине угла, делящий этот угол на два равных уг O A B O M N O Рис. Рис. Рис. 14.12 Глава II. ГЕОМЕТРИЯ ла. На рисунке 14.13 луч OK — биссектриса угла, Каждый угол имеет величину и для её измерения нужно выбрать единицу измерения — единичный угол. Разделим развёрнутый угол на 180 равных углов (рис. 14.14). Угол, образованный двумя соседними лучами, принимают за единичный и называют градусом. Записывают 1 Угол, градусная мера которого равна 90 , называют прямым. Угол, градусная мера которого меньше , называют острым. Угол, градусная мера которого больше 90 , но меньше 180 , называют тупым. На рисунке 14.15 изображены углы каждого из трёх видов. Если луч OC делит угол AOB на два угла ирис, то AOB Рис. Рис. Острый угол Прямой угол Тупой угол = AOC + Рис. Рис. 14.16 § 14. Простейшие геометрические фигуры и их свойства. Смежные и вертикальные углы Два угла называют смежными, если у них одна сторона общая, а две другие являются дополнительными лучами. На рисунке 14.17 углы АОС и ВОС — смежные. Сумма смежных углов равна . На рисунке AOC + COB = 180 Два угла называют вертикальными, если стороны одного угла являются дополнительными лучами сторон другого. На рисунке 14.18 углы AOB и COD вертикальные, углы AOC и BOD — вертикальные. Вертикальные углы равны. На рисунке 14.18 AOB = COD, AOC = BOD. 14.4. Перпендикулярные прямые. Угол между пересекающимися прямыми. Перпендикуляр и наклонная. Расстояние от точки до прямой Две прямые называют перпендикулярными, если при пересечении они образуют прямые углы. На рисунке 14.19 прямые a и b — перпендикулярные. Пишут a b или На рисунке 14.20 прямые AD и BC не перпендикулярны. Они при пересечении образовали пару равных острых углов и пару равных тупых углов. O A C B O A C B D Рис. Рис. 14.18 Глава II. ГЕОМЕТРИЯ Величину образовавшегося острого угла называют углом между прямыми AD и Если прямые перпендикулярны, то считают, что угол между ними равен 90 На рисунке 14.21 изображены прямая a и перпендикулярный ей отрезок AB, конец B которого принадлежит прямой a. В таком случае говорят, что из точки A напрямую опустили перпендикуляр AB. Точку B называют основанием перпендикуляра Длину перпендикуляра AB называют расстоянием от точки A до прямой a. Если точка A принадлежит прямой a, то расстояние от точки A до прямой считают равным нулю. На рисунке 14.22 изображён перпендикуляр опущенный из точки O напрямую. Точка M, его основание, принадлежит отрезку AB (лучу Рис. Рис. Рис. Рис. Рис. 14.23 § 14. Простейшие геометрические фигуры и их свойства 279 В таких случаях длину этого перпендикуляра также называют расстоянием от точки O до отрезка луча Если точка принадлежит отрезку (лучу, то расстояние от этой точки до отрезка (луча) считают равным нулю. Опустим из точки A напрямую перпендикуляр (рис. 14.23). Пусть X — произвольная точка прямой a, отличная от точки B. Отрезок AX называют наклонной, проведённой из точки A к прямой Отрезок ВХ называют проекцией наклонной АХ напрямую а. Если из одной точки к прямой проведены перпендикуляр и наклонная, то перпендикуляр меньше наклонной. На рисунке 14.23 АВ < АХ. Примеры заданий № Часть 1 1. Какие из следующих утверждений верны) через заданную точку плоскости можно провести единственную прямую) существуют три прямые, проходящие через одну точку) через точку, не принадлежащую данной прямой, можно провести прямую, перпендикулярную этой прямой) из точки, не принадлежащей данной прямой, можно провести только две наклонные к этой прямой (В ответе запишите в порядке возрастания номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов Глава II. ГЕОМЕТРИЯ. Точка M принадлежит отрезку AB, длина которого равна 28 см. Найдите длину отрезка AM, если. Ответ дайте в сантиметрах. На прямой последовательно отмечены точки A, B , C итак, что AC = 10 см, BC = 4 см 7 см. Найдите отрезок AD. Ответ дайте в сантиметрах. Отрезок длиной 18 см разделили на четыре отрезка. Расстояние между серединами средних отрезков