ОГЭ 2018 Математика Новый полный справочник. Справочник для подготовки к огэ А. Г. Мерзляк, В. Б. Полонский
 Скачать 3.79 Mb.
| Образовательный портал Как узнать результаты егэ Стихи про летний лагерь 3агадки для детей |
| § 6. Корень из числа. Квадратный корень. Арифметический квадратный корень Квадратным корнем из числа a называют число, квадрат которого равен Например, квадратными корнями из числа 9 являются числа 3 и –3; квадратными корнями из числа являются числа и – . Квадратным корнем из числа 0 является число Арифметическим квадратным корнем из числа называют неотрицательное число, квадрат которого равен Арифметический квадратный корень из числа обозначают . Знак называют знаком квадратного корня или радикалом (от латинского слова — корень). Запись читают квадратный корень из опуская при чтении слово «арифметический». Выражение, которое стоит под знаком радикала, называют подкоренным выражением. Например 2 24 n 2 3n 2 3 n 1 25 4 5 2 5 2 a a a Глава I. АРИФМЕТИКА. АЛГЕБРА в записи двучлен b – 5 является подкоренным выражением. Из определения арифметического квадратного корня следует, что подкоренное выражение может принимать только неотрицательные значения. Действие нахождения арифметического квадратного корня из числа называют извлечением квадратного корня. Например, = 3, = , = Для любого неотрицательного числа a справедливо, что и = Например, = 4, = 2, = 5,2. 6.2. Свойства арифметического квадратного корня. Для любого действительного числа а выполняется равенство = |a|. 2. Для любых действительного числа аи натурального числа n выполняется равенство = |a n |. 3. Для любых действительных чисел аи таких, что и b 0 выполняется равенство = 4. Для любых действительных чисел аи таких, что и b > 0 выполняется равенство = b 5 9 25 4 5 2 0 a a 2 4 2 2 2 5 2 2 a 2 a 2n ab a b a b a b § 6. Корень из числа 101 Преобразуем выражение . Имеем = = = Выражение мы представили в виде произведения рационального числа 4 и иррационального числа . Такое преобразование называют вынесением множителя из под знака корня. В данном случае был вынесен из под корня множитель Рассмотрим выполненное преобразование в обратном порядке = = = Такое преобразование называют внесением множителя под знак корня. В данном случае был внес н под корень множитель Задача 1. Вынесите множитель из под знака корня, если Решение) Поскольку подкоренное выражение должно быть неотрицательным, то из условия следует, что b 0. Тогда = = |b 17 | = b 17 3) Из условия следует, что b 0. Тогда = = |b 17 | = –b 17 4) Поскольку подкоренное выражение должно быть неотрицательным, а a 0, то из условия следует, что. Тогда = = |a| |b| = –ab 48 48 16 3 16 3 3 48 3 3 16 3 16 3 48 72a 8 b 35 b 35 a 2 b 3 72a 8 36a 8 2 2 2 b 35 b 34 b b b b 35 b 34 b b b a 2 b 3 a 2 b 2 b b b Глава I. АРИФМЕТИКА. АЛГЕБРА З ада ч а 2. Внесите множитель под знак корня) –2 ; 2) Решение) Если a 0, то = = если a < 0, то = – = – 6.3. Тождественные преобразования выражений, содержащих квадратные корни З ада ч а 1. Упростите выражение) + – ; 2) (7 – 3 ) 2 – ( + )( – Решение+ 2 – 10) = = 2) Применяя формулы сокращённого умножения (квадрат двучлена и произведение суммы и разности двух выражений, получаем – = = – = = 49 – + 18 – (10 – 5) = 62 – Задача. Разложите на множители выражение, если b 0; 3) 9c – + 5; 4) a + ; 5) + 6; 6) – Решение) Представив данное выражение в виде разности квадратов, получаем 2 = a 2 – = (a – )(a + ). 7 7 7 4 7 28 a 7 a 2 7 7a 2 a 7 a 2 7 7a 2 54a 24a 600a 2 10 5 10 5 54a 24a 600a 9 6a 4 6a 100 6a 3 6a 2 6a 10 6a 6a 6a 5 5 6a 7 3 2 2 10 5 10 5 7 2 2 7 3 2 3 2 2 10 2 5 2 42 2 2 6 5c a 3 35 15 2 2 2 2 § 6. Корень из числа) Поскольку по условию b 0, то b – 4 = = – 4 = ( – 2)( + 2). 