ОГЭ 2018 Математика Новый полный справочник. Справочник для подготовки к огэ А. Г. Мерзляк, В. Б. Полонский
 Скачать 3.79 Mb.
| Образовательный портал Как узнать результаты егэ Стихи про летний лагерь 3агадки для детей |
| 201 Следовательно, скорость велосипедиста равна км/ч, а скорость грузовика составляет + 18 = 30 (км/ч). О т в е т 12 км/ч, 30 км/ч. З ада ч а. Одна бригада работала на ремонте дороги 7 ч, после чего к ней присоединилась вторая бригада. Через 2 чих совместной работы ремонт был завершён. За сколько часов может отремонтировать дорогу каждая бригада, работая самостоятельно, если первой для этого требуется нач больше, чем второй? Р е ш е ни е. Пусть первая бригада может самостоятельно отремонтировать дорогу зач, тогда второй для этого нужно (x – 4) ч. Зач первая бригада ремонтирует часть дороги, а вторая — часть дороги. Первая бригада работала 9 ч и отремонтировала дороги, а вторая бригада работала ч и отремонтировала соответственно дороги. Поскольку в результате была отремонтирована вся дорога, то + = Полученное уравнение имеет два корня — x 1 = и x 2 = 3 (убедитесь в этом самостоятельно. Второй корень не удовлетворяет условию задачи, поскольку тогда вторая бригада должна была бы отремонтировать дорогу зач, что не имеет смысла. О т в е т 12 ч, 8 ч 9 x 2 x 4 9 x 2 x 4 Глава I. АРИФМЕТИКА. АЛГЕБРА З ада ч а. Водный раствор соли содержал 120 г воды. После того как к раствору добавили 10 г соли, его концентрация увеличилась на 5%. Сколько граммов соли содержал раствор сначала? Р е ш е ни е. Пусть исходный раствор содержал x г соли. Тогда его масса была равна (x + 120) га масса соли составляла часть массы всего раствора. После того как к раствору добавили г соли, её масса в растворе составила + 10) га масса раствора — (x + 130) г. Теперь соль составляет часть раствора, что нате. на , больше, чем . Отсюда получаем Полученное уравнение имеет два корня — x 1 = и x 2 = –280 (убедитесь в этом самостоятельно, из которых второй корень не удовлетворяет условию задачи. Следовательно, раствор содержал сначала 30 г соли. О т в е т 30 г. Примеры заданий № Часть 2 1. Два бегуна стартовали одновременно из одного итого же места круговой трассы в беге на несколько кругов. Спустя один час, когда одному из них 1 20 x x 120 x 10 x 130 x x 120 1 20 § 10. Текстовые задачи 203 оставалось пробежать 2 км до окончания первого круга, оказалось, что второй бегун уже 6 мин назад прошёл первый круг. Найдите скорость первого бегуна, если она на 4 км/ч меньше скорости второго. Из двух городов, расстояние между которыми км, одновременно навстречу друг другу выехали два велосипедиста. Проехав некоторую часть пути, первый велосипедист сделал остановку на 39 мина затем продолжил движение до встречи со вторым велосипедистом. Скорость первого велосипедиста составляет 10 км/ч, а второго — 12 км/ч. Найдите расстояние от города, из которого выехал второй велосипедист, до места встречи. Мотоциклист проехал 40 км из пункта A в пункт и вернулся назад. На обратном пути он уменьшил скорость на 10 км/ч по сравнению спер воначальной и затратил на поездку на 20 мин больше, чем на путь из пункта A в пункт B. Найдите первоначальную скорость мотоциклиста. Расстояние между городами A и B равно 93 км. Из города A в город B выехал первый велосипедист. Через час навстречу ему из города B выехал второй велосипедист, скорость которого на км/ч больше скорости первого. Велосипедисты встретились на расстоянии 45 км от города Найдите скорость первого велосипедиста. Из города выехал микроавтобус. Через 10 мин после него из этого города в том же направлении выехал легковой автомобиль, который догнал микроавтобус на расстоянии 40 км от города. Найдите скорость микроавтобуса, если она на км/ч меньше скорости легкового автомобиля Глава I. АРИФМЕТИКА. АЛГЕБРА. Расстояние от пункта A до пункта B по железной дороге равно 105 км, а по реке — 