равно 5 см. Найдите расстояние между серединами крайних отрезков. Ответ дайте в сантиметрах. Десять автобусных остановок расположены на прямой улице так, что расстояния между любыми соседними остановками одинаковы. Расстояние между первой и третьей остановками равно км. Какое расстояние между первой и последней остановками Ответ дайте в километрах. Для разметки земельного участка на расстоянии м друг от друга вкопали колышки так, чтобы они были расположены на одной прямой. Расстояние между первыми последним колышками составило м. Сколько вкопали колышков. Из вершины прямого угла, изображённого на рисунке, проведены два луча EC итак, что AEF = = 58 , CED = 49 . Вычислите величину угла CEF. Ответ дайте в градусах. Укажите неверное утверждение) смежные углы имеют общую вершину) смежные углы имеют общую сторону) всегда один из смежных углов острый, а другой тупой F C D E A Рис. 14.24 § 14. Простейшие геометрические фигуры и их свойства) если углы AOC и COB — смежные, то лучи и OB — дополнительные. Луч KC является биссектрисой угла AKP, изображённого на рисунке 14.25, MKC = 128 Вычислите градусную меру угла AKP. 10. Углы DEF и MEF смежные, луч EK — биссектриса угла DEF, угол KEF в 3 раза меньше угла. Найдите градусную меру угла DEF. 11. Найдите величину угла между биссектрисами двух смежных углов) 60 3) 90 2) 120 4) зависит от величин углов. Укажите неверное утверждение) вертикальные углы равны) если углы равны, то они вертикальные) вертикальные углы имеют общую вершину) стороны вертикальных углов образуют две пары дополнительных лучей. Чему равна величина угла между биссектрисами вертикальных углов) 0 3) 180 2) 90 4) зависит от величин углов. На клетчатой бумаге с размером клетки 1 отмечены точки A, B ирис. Найдите расстояние от точки до прямой Рис. Рис. 14.26 Глава II. ГЕОМЕТРИЯ 15. Параллельные прямые. Признаки параллельности прямых Две прямые называют параллельными, если они не пересекаются. На рисунке 15.1 изображены параллельные прямые и b. Пишут a || b (читают прямые a и b параллельны или прямая a параллельна прямой Если два отрезка лежат на параллельных прямых, то их тоже называют параллельными. На рисунке 15.2 отрезки AB и CD параллельны. Пишут AB || Если две прямые a и b пересечь третьей прямой то образуется восемь углов (рис. 15.3). Прямую называют секущей прямых a и Углы 3 и 6, 4 и 5 называют односторонними. Углы 3 и 5, 4 и 6 называют накрест лежащими. Углы 6 и 2, 5 и 1, 3 и 7, 4 и 8 называют соответ ственными. Признаки параллельности прямых. Две прямые, перпендикулярные третьей прямой, параллельны. На рисунке 15.4 a c и b c , поэтому a || b. 2. Если накрест лежащие углы, образующиеся при пересечении двух прямых секущей, равны, то прямые параллельны 2 4 3 6 5 Рис. Рис. Рис. Рис. 15.4 § 15. Параллельные прямые 283 На рисунке 15.5 прямая c является секущей прямых и b, 1 = 2, поэтому a || b. 3. Если сумма односторонних углов, образующихся при пересечении двух прямых секущей, равна, то прямые параллельны. На рисунке 15.6 прямая c является секущей прямых и b, 1 + 2 = 180 , поэтому a || b. 4. Если соответственные углы, образующиеся при пересечении двух прямых секущей, равны, то прямые параллельны. На рисунке 15.7 прямая c является секущей прямых и b, 1 = 2, поэтому a || b. Задача. На рисунке 15.8 AB = CD, ABD = = CDB. Докажите, что BC || Решение. Для треугольников ABD и CDB имеем по условию, отрезок общая сторона. Значит, треугольники и CDB равны по двум сторонами углу между ними. Тогда BDA = = DBC. Кроме этого, углы BDA и — накрест лежащие при прямых BC и AD и секущей BD. Следовательно, BC || AD. 15.2. Свойства параллельных прямых. Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны 2 a b c 1 2 a b c 1 Рис. Рис. Рис. Рис. 15.8 Глава II. ГЕОМЕТРИЯ На рисунке 15.9 b || a и c || a, поэтому b || c. 2. Если прямая пересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает и другую. На рисунке 15.10 прямые a и b параллельны, прямая c пересекает прямую b, поэтому прямая с пересекает и прямую а. Если две параллельные прямые пересечены секущей, то углы, образующие пару накрест лежащих углов, равны. На рисунке 15.11 прямые a и b параллельны, прямая c — секущая, поэтому 1 = 2. 