3) Применим формулу квадрата разности – 6 + 5 = – + = = 4) a + = + = 5) + 6 = + = (1 + ). 6) – = – = Задача. Сократите дробь 1) ; 2) ; 3) , если a > 0, b > Решение) Разложив числитель данной дробина множители, получаем = = = – 1. 2) = = = – 3. 3) Поскольку по условию a > 0 и b > 0, то числитель и знаменатель данной дроби можно разложить на множители. Имеем = = Задача. Докажите тождество = b 2 b b 5c 3 c 2 2 3 c 5 5 2 3 c 5 2 a a 2 a a a 1 3 3 2 3 2 3 2 3 35 15 5 7 5 3 5 7 3 b 1 b 1 2 3 2 2 a b a 2 ab b b 1 b 1 b 2 1 b 1 b 1 b 1 b 1 b 2 3 2 2 2 2 3 2 2 2 2 3 2 2 a b a 2 ab b a b a b a b 2 a b a b a a b b a b 2 ab b a a ab b a b a b Глава I. АРИФМЕТИКА. АЛГЕБРА Р е ш е ни е = = = = = = = 6.4. Корень третьей степени Корнем третьей степени кубическим корнем) из числа а называют число, куб которого равен а. Кубический корень из числа а обозначают Например = 2, так как 2 3 = 8; = 5, так как 5 3 = 125; = 0, так как 0 3 = 0; = –3, так как (–3) 3 = –27. 6.5. Запись корня с помощью степени с дробным показателем Степенью положительного числа a с рациональным показателем r, представленным в виде ab b a a ab b a b a a b b a b 2 ab a b a b a b a b a b a ab ab b 2 ab a b a b a 2 ab b a b a b a b 2 a b a b a b a b a 3 8 3 125 3 0 3 27 3 § 6. Корень из числа, где m Z, n N, n > 1, называют число те Например, ; ; 0,4 0,5 = = Степень с основанием, равным нулю, определяют только для положительного рационального показателя, где m N, n Например, запись не имеет смысла. В определениях не идёт речи о степени для 0, например выражение осталось неопре делённым. 6.6. Понятие об иррациональном числе. Десятичные приближения иррациональных чисел Установлено, что = 1,4142135623730950488016887242097... . Число представлено в виде бесконечной непериодической десятичной дроби. Это число не является рациональным, поскольку любое рациональное число представляется в виде конечной десятичной 2 3 5 2 3 3 1 3 3 1 3 3 1 3 0 4 1 2 0 4 0 m n 0 1 2 a m n 2 1 3 2 2 Глава I. АРИФМЕТИКА. АЛГЕБРА дроби или бесконечной периодической десятичной дроби. Число — это пример иррационального числа. Число , равное отношению длины окружности к диаметру, также является иррациональным 3,14159265358979323846264338327950288... Иррациональные числа возникают не только в результате извлечения квадратных корней. Их можно конструировать, строя бесконечные непериодические десятичные дроби. Например, число после запятой записываются последовательно степени числа 10) является иррациональным. Действительно, если предположить, что рассматриваемая десятичная дробь имеет период, состоящий из цифр, то с некоторого места этот период будет полностью состоять из нулей, те. начиная с этого места в записи не должно быть ни одной единицы, что противоречит конструкции числа. Для нахождения длины окружности и площади круга, используют приближённое значение числа ( 3,14). Аналогично при решении практических задач, где необходимо выполнить действия с действительными числами, эти числа заменяют их при ближёнными значениями. Например, для числа пользуются такими приближёнными равенствами 1,414 или 1,415. Первое из них называют приближённым значением числа по недостатку с точностью до 0,001, второе — приближённым значением числа по избытку с точностью до 0,001. 