ОГЭ 2018 Математика Новый полный справочник. Справочник для подготовки к огэ А. Г. Мерзляк, В. Б. Полонский

Глава I. АРИФМЕТИКА. АЛГЕБРА
ной умножим на два и из полученного произведения вычтем единицу. Очевидно, что таким способом значение зависимой переменной находится однозначно. Следовательно, мы задали некоторую функцию f, областью определения которой является множество действительных чисел. Например) = 2 2 – 1 = 3, f
=
2 – 1 = 0, f(–13,4) =
= (–13,4) 2 – 1 = –27,8 и т. п.
Рассмотрим самый распространённый способ задания функции задание функции с помощью фор
мулы.
Если в рассмотренном выше примере независимую переменную обозначить буквой x, а зависимую буквой y, указать область определения множество действительных чисел, то формула 2x – 1 задаёт вышеописанную функцию.
Если функция задана формулой и при этом не указана область определения, то считают, что областью определения функции является область определения выражения, входящего в формулу. Например,
если функция задана формулой f(x) =
, то её
областью определения является область определения выражения
, те. промежуток (1; + Рассмотрим функцию f(x) = x – 2x
2
, областью определения которой является множество –1; 0; ; 1; 3 Имеем) = –3; f(0) = 0; f
= 0; f(1) = –1; f(3) = –15.
1 2
1 2
1
x
1 1
x
1 1
2 1
2

§ 8. Функции
137
Полученные результаты занесём в таблицу:
Множество чисел, записанных впервой строке этой таблицы, является областью определения данной функции f. Таблица позволяет по указанному значению аргумента найти соответствующее значение функции. Следовательно, эта таблица — ещё
один способ задания функции f. Его называют таб
личным.
Этот способ удобно использовать в тех случаях,
когда область определения функции представляет собой множество, состоящее из нескольких чисел. График функции Графиком функции f называют геометрическую фигуру, состоящую из всех тех и только тех точек координатной плоскости, абсциссы которых равны значениям аргумента, а ординаты — соответствующим значениям функции Если какая то фигура является графиком функции f, то выполняются два условия) если x
0
— некоторое значение аргумента а — соответствующее значение функции, то точка с координатами (x
0
; обязательно принадлежит графику) если (x
0
; y
0
) — координаты произвольно выбранной точки графика то и y
0
— соответствующие значения независимой и зависимой переменных функции f, те Глава I. АРИФМЕТИКА. АЛГЕБРА
Графиком функции необязательно является линия. На рисунке 8.1 изображён график функции,
заданной таблицей:
Он состоит из двух точек.
Рассмотрим пример построения графика функции, заданной описательно.
Область определения данной функции — множество действительных чисел. Для каждого положительного аргумента значение функции равно для каждого отрицательного аргумента значение функции равно –1; если аргумент равен нулю, то значение функции равно нулю.
График этой функции изображён на рисунке Он состоит из трёх частей точки O(0; 0) и двух лучей, у каждого из которых выколото начало.
Не всякая фигура, изображённая на координатной плоскости, может являться графиком функции. Например, окружность не может являться графиком функции, потому что по заданному значению переменной x не всегда однозначно находится значение переменной y (рис. 8.3).
x
1
–2
y
3 Рис. Рис. 8.2
y
x
1 0 1
y
x
1
–1 0 1

§ 8. Функции
139
Фигура, изображённая на координатной плоскости, может являться графиком функции, если любая прямая, перпендикулярная оси абсцисс,
имеет с этой фигурой не более одной общей точки.
Пусть Х — множество абсцисс точек такой фигуры.
Можно говорить, что эта фигура задаёт функцию с областью определения Х. Такой способ задания функции называют графическим.
Если функция f задана графически, то значение функции по заданному значению x
0
аргумента можно найти последующему правилу через точку (x
0
; 0) провести прямую, перпендикулярную оси абсцисса затем найти ординату точки пересечения этой прямой с графиком. Найденная ордината равна f(x
0
) (рис. 8.4).
8.4. Нули функции. Промежутки знакопостоянства. Возрастание и убывание функции.
Наибольшее и наименьшее значения функции
На рисунке 8.5 изображён график некоторой функции y = Рис. Рис. 8.4
y
x
x
1
y
1
y
2
x
0
x
0
f
(x
0
)
y

Глава I. АРИФМЕТИКА. АЛГЕБРА
Её областью определения является промежуток 7], а областью значений — промежуток [–4; Значение аргумента, при котором значение функции равно нулю, называют нулём функции.
Так, числа –3, 1, 5 являются нулями данной функции Для нахождения нулей функции y = f(x) надо решить уравнение f(x) Промежуток, на котором функция принимает значения одного знака, называют промежутком
знакопостоянства функции Например, на промежутках [–4; –3) и (1; 5) данная функция f принимает положительные значения, а на промежутках (–3; 1) и (5; 7] — отрицательные (рис. Рис. 8.5
x
0
y
–4 –3
–1
–4
–2 3
4 3
1 5
7

§ 8. Функции
141
Для нахождения промежутков знакопостоянства функции y = f(x) надо решить каждое из неравенств) > 0 и f(x) < Замечание. При поиске промежутков знако постоянства функции принято указывать промежутки максимальной длины, на которых функция обладает указанным свойством. Например, промежуток) является промежутком знакопостоянства функции f (рис. 8.5), нов ответ следует включить промежуток, содержащий промежуток (–2; Функцию f называют возрастающей на некотором промежутке, если для любых двух значений аргумента и x
2
из этого промежутка таких, что x
1
, выполняется неравенство f(x
2
) > Например, функция f (рис. 8.5) возрастает на промежутке [–1; Функцию f называют убывающей на некотором
промежутке, если для любых двух значений аргумента и x
2
из этого промежутка таких, что x
1
, выполняется неравенство f(x
2
) < Например, функция f (рис. 8.5) убывает на каждом из промежутков [–4; –1] и [3; Часто используют и такие формулировки.
Функцию называют возрастающей на некотором
промежутке, если для любых значений аргумента из этого промежутка большему значению аргумента соответствует большее значение функции.
Функцию называют убывающей на некотором
промежутке, если для любых значений аргумента из этого промежутка большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.
Если функция возрастает на всей области определения, то её называют возрастающей. Если функ

Глава I. АРИФМЕТИКА. АЛГЕБРА
ция убывает на всей области определения, то её называют убывающей.
В задачах на поиск промежутков возрастания и убывания функции принято указывать промежутки максимальной длины.
Все значения функции f (рис. 8.5) не превосходят числа 4. Имеем f(3) = 4. Говорят, что число 4 является наибольшим значением функции f. Все значения этой функции не меньше числа –4. Имеем) = –4. Говорят, что число –4 является наименьшим значением функции f.
8.5. Чтение графиков функций,
отображающих реальные процессы
Рисунок, схема, фотография какого то объекта или процесса дают он м наглядное представление.
Ту же роль играет для функции её график. Так, изучая график функции, изображённый на рисунке можно, например, найти) область определения функции множество таких чисел x, при которых –3 x 6;
x
0
y
–3
–2 4
1 Рис. 8.6

§ 8. Функции) область значений функции множество таких чисел y, при которых –2 y 4;
3) значения аргумента, при которых значение функции равно нулю x = –3 или x = 1;
4) значения аргумента, при которых функция принимает положительные значения множество таких чисел x, при которых 1 < x
6;
5) значения аргумента, при которых функция принимает отрицательные значения множество таких чисел x, при которых –3 < x < 1. На рисунке 8.7 изображён график изменения температуры раствора вовремя химического опыта. С помощью этого графика можно, например,
установить:
1) какой была начальная температура раствора
(ответ: 10 С);
Рис. 8.7 0
50 10 20 30 40 20 40 60 80 Время, мин Температура, С