4. Если две параллельные прямые пересечены секущей, то углы, образующие пару соответственных углов, равны. На рисунке 15.12 прямые a и b параллельны, прямая c — секущая, поэтому 1 = 2. 5. Если две параллельные прямые пересечены секущей, то сумма углов, образующих пару односторонних углов, равна 180 На рисунке 15.13 прямые a и b параллельны, прямая c — секущая, поэтому 1 + 2 = 180 . c b a c b a a b c 1 2 a b c 1 Рис. Рис. Рис. Рис. 15.12 a b c 1 Рис. Рис. 15.14 § 15. Параллельные прямые 285 З ада ч а. На рисунке 15.14 отрезок AK — биссектриса треугольника ABC, MK || AC. Докажите, что треугольник AMK равнобедренный. Р е ш е ни е. Так как отрезок AK — биссектриса треугольника ABC, то MAK = Углы KAC и MKA равны как накрест лежащие при параллельных прямых MK и AC и секущей Следовательно, MAK = Примеры заданий № Часть 1 1. Укажите верное утверждение) через точку, не принадлежащую данной прямой, проходит только один отрезок, параллельный этой прямой) через точку, не принадлежащую данной прямой, проходит только один луч, параллельный этой прямой) через точку, не принадлежащую данной прямой, проходит бесконечно много прямых, не параллельных этой прямой) через точку, не принадлежащую данной прямой, проходят только две прямые, параллельные этой прямой. На каком из рисунков прямые a и b параллельны Глава II. ГЕОМЕТРИЯ. Какие из прямых, изображённых на рисунке, параллельны) c и d 2) a и b 3) b и c 4) a и d 4. Чему равен угол , изображённый на рисунке Ответ дайте в градусах. Отрезки AB и CD, изображённые на рисунке, параллельны. Чему равна сумма углов и ? Ответ дайте в градусах. На стороне BA угла ABC отметили точку D и через неё провели прямую, параллельную стороне. Эта прямая пересекла биссектрису угла в точке E. Найдите градусную меру угла если DEB = 24 . 7. На рисунке 15.18 AB || DE. Найдите градусную меру угла CDE, если ABC = 150 , BCD = = 100 Рис. 15.15 Рис. Рис. Рис. 15.18 § 16. Треугольник 16. Треугольник. Элементы треугольника. Равные треугольники Рассмотрим три точки A, B и C, не лежащие на одной прямой. Соединим их отрезками AB, BC и Полученная фигура ограничивает часть плоскости, выделенную на рисунке 16.1. Эту часть плоскости вместе с отрезками AB, BC и CA называют треугольником. Точки A, B и C называют вершинами, а отрезки и CA — сторонами треугольника. Углы BAC, ABC ирис) называют углами треугольника Периметром треугольника называют сумму длин всех его сторон. Два треугольника называют равными, если их можно совместить наложением. На рисунке 16.2 изображены равные треугольники и A 1 B 1 C 1 . Записывают ABC = Можно записать A = A 1 , B = B 1 , C = C 1 , AB = A 1 B 1 , BC = B 1 C 1 , CA = Перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника напрямую, содержащую противоположную сторону, называют высотой треугольника. B C A B C A B 1 C 1 A 1 B C A B 1 C 1 Рис. Рис. Рис. 16.3 Глава II. ГЕОМЕТРИЯ На рисунке 16.3 отрезки BB 1 и CC 1 — высоты треугольника Прямые, содержащие высоты треугольника, пересекаются водной точке (рис. Отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны, называют медианой треугольника. На рисунке 16.5 отрезок AM — медиана треугольника Три медианы треугольника пересекаются водной точке, которая делит каждую из них в отношении : 1, считая от вершины треугольника (рис. Отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину треугольника сточкой противоположной стороны, называют биссектрисой тре угольника. Рис. Рис. Рис. 16.6 § 16. Треугольник 289 На рисунке 16.7 отрезок BL — биссектриса треугольника ABC. Биссектрисы треугольника пересекаются водной точке (рис. Биссектриса треугольника делит сторону, к которой она проведена, на отрезки, пропорциональные прилежащим к ним сторонам. На рисунке отрезок BL — биссектриса треугольника ABC, поэтому Задача. В треугольнике АВС стороны АВ, ВС и АС соответственно равны 8 см, 12 см и 15 см. Отрезок В — биссектриса треугольника АВС. Найдите отрезки Аи Решение. По свойству биссектрисы треугольника можно записать = = рис. 16.9). Кроме того, АD + DC = 15 см. Получаем, что DC + DC = 15. Отсюда = 9 см. Тогда А = 6 cм. О т в е т 6 см, 9 см. B C A L Рис. Рис. Рис. 16.9 AD DC AB BC 2 3 2 3 Глава II. ГЕОМЕТРИЯ. Виды треугольников Треугольник, у которого все углы острые, называют остроугольным.