2 2 2 2 2 2 § 6. Корень из числа. Понятие о множестве. Числовые множества. Множество действительных чисел Часто в повседневной жизни объединённые по некоторому признаку объекты мы называем группой, объединением, коллекцией, совокупностью и т. п. Для этих слов в математике существует синоним множество. Приведём несколько примеров множеств: множество учеников вашей школы; множество городских округов Алтайского края. Отдельным важнейшим множествам присвоены общепринятые названия и обозначения: множество точек плоскости — геометрическая фигура; множество точек, обладающих заданным свойством геометрическое место точек (ГМТ); множество натуральных чисел, которое обозначают буквой множество целых чисел, которое обозначают буквой множество рациональных чисел, которое обозначают буквой Если элемент a принадлежит множеству A, топи шут a A (читают «a принадлежит множеству Если элемент b не принадлежит множеству A, то пишут b A (читают «b не принадлежит множеству Например, 12 N; –3 N; Q; Множество, не содержащее ни одного элемента, называют пустыми обозначают символом . Например, множество корней уравнения = является пустым 3 2 3 x Глава I. АРИФМЕТИКА. АЛГЕБРА Два множества A и B называют равными, если они состоят из одних и тех же элементов, те. каждый элемент множества A принадлежит множеству и, наоборот, каждый элемент множества B принадлежит множеству Если множества A и B равны, то пишут A = Множество B называют подмножеством множества, если каждый элемент множества B является элементом множества A. Это записывают так или A B (читают множество B — подмножество множества A» или множество A содержит множество Например, N Z; Z Q; Для иллюстрации соотношений между множествами пользуются схемами, которые называют диаграммами Эйлера. На рисунке 6.1 изображены множество A (больший круги множество B (меньший круг, полностью содержащийся в большем. Эта схема означает, что На рисунке 6.2 с помощью диаграмм Эйлера показано соотношение между множествами N, Z и Рис. Рис. 6.2 § 6. Корень из числа 109 Все рациональные и иррациональные числа вместе образуют множество действительных чисел, которое обозначают буквой Таким образом, между числовыми множествами выполняется соотношение Над действительными числами можно выполнять четыре арифметических действия (кроме деления на нуль, в результате получим действительное число. Эти действия обладают такими свойствами a + b = b + a — переместительное свойство сложения переместительное свойство умножения + b) + c = a + (b + c) — сочетательное свойство сложения c = a(bc) — сочетательное свойство умножения распределительное свойство умножения. Положительные действительные числа можно сравнивать, используя правила сравнения десятичных дробей, те. сравнивая цифры в соответствующих разрядах. Например, 7,853126... < 7,853211... Любое положительное действительное число больше нуля и любого отрицательного действительного числа. Любое отрицательное действительное число меньше нуля. Из двух отрицательных действительных чисел больше то, у которого модуль меньше. Примеры заданий № Часть 1 1. При каком значении y верно равенство = 0,4? 1) 0,4 2) 1,6 3) 0,16 4) 0,04 y Глава I. АРИФМЕТИКА. АЛГЕБРА. Укажите неверное равенство) = 70 3) = 0,7 2) = 0,02 4) = 20 3. Какое из чисел , , является иррациональным) все эти числа иррациональные. Чему равно значение выражения ? 5. Вычислите значение выражения при b = 1) 2) 5 3) 4) 6. Найдите значение выражения 7. При каких значениях a и b выполняется равенство) a 0, b 0 8. Чему равно значение выражения ? 1) 420 2) 42 3) 4,2 4) 0,42 9. Найдите значение выражения 10. Найдите значение выражения 1) 3) 2) 4) 11. Найдите значение выражения 1) 2) 3) 80 4) 4900 0 49 0 04 400 0 81 8 1 81 0 81 81 8 1 1 3 27 2 b 2 4 2 5 5 5 2 5 2 5 2 2 6 ab a b 36 0 49 3 7 2 3 5 4 60 8 72 48 15 144 5 24 30 240 3 40 80 20 80 30 80 10 800 10 § 6. Корень из числа. Чему равно значение выражения ? 13. Чему равно значение выражения ? 14. Упростите выражение 1) 13y 2) y 3) 4) 15. Упростите выражение 1) 2) 3) 4) 16. Найдите значение выражения 1) 25 3) 25 + 2) 27 4) 27 + 17. Найдите значение выражения 1) 4 2) –2 3) 14 4) 8 18. Значение какого изданных ниже выражений является рациональным числом) 3) 2) 4) 19. Чему равно значение выражения ? 