150 км. Поезд из пункта A выходит нач позже теплохода и прибывает в пункт B на 15 мин раньше. Найдите скорость поезда, если она на 30 км/ч больше скорости теплохода. Поезд должен был проехать 64 км. Когда он проехал 24 км, то был задержан возле семафора на 12 мин. После этого он увеличил скорость на 10 км/ч и прибыл в пункт назначения с опозданием на 4 мин. Найдите первоначальную скорость поезда. Из пункта A в пункт B выехали одновременно два автомобиля. Первый автомобиль проехал весь путь с постоянной скоростью. Второй проехал первую половину пути со скоростью 66 км/ч, а вторую половину пути — со скоростью, меньшей скорости первого автомобиля на 5 км/ч. Автомобили прибыли в пункт В одновременно. Найдите скорость первого автомобиля, если известно, что она больше 50 км/ч. 9. Катер прошёл 30 км по течению реки и вернулся назад, затратив навесь путь 2 ч 15 мин. Определите скорость течения, если собственная скорость катера равна 27 км/ч. 10. Лодка проплывает 9 км по течению реки и 1 км против течения зато же время, которое требуется плоту, чтобы проплыть 4 км по этой реке. Найдите скорость течения, если собственная скорость лодки составляет 8 км/ч. 11. Моторная лодка прошла 16 км по озеру, а затем км по реке, впадающей в это озеро, за 1 ч. Найдите собственную скорость лодки, если скорость течения реки составляет 2 км/ч. § 10. Текстовые задачи. Турист проплыл на моторной лодке 30 км против течения реки и вернулся назад на плоту. Найдите скорость течения реки, если на плоту турист плыл нач дольше, чем на лодке, а собственная скорость лодки составляет 15 км/ч. 13. Расстояние между пристанями Аи В равно 63 км. От пристани А к пристани В по течению реки отправился плота через 2 ч вслед за ним отправилась моторная лодка, которая, приплыв к пристани В, тотчас повернула обратно и возвратилась к пристани А. К этому времени плот проплыл км. Найдите собственную скорость лодки, если скорость течения реки равна 2 км/ч. 14. Для перевозки 60 т груза было заказано некоторое количество грузовых автомобилей. Из зане исправности двух из них на каждый автомобиль пришлось нагрузить на 1 т больше, чем планировалось. Сколько автомобилей должно было работать на перевозке груза. Первый рабочий изготавливает 96 одинаковых деталей нач быстрее, чем второй 112 таких же деталей. Сколько деталей в час изготавливает первый рабочий, если он делает за час надета ли больше, чем второй. Первый насос наполнил водой бассейн объёмом 360 м, а второй — объёмом 480 м. Первый насос перекачивал ежечасно нам воды меньше, чем второй, и работал нач дольше, чем второй. Сколько кубометров воды перекачивает за час первый насос. Два маляра, работая вместе, могут покрасить фасад дома зач. За сколько часов может выполнить эту работу каждый из них, работая самостоятельно, если одному для этого надо нач меньше, чем другому Глава I. АРИФМЕТИКА. АЛГЕБРА. Первому рабочему для выполнения задания надо нач больше, чем второму. Первый рабочий работал 2 ч, а затем его сменил второй. После того как второй рабочий проработал 3 ч, оказалось, что выполнено задания. За сколько часов может выполнить это задание второй рабочий самостоятельно. К раствору, содержавшему 20 г соли, добавили г воды, после чего концентрация соли в растворе уменьшилась на 10%. Сколько граммов воды содержал раствор сначала. К сплаву меди и цинка, содержавшему 10 кг цинка, добавили 10 кг меди. После этого процентное содержание меди в сплаве увеличилось на 5%. Сколько килограммов меди содержал исходный сплав. Решение текстовых задач с помощью систем уравнений З ада ч а 1. Из двух пунктов, расстояние между которыми равно 18 км, вышли одновременно навстречу друг другу два туриста и встретились через ч. С какой скоростью шёл каждый турист, если для прохождения всего расстояния между пунктами одному из них нужно на 54 мин больше, чем другому? Р е ш е ни е. Пусть скорость первого туриста равна км/ч, а второго — y км/ч, x < y. До встречи первый турист прошел 2x км, а второй — 2y км. Вместе они прошли 18 км. Тогда 2x + 2y = Расстояние между пунктами первый турист проходит зач, а второй — зач. Так как первому 4 18 x 18 y § 10. Текстовые задачи 207 туристу для прохождения этого расстояния нужно на 54 мин = ч = ч больше, чем второму, то – = Получаем систему уравнений Тогда Решив второе уравнение последней системы, получаем. Корень –36 не подходит по смыслу задачи. Следовательно, y = 5, x = Ответ км/ч, 5 км/ч. З ада ч а 2. Два работника могут вместе выполнить производственное задание задней. Последней совместной работы одного из них перевели на другое задание, а второй продолжал работать. Через 2 дня самостоятельной работы второго оказалось, что сделано всего задания. За сколько дней каждый работник может выполнить это производственное задание, работая самостоятельно Решение. Пусть первый работник может выполнить всё задание задней, а второй — задней. Задень первый работник выполняет часть задания, аза дней — часть задания. Второй работник задень выполняет часть 60 9 10 18 x 18 y 9 10 2x + 2y = 18, – = 18 x 18 y 9 10 x + y = 9, – = ; 2 x 2 y 1 10 x = 9 – y, – = 2 9 y 2 y 1 10 2 3 1 x 10 x 1 y Глава I. АРИФМЕТИКА. АЛГЕБРА задания, аза дней — часть задания. Так как задней совместной работы они выполняют всё задание, то + = Первый работник работал 6 дней и выполнил часть задания, а второй работал 8 дней и выполнил часть задания. Так как в результате было выполнено задания, то + = Получили систему уравнений Сделав замену = u, = v , решите эту систему самостоятельно. Пара чисел x = 15, y = 30 является её решением. Следовательно, первый работник может выполнить задание задней, авто рой — за 30 дней. О т в е т 15 дней, 30 дней. З ада ч а 3. При делении двузначного числа на произведение его цифр получим неполное частное и остаток 2. Разность этого числа и числа, полученного перестановкой его цифр, равна Найдите это число. Р е ш е ни е. Пусть искомое число содержит x десятков и y единиц. Тогда оно равно 10x + y. Так как при делении этого числа на число xy получаем неполное частное 5 и остаток 2, то 10x + y = = 5xy + 2. 10 y 10 x 10 y 6 x 8 y 2 3 6 x 8 y 2 3 + = 1, + = . 10 x 10 y 6 x 8 y 2 3 1 x 1 y § 10. Текстовые задачи 209 Число, полученное перестановкой цифр данного, равно 10y + x. По условию (10x + y) – (10y + x) = Получаем систему уравнений решениями которой являются две пары чисел 6; y = 2 или x = 0,2; y = –3,8. Но вторая пара не подходит по смыслу задачи. Следовательно, искомое число равно Ответ Примеры заданий № Часть 2 1. Имеем два сплава меди и цинка. Первый сплав содержит 9%, а второй — 30% цинка. Сколько надо взять килограммов первого сплава и сколько килограммов второго, чтобы получить сплав массой 300 кг, содержащий 23% цинка. Два тракториста могут вспахать поле, работая вместе, зач. За сколько часов может вспахать это поле каждый тракторист, работая самостоятельно, если одному из них, для того чтобы вспахать поля, надо нач больше, чем другому, чтобы вспахать поля. Вкладчик положил в банк деньги на два разных счёта, по одному из которых начисляли 5% годовых, а по другому — 4%, и получил через год по двум вкладам 11 600 р. прибыли. Если бы внесённые на разные счета деньги поменяли + y = 5xy + 2, (10x + y) – (10y + x) = 36, 2 5 1 5 Глава I. АРИФМЕТИКА. АЛГЕБРА местами, то годовая прибыль составила бы 800 р. Сколько всего денег было помещено в банк. За 2 футбольных и 4 волейбольных мяча заплатили р. После того как футбольный мяч подешевел на 20%, а волейбольный подорожал на 10%, за один футбольный и один волейбольный мячи заплатили 6500 р. Какой была первоначальная цена каждого мяча. Два автомобиля выехали одновременно из городов и B навстречу друг другу. Через час они встретились и, не останавливаясь, продолжили двигаться с теми же скоростями. Один из них прибыл в город B на 50 мин позже, чем другой в город A. Найдите скорость каждого автомобиля, если расстояние между городами составляет км. Две бригады работали на сборе яблок. В первый день первая бригада работала 2 ч, а вторая — 3 ч, причём вместе они собрали 23 ц яблок. Наследующий день первая бригада зач собрала нац больше, чем вторая зач. Сколько центнеров яблок в час собирала каждая бригада. Из села A в село B, расстояние между которыми равно 24 км, выехал первый велосипедист. Через минут после этого из села B в село A выехал второй велосипедист. Они встретились через ч после выезда первого велосипедиста. Найдите скорость каждого велосипедиста, если первый из них проезжает зач на 6 км меньше, чем второй — зач. Бассейн можно наполнить водой через две трубы, открыв их одновременно, зач мин. В течение ч бассейн наполняли водой через первую трубу § 10. Текстовые задачи 211 а затем открыли и вторую трубу. Через 2 ч после этого бассейн был наполнен. За сколько часов можно наполнить бассейн через первую трубу. Решение текстовых задач арифметическим способом Составление уравнений и их систем — это не единственный способ решения текстовых задач. Также эффективным приёмом является решение задач по действиям, те. арифметическим способом, когда в определённой последовательности находят значения числовых выражений ив конечном итоге получают ответ. Здесь переводом задачи из реальной жизни на математический язык является запись одного или нескольких числовых выражений. З ада ч а 1. Велосипедист проезжает расстояние между сёлами Солнечное и Счастливое зач, а пешеход проходит это расстояние зач. Велосипедист и пешеход одновременно отправились из этих сёл навстречу друг другу. Через сколько часов после начала движения они встретятся? Р е ш е ни е. Расстояние между сёлами примем за единицу. Зач велосипедист проезжает этого расстояния, а пешеход проходит расстояния) + = + = = (расстояния) — преодолеют велосипедист и пешеход зач вместе) 1 : = 1 · = = 1,5 (ч) — время, за которое велосипедист и пешеход преодолеют всё расстояние Глава I. АРИФМЕТИКА. АЛГЕБРА Таким образом, они встретятся через 1,5 ч. О т в е т 1,5 ч. З ада ч а 2. Свежие грибы содержат 90% воды, а сухие — 12%. Сколько требуется свежих грибов для приготовления 5 кг сухих грибов? Р е ш е ни е. Пусть масса сухих грибов составляет. Тогда масса сухого вещества в них составляет) или 0,88. 1) 5 0,88 = 4,4 (кг) — сухого вещества содержится как в сушёных, таки в свежих грибах. Пусть масса свежих грибов составляет Тогда масса сухого вещества в них составляет – 90 = 10 (%) или 0,1. 2) 4,4 : 0,1 = 44 (кг) — требуется свежих грибов. О т в е т 44 кг. З ада ч а 3. Первую половину пути автомобиль проехал со скоростью 72 км/ч, а вторую — со скоростью 48 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути. Р е ш е ни е. Пусть длина половины пути равна s км. Тогда первую половину пути автомобиль проехал зач, а вторую — зач. Всего он проехал км зач. Следовательно, его средняя скорость составляет = 2 : = = = 57,6 (км/ч). О т в е т 57,6 км/ч. s 72 s 48 s 72 s 48 2s s 72 s 48 1 72 1 48 2 72 48 72 48 § 10. Текстовые задачи 213 Примеры заданий № Часть 1 1. Старые часы отстают каждый час нас. Насколько минут отстанут часы через 24 ч после того, как время на них будет выставлено точно. Велосипедист проехал 20 км со скоростью км/ч и 15 км со скоростью 5 км/ч. Найдите среднюю скорость движения велосипедиста) 6 км/ч 3) 7 км/ч 2) 7,5 км/ч 4) 9 км/ч 3. Объём бака автомобиля составляет 40 л, а расход топлива на каждые 100 км — 10 л. Какое наименьшее количество раз водителю придётся заехать на заправку, если ему надо проехать км, абак вначале движения был заполнен наполовину) 2 раза) 3 раза) 4 раза) 5 раз. Пётр и Дмитрий собрали одинаковое количество марок. После этого Пётр подарил Дмитрию половину своей коллекции. Во сколько раз теперь у Дмитрия больше марок, чему Петра) в 2 раза) в 3 раза) в 4 раза) зависит от количества марок. Кирилл купил 5 тетрадей, после чего у него осталось р. Для покупки 8 тетрадей ему не хватало р. Сколько рублей стоит одна тетрадь. Сумма возрастов трёх друзей равна 32 годам. Сколько лет будет им вместе через 4 года) 36 лет) 44 года) 40 лет) 48 лет Глава I. АРИФМЕТИКА. АЛГЕБРА. Моторная лодка проплыла 36 км по течению реки зач и 36,8 км против течения зач. Какова скорость течения реки) 2,8 км/ч 3) 1,8 км/ч 2) 2 км/ч 4) 1,4 км/ч 8. Между правыми левым берегами реки курсирует паром, который начинает первый рейс вот правого берега, а затем каждые 30 мин отправляется в новый рейс от одного берега к другому, перевозя каждый раз не более 75 пассажиров. В котором часу отправится на пароме человек, который занял очередь на правом берегу в 11:50 и был в очереди сто двадцать шестым) 12:00 2) 12:30 3) 13:00 4) 13:30 9. В олимпиаде по математике каждую школу представляли двое или трое учащихся. Всего в олимпиаде участвовали 60 учащихся из 24 школ. Какое количество школ направили на олимпиаду по 3 учащихся. Принтер печатает одну страницу за 5 с. Сколько страниц можно напечатать на этом принтере за мин. Земельный участок площадью 28 га засадили морковью и капустой. Площадь, занятая морковью, относится к площади, занятой капустой, как 2 : 5. Сколько гектаров земли засадили морковью Часть 2 12. Машинист пассажирского поезда, двигавшегося со скоростью 56 км/ч, заметил, что товарный поезд, двигавшийся навстречу со скоростью км/ч, прошёл мимо него за 15 с. Сколько метров составляет длина товарного поезда § 10. Текстовые задачи. Было 300 г 5 процентного раствора соли. Через некоторое время 50 г воды испарили. Сколько процентов составило после этого содержание соли в растворе. Васе надо 40 мин, чтобы добраться до стадиона и вернуться домой, если туда он идёт пешком, а возвращается на автобусе. Если он едет на автобусе в оба конца, тона весь путь тратит мин. Сколько минут ему надо, чтобы пешком добраться до стадиона и вернуться домой. Прокат лодки стоит 80 р. за первый час или его часть. Каждый следующий час проката или его часть стоит 60 р. Василий взял лодку в 9 ч 40 мина вернул в 13 ч 15 мин того же дня. Сколько рублей заплатил Василий за прокат лодки. Первые 280 км автомобиль ехал со скоростью км/ч, следующие 216 км — со скоростью км/ч, а последние 80 км — со скоростью км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути. Первая и вторая бригады, работая вместе, могут отремонтировать дорогу зач, вторая и третья бригада могут отремонтировать эту дорогу зач, а первая и третья — зач. За сколько минут отремонтируют эту дорогу три бригады, работая вместе. Поезд, двигаясь равномерно со скоростью 28 км/ч, проезжает мимо пешехода, идущего параллельно путям со скоростью 4 км/ч в направлении движения поезда, за 90 с. Найдите длину поезда в метрах. Свежие фрукты содержат 80% воды, а высушенные. Сколько килограммов высушенных фруктов получили из 42 кг свежих фруктов Глава I. АРИФМЕТИКА. АЛГЕБРА 11. Неравенства. Числовые неравенства и их свойства Разность чисел a и b может быть либо положительной, либо отрицательной, либо равной нулю, поэтому для любых чисел a и b справедливо одно и только одно из таких соотношений a > b, a < b, a = Если a > b, то точка, изображающая число a на координатной прямой, лежит правее точки, изображающей число b (рис. Для высказывания не больше используют знак (читают меньше или равно, а для высказывания не меньше — знак (читают больше или равно»). Если a < b или a = b, то верно неравенство Если a > b или a = b, то верно неравенство Например, неравенства 7 7, 7 15, –3 –5 верны. Заметим, что, например, неравенство 7 5 не верно. Знаки < и > называют знаками строгого неравенства, а знаки и — знаками нестрогого  перейти в каталог файлов | Образовательный портал Как узнать результаты егэ Стихи про летний лагерь 3агадки для детей |