Треугольник, у которого один из углов прямой, называют прямоугольным. Треугольнику которого один из углов тупой, называют тупоугольным рис. Треугольнику которого две стороны равны, называют равнобедренным. На рисунке 16.11 изображён равнобедренный треугольнику которого AB = Равные стороны равнобедренного треугольника называют боковыми сторонами, а третью сторону — основанием равнобедренного треугольника. Вершиной равнобедренного треугольника называют общую точку его боковых сторон (точка B на рисунке Остроугольный треугольник Прямоугольный треугольник Тупоугольный треугольник Рис. боковая сторона основание боковая сторона A B C Рис. Рис. 16.12 § 16. Треугольник 291 Треугольник, у которого все стороны равны, называют равносторонним. На рисунке 16.12 изобра жён равносторонний треугольник Если в треугольнике длины всех сторон различны, то такой треугольник называют разносторонним. Признаки равенства треугольников Первый признак равенства треугольников по двум сторонами углу между ними Если две стороны и угол между ними одного треугольника равны соответственно двум сторонами углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны. На рисунке 16.13 AB = A 1 B 1 , BC = B 1 C 1 , B = = B 1 , поэтому ABC = Второй признак равенства треугольников по стороне и двум прилежащим к ней углам Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника равны соответственно стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны. B C A B 1 C 1 A 1 B C A B 1 C 1 A 1 B C A B 1 C 1 A 1 Рис. Рис. Рис. 16.15 Глава II. ГЕОМЕТРИЯ На рисунке 16.14 AC = A 1 C 1 , A = A 1 , C поэтому ABC = Третий признак равенства треугольников по трём сторонам Если три стороны одного треугольника равны соответственно трём сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны. На рисунке 16.15 AB = A 1 B 1 , BC = B 1 C 1 , CA = C 1 A 1 , поэтому ABC = Задача. На рисунке точка O — середина отрезка, ABO = CDO . Докажите, что BC = Решение. Рассмотрим треугольники AOB и Так как точка O — середина отрезка BD, то OD. По условию ABO = CDO . Углы и COD равны как вертикальные. Следовательно = COD по стороне и двум прилежащим уг лам. Отсюда AB = CD как соответственные стороны равных треугольников. Заметим, что В — общая сторона треугольников АВD и CDB. Также по условию ABD = CDB . Следовательно, треугольники АВD и CDB равны по двум сторонами углу между ними. Отсюда BC = AD. 16.4. Свойства равнобедренного треугольника В равнобедренном треугольнике) углы при основании равны) биссектриса, высота и медиана, проведённые из его вершины, совпадают. B C A D O Рис. 16.16 § 16. Треугольник 293 В равностороннем треугольнике 1) все углы равны 2) биссектриса, высота и медиана, проведён ные из одной вершины, совпадают. В треугольнике против равных сторон лежат равные углы. З ада ч а. Отрезок AD — медиана равнобедренного треугольника ABC, проведённая к основанию. На сторонах AB и AC отмечены соответственно точки M итак, что BM = CK. Докажите равенство треугольников AMD и Решение. Имеем AB = = AM + BM, AC = AK + рис. Так как AB = AC и BM = то AM = Углы BAD и CAD равны, поскольку медиана равнобедренного треугольника, проведённая к основанию, является его биссектрисой. Отрезок AD — общая сторона треугольников и Следовательно, треугольники AMD и AKD равны по двум сторонами углу между ними. Признаки равнобедренного треугольника. Если медиана треугольника является его высотой, то этот треугольник равнобедренный. На рисунке 16.18 отрезок BM — медиана и высота, поэтому AB = BC. 2. Если биссектриса треугольника является его высотой, то этот треугольник равнобедренный. B A C D M K Рис. 16.17 Глава II. ГЕОМЕТРИЯ На рисунке 16.19 отрезок BL — биссектриса и высота, поэтому AB = BC. 3. Если медиана треугольника является его биссектрисой, то этот треугольник равнобедренный. На рисунке 16.20 отрезок BM — медиана ибис сектриса, поэтому AB = BC. 4. Если в треугольнике два угла равны, то этот треугольник равнобедренный. На рисунке 16.21 A = C , поэтому AB = Задача. В треугольнике ABC проведена биссектриса (рис. 16.22), BAK = 70 , AKC = 110 Докажите, что Рис. Рис. Рис. Рис. 16.21 § 16. Треугольник 295 Р е ш е ни е. Так как углы BKA и AKC смежные, то BKA = 180 – 110 = 70 . Следовательно, в треугольнике получаем, что BAK = BKA = = 70 . Тогда треугольник ABK — равнобедренный с основанием, и его биссектриса BO (O — точка пересечения AK и BM) является также высотой, т. е. BM AK 16.6. Сумма углов треугольника. Свойство внешнего угла треугольника Сумма углов треугольника равна 180 Среди углов треугольника хотя бы два угла ос трые. Внешним углом треугольника называют угол, смежный с углом этого треугольника. На рисунке 16.23 углы 1, 2, 3 являются внешними углами треугольника Внешний угол треугольника равен сумме двух углов треугольника, не смежных с ним. На рисунке 16.23 1 — внешний угол треугольника АВС, поэтому 1 = 5 + Рис. 16.22 Глава II. ГЕОМЕТРИЯ Внешний угол треугольника больше каждого из углов треугольника, не смежных с ним. З ада ч а 1. Медиана CM треугольника ABC равна половине стороны AB. Докажите, что треугольник прямоугольный. Р е ш е ни е. По условию AM = CM (рис. Тогда в треугольнике AMC углы A и ACM равны. Аналогично BM = CM, ив треугольнике BMC углы и BCM равны. В ACB имеем A + B + ACB = 180 . Тогда + BCM + ACB = 180 . Учитывая, что + BCM = ACB , получаем 2 ACB = = 180 ; ACB = 90 . Следовательно, треугольник прямоугольный. З ада ч а 2. В треугольнике ABC известно, что = . Биссектрисы углов B и C пересекаются в точке O. Докажите, что BOC = 90 + Решение. Для треугольника С имеем A + + B + C = 180 . Тогда B + C = 180 – Поскольку лучи ВО и СО — биссектрисы соответственно углов АВС и АСВ (рис. 16.25), то + OCB = (180 – ) = 90 – . B C A 1 4 5 6 2 Рис. Рис. Рис. 16.25 2 1 2 2 § 16. Треугольник 297 Для треугольника ВОС имеем OBC + OCB + + BOC = 180 . Тогда BOC = 180 – ( OBC + + OCB ) = 180 – (90 – ) = 90 + . 16.7. Неравенство треугольника. Зависимость между величинами сторон и углов треугольника Неравенство треугольника каждая сторона треугольника меньше суммы двух других его сторон. На рисунке 16.26 изображён треугольник АВС. Можно записать AB < AC + CB; AC < AB + BC; BC < BA + Из неравенства треугольника следует, что) если длина одного из трёх данных отрезков не меньше суммы длин двух других, то эти отрезки не могут служить сторонами треугольника; 2)каждая сторона треугольника больше разности двух других его сторон) если для трёх точек А, В и С выполняется равенство, то точка C является внутренней точкой отрезка АВ (рис. для любых трёх точек А, В и С выполняются неравенства AC + CB ; AC AB + BC ; BC BA + AC ; 2 Рис. Рис. Рис. 16.28 Глава II. ГЕОМЕТРИЯ) в треугольнике против большей стороны лежит больший угол и, наоборот, против большего угла лежит бoльшая сторона. З ада ч а. Из точки Мне принадлежащей прямой а, проведены две наклонные МА и МВ и перпендикуляр М (точка D принадлежит отрезку АВ). Докажите, что если А > В, то МА > МВ. Решение. По условию А > DB (рис. На отрезке А отметим точку K так, что В. В треугольнике МВ отрезок М является медианой и высотой. Следовательно, этот треугольник равнобедренный. Тогда угол МKD является острым, а смежный с ним угол АKМ тупой. Поскольку в тупоугольном треугольнике против тупого угла лежит наибольшая сторона, то МАМ. Но М = МВ. Следовательно, МА > МВ. Признаки равенства прямоугольных треугольников. Свойства прямоугольного треугольника Признак равенства прямоугольных треугольников по гипотенузе и катету Если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и катету другого, то такие треугольники равны. Признак равенства прямоугольных треугольников по двум катетам Если катеты одного прямоугольного треугольника соответственно равны катетам другого, то такие треугольники равны § 16. Треугольник 299 Признак равенства прямоугольных треугольников по катету и прилежащему острому углу Если катет и прилежащий к нему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и прилежащему к нему острому углу другого, то такие треугольники равны. Признак равенства прямоугольных треугольников по катету и противолежащему острому углу Если катет и противолежащий ему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и противолежащему ему острому углу другого, то такие треугольники равны. Признак равенства прямоугольных треугольников по гипотенузе и острому углу Если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого, то такие треугольники равны. Рассмотрим некоторые свойства прямоугольного треугольника. Катет, лежащий против угла, величина которого равна 30 , равен половине гипотенузы. На рисунке 16.29 ACB = 90 , BAC = 30 , поэтому Рис. Рис. 16.30 Глава II. ГЕОМЕТРИЯ Если катет равен половине гипотенузы, то угол, лежащий против этого катета, равен 30 На рисунке 16.29 ACB = 90 , BC = AB, поэтому Медиана прямоугольного треугольника, про ведённая к гипотенузе, равна её половине. На рисунке 16.30 отрезок СМ — медиана, прове дённая к гипотенузе, поэтому CM = Задача. Докажите равенство прямоугольных треугольников по острому углу и биссектрисе, проведённой из вершины этого угла. Р е ш е ни е. В треугольниках ABC ирис отрезки AD и A 1 D 1 — соответственно биссектрисы треугольников ABC и A 1 B 1 C 1 , AD = Имеем CAD = BAC = B 1 A 1 C 1 = Поскольку AD = A 1 D 1 , то прямоугольные треугольники ACD и A 1 C 1 D 1 равны по гипотенузе и острому углу. Отсюда AC = A 1 C 1 , итак как = B 1 A 1 C 1 , то прямоугольные треугольники и A 1 B 1 C 1 равны по катету и прилежащему острому углу 2 1 2 1 2 1 Рис. 16.31 C D B A C 1 D 1 B 1 A 1 § 16. Треугольник. Терема Фалеса. Теорема о пропорциональных отрезках Теорема Фалеса. Если параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на одной его стороне равные отрезки, то они отсекают равные отрезки и на другой его стороне. На рисунке 16.32 OA 1 = A 1 A 2 = A 2 A 3 = A 3 A 4 = ..., A 1 B 1 || A 2 B 2 , A 2 B 2 || A 3 B 3 , A 3 B 3 || A 4 B 4 , поэтому B 1 B 2 = B 2 B 3 = B 3 B 4 = ... . Теорема о пропорциональных отрезках. Если параллельные прямые пересекают стороны угла, то отрезки, образовавшиеся на одной стороне угла, пропорциональны соответствующим отрезкам, образовавшимся на другой стороне угла. На рисунке 16.33 стороны угла MON пересечены параллельными прямыми AA 1 и BB 1 , поэтому) = ; 2) = ; 3) = Задача. На стороне BC треугольника ABC выбрана точка N так, что BN : NC = 2 : 3. В каком отношении медиана BM делит отрезок Рис. Рис. 16.33 OA OA 1 AB A 1 B 1 OA OA 1 OB OB 1 OB OB 1 AB A 1 B 1 Глава II. ГЕОМЕТРИЯ Р е ш е ни е. Через точку N проведём NK || BM, точка принадлежит стороне рис. 16.34). Имеем = = = ; MK = KC. Отсюда. Так как MC = MA, тот. е. = . Имеем = = . 16.10. Средняя линия треугольника Средней линией треугольника называют отрезок, соединяющий середины двух его сторон. На рисунке 16.35 отрезки MN, NE, EM — средние линии треугольника ABC. Средняя линия треугольника, соединяющая середины двух его сторон, параллельна третьей стороне и равна её половине. На рисунке 16.36 отрезок MN — средняя линия треугольника ABC, поэтому MN || AC и MN = Рис. 16.34 MK KC BN NC 2 3 2 3 2 5 2 5 AM MK 5 2 AO ON AM MK 5 Рис. Рис. 16.36 1 2 § 16. Треугольник 303 З ада ч а. Докажите, что середины сторон четы рёхугольника являются вершинами параллелограмма Решение. В четырёхуголь нике ABCD точки M, N, K и — середины сторон AB, BC , CD и AD соответственно (рис. Отрезок MN — средняя линия треугольника ABC. По свойству средней линии AC и MN = Отрезок PK — средняя линия треугольника По свойству средней линии PK || AC и PK = Так как MN || AC и PK || AC, то MN || PK. Из того, что MN = AC и PK = AC, получаем PK = Следовательно, в четырёхугольнике MNKP стороны и PK равны и параллельны, а значит, четырёхугольник MNKP — параллелограмм. Подобные треугольники Два треугольника называют подобными, если их углы соответственно равны и стороны одного треугольника пропорциональны соответственным сторонам другого треугольника. На рисунке 16.38 изображены треугольники ABC и, у которых A = A 1 , B = B 1 , C = Рис. 16.37 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 Глава II. ГЕОМЕТРИЯ и = = = k. Эти треугольники подобны. Пишут ABC A 1 B 1 C 1 (читают треугольник подобен треугольнику A 1 B 1 C 1 »). Число k, которому равно отношение соответственных сторон, называют коэффициентом подобия. Говорят, что треугольник ABC подобен треугольнику с коэффициентом подобия, равным. Пишут ABC Прямая, параллельная стороне треугольника и пересекающая две другие его стороны, отсекает отданного треугольника ему подобный. На рисунке 16.39 отрезок A 1 C 1 параллелен стороне, поэтому A 1 BC 1 Задача. Докажите, что отношение периметров подобных треугольников равно коэффициенту подобия. Р е ш е ни е. Пусть треугольник A 1 B 1 C 1 подобен треугольнику ABC с коэффициентом подобия Тогда = = = k, откуда k AB; B 1 C 1 = k BC; A 1 C 1 = k Рис. Рис. 16.39 k A 1 B 1 AB B 1 C 1 BC A 1 C 1 AC § 16. Треугольник 305 Обозначим P 1 — периметр треугольника A 1 B 1 C 1 , P — периметр треугольника ABC. Имеем A 1 B 1 + B 1 C 1 + A 1 C 1 = k AB + k BC + k AC = = k (AB + BC + AC) = kP, те. Признаки подобия треугольников Первый признак подобия треугольников по двум углам Если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны. На рисунке 16.40 A = A 1 , B = B 1 , поэтому ABC A 1 B 1 C 1 Второй признак подобия треугольников по двум сторонам и углу между ними Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, образованные этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны. P 1 P B C A B 1 C 1 A 1 B C A B 1 C 1 A 1 Рис. Рис. 16.41 Глава II. ГЕОМЕТРИЯ На рисунке 16.41 = и B = B 1 , поэтому Третий признак подобия треугольников по трём сторонам Если три стороны одного треугольника пропорциональны трём сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны. На рисунке 16.42 = = , поэтому ABC A 1 B 1 C 1 З ада ч а 1. Средняя линия трапеции ABCD (BC || AD) равна 24 см, а её диагонали пересекаются в точке O, AO : OC = 5 : 3. Найдите основания трапеции. Р е ш е ни е. Рассмотрим треугольники AOD ирис. Углы AOD и BOC равны как вертикальные, углы CAD и ACB равны как накрест лежащие при параллельных прямых AD и и секущей AC. Следовательно, треугольники и COB подобны по двум углам. AB A 1 B 1 BC B 1 C 1 B C A B 1 C 1 A 1 Рис. Рис. 16.43 § 16. Треугольник 307 Тогда = = Пусть BC = 3x см, тогда AD = 5x см. Так как средняя линия трапеции равна 24 см, то+ AD = 48 см. Имеем: 3x + 5x = 48. Отсюда x = Следовательно, BC = 18 см, AD = 30 см. О т в е т 18 см, 30 см. З ада ч а 2. Докажите, что отрезок, соединяющий основания двух высот остроугольного треугольника, отсекает отданного треугольника ему подобный. Р е ш е ни е. На рисунке 16.44 отрезки AA 1 и высоты треугольника ABC. Докажем, что ABC A 1 BC 1 В прямоугольных треугольниках ABA 1 и острый угол B — общий. Следовательно, треугольники и CBC 1 подобны по первому признаку подобия треугольников. Отсюда = = . Тогда = . Угол B — общий для треугольников ABC и A 1 BC 1 . Следовательно, треугольники и A 1 BC 1 подобны по второму признаку подобия треугольников Рис. 16.44 AB BC BA 1 BC 1 AB BA 1 BC BC 1 Глава II. ГЕОМЕТРИЯ Примеры заданий № Часть 1 1. Сколько пар равных треугольников изображено на рисунке 16.45? 2. Отрезок AD — биссектриса треугольника ABC, изображённого на рисунке 16.46. Чему равен периметр треугольника ABC? Ответ дайте в сантиметрах. В каком случае можно утверждать, что треугольник является равносторонним) сторона треугольника в 3 раза меньше его периметра) каждая сторона треугольника в 3 раза меньше его периметра) две высоты треугольника равны) две биссектрисы треугольника равны. Укажите количество верных утверждений) если три угла одного треугольника равны соответственно трём углам другого треугольника, то такие треугольники равны) если две стороны и угол одного треугольника равны соответственно двум сторонами углу другого треугольника, то такие треугольники равны Рис. Рис. 16.46 § 16. Треугольник) если сторона и два угла одного треугольника равны соответственно стороне и двум углам другого треугольника, то такие треугольники равны. На рисунке 16.47 изо бражён равнобедренный треугольник ABC с основанием, периметр которого равен 18 см. Периметр треугольника где точка M — середина отрезка AC, равен 12 см. Найдите медиану BM. Ответ дайте в сантиметрах. В треугольнике ABC известно, что AB = BC, ABC = 112 . Найдите угол BCA. Ответ дайте в градусах. Углы треугольника относятся как 4 : 5 : 9. Чему равна разность между наибольшими наименьшим углами треугольника Ответ дайте в градусах. Чему равна градусная мера угла C, изображён ного на рисунке 16.48? 9. В остроугольном треугольнике ABC высоты, проведённые из вершин A и C, пересекаются в точке O. Какое из равенств верно) AOC = 90 – B 2) AOC = 180 – B 3) AOC = 90 + B 4) AOC = 180 – Рис. 16.47 Рис. 16.48 1 2 Глава II. ГЕОМЕТРИЯ. Какова градусная мера угла , изображённого на рисунке 16.49, если = 130 , = 100 ? 11. Треугольник ABC, изображённый на рисунке, — прямоугольный равнобедренный. Лучи и BK делят прямой угол треугольника на 5 равных углов. Какова градусная мера угла ? 12. В треугольнике ABC известно, что AB = 3 см 7 см. Какой может быть длина стороны AC ? 1) 3 см) 8 см) 4 см) 12 см. Параллельные прямые AB и пересекают стороны угла, изображённого на рисунке 16.51, OB = 8 см 6 см, AC = 12 см. Найдите отрезок AO. Ответ дайте в сантиметрах. В треугольнике DEF известно, что DE = 10 см 14 см, DF = 18 см, точка M — середина стороны DE, точка K — середина стороны Найдите периметр четырёхугольника Рис. Рис. Рис. 16.51 § 16. Треугольник. Из точки D, принадлежащей гипотенузе AB прямоугольного треугольника ABC, изображённого на рисунке, опущен перпендикулярна катет AC. Найдите длину этого перпендикуляра. Ответ дайте в сантиметрах. На каком рисунке изображённые равнобедренные треугольники являются подобными. Поданным, приведённым на рисунке найдите высоту дерева. Ответ дайте в метрах. Рис. 16.52 1) 2) 3) 4) 40 ° 40 ° 46 ° 45 ° 70 ° 50 ° 80 ° 20 ° 20 мм 2мРис. 16.53 Глава II. ГЕОМЕТРИЯ. Стороны треугольника равны 3 см, 5 см и 7 см. Какими могут быть стороны подобного ему треугольника см, 10 см, 14 см) 9 см, 15 см, 20 см) 6 см, 8 см, 14 см) 9 см, 10 см, 14 см. Стороны треугольника относятся как 7 : 6 : Найдите бoльшую сторону подобного ему треугольника, меньшая сторона которого равна см. Ответ дайте в сантиметрах. В определённый момент времени тень колокольни Иван Великий на территории Московского Кремля равна 20 м 25 см, а длина тени фонарного столба, стоящего около колокольни, — 1 м 50 см. Сколько метров составляет высота колокольни, если высота столба равна 6 м. Поданным, приведённым на рисунке 16.54, найдите отрезок CD (длины отрезков указаны в сантиметрах) 24 см) см) 13,5 см) 36 см. Основания трапеции равны 8 см и 18 см, а одна из боковых сторон — 5 см. Насколько сантиметров надо продолжить эту сторону, чтобы она пересекла прямую, содержащую другую боковую сторону трапеции. В треугольник ABC вписан ромб AMKP так, как показано на рисунке Найдите сторону ромба, если AB = 18 см, AC = 12 см. Ответ дайте в сантиметрах Рис. 16.54 50 Рис. 16.55 § 16. Треугольник 313  перейти в каталог файлов | Образовательный портал Как узнать результаты егэ Стихи про летний лагерь 3агадки для детей |