1) 1 2) 5 3) 5 – 4) 5 + 20. Освободитесь от иррациональности в знаменателе дроби 1) 3) 2) 4) 192 3 6 3 2 9y 16y 36y 13 y y 12 2 32 6 2 8 2 4 2 12 2 23 2 2 4 23 4 23 3 5 3 5 13 11 48 32 13 11 13 11 48 32 3 2 2 24 2 6 2 6 6 3 2 3 6 3 3 3 3 Глава I. АРИФМЕТИКА. АЛГЕБРА. Сократите дробь 1) 2) 3) a + 3 4) a – 3 22. Сократите дробь 1) 3) 2) 4) 23. Значение какого изданных ниже выражений является наименьшим) 2) 3) 4) 24. В каком случае числа , и 5 расположены в порядке возрастания) ; ; 5 3) 5; ; 2) ; ; 5 4) ; 5; 25. Какое изданных чисел принадлежит промежутку. Между какими числами заключено число ? 1) 8 и 9 2) 7 и 8 3) 73 и 75 4) 9 и 10 27. На координатной прямой отмечены точки A, B, C ирис. Одна из них соответствует числу. Какая это точка) A 2) B 3) C 4) D a 9 a 3 a 3 a 3 15 5 5 15 1 3 5 3 1 10 1 19 3 2 34 2 5 2 3 3 4 2 3 3 4 2 3 3 4 2 4 2 3 3 3 3 4 2 7 29 37 2 6 74 Рис. 6.3 6 7 8 A B C D § 6. Корень из числа 113 Часть 2 28. Найдите значение выражения 29. Найдите значение выражения при. Найдите значение выражения 31. Чему равно значение выражения ? 32. Найдите значение выражения 33. Упростите выражение , если a > 7. 34. Найдите значение выражения 35. Упростите выражение , если a < и b < 0. 36. Упростите выражение 37. Найдите значение выражения 38. Найдите значение выражения + если . 39. Найдите значение выражения 3 6 2 8 32 2 108 a 2 2a 5 3 a 5 3 3 2 5 2 2 1 2 3 1 2 2 3 4 3 7 4 3 2 3 2 49 14a a 2 8 3 2 2 3 2 a b 2 9b 2 3 1 3 1 3 1 3 1 8 2 7 8 2 7 2 25a 36b 5 a 6 b b a b 8 1 30 3 1 1 30 3 1 Глава I. АРИФМЕТИКА. АЛГЕБРА. Вычислите сумму + + + + ... + 41. Упростите выражение : 42. Упростите выражение : 43. Найдите значение выражения 44. Какое из чисел больше 3 + или ? 45. Какое из чисел меньше или 10? § 7. Уравнения с одной переменной. Общие сведения об уравнениях с одной переменной Пусть заданы две функции y = f(x) и y = g(x) и поставлена задача найти множество значений аргумента, при которых значения функций f и g равны. В таком случае говорят, что надо решить уравнение Корнем уравнения называют значение переменной, обращающее уравнение в верное числовое ра венство. Решить уравнение — это значит найти множество его корней 3 7 1 7 11 1 11 15 1 27 31 a b a b b a b a b m 2 m 2 8 m m 4 m 2 m 2 m 19 6 10 19 6 10 5 8 6 26 24 § 7. Уравнения с одной переменной 115 Областью определения уравнения f(x) = g(x) называют множество значений переменной x, при которых имеют смысл обе части уравнения. Например: областью определения линейного уравнения, то есть уравнения вида ax = b, является множество областью определения уравнения = 0 является множество всех действительных чисел, кроме числа Несмотря на то, что уравнение x 2 = –2 не имеет корней, его областью определения является множество Уравнения f 1 (x) = g 1 (x) и f 2 (x) = g 2 (x) называют равносильными, если множества их корней равны. Например, уравнения x 2 = 4 и | x | = 2 являются равносильными. Множество корней каждого из уравнений x 2 = и | x | = –3 является пустым, то есть множества корней этих уравнений равны. Следовательно, по определению, эти уравнения являются равносильными. Если к обеим частям данного уравнения прибавить (или из обеих частей вычесть) одно и тоже число, то получим уравнение, равносильное дан ному. Если какое либо слагаемое перенести из одной части уравнения в другую, изменив при этом его знак на противоположный, то получим уравнение, равносильное данному. Если обе части уравнения умножить (разделить) на одно и тоже отличное от нуля число, то получим уравнение, равносильное данному 4 x 2 Глава I. АРИФМЕТИКА. АЛГЕБРА Если множество корней уравнения f 2 (x) = содержит множество корней уравнения f 1 (x) = то уравнение f 2 (x) = g 2 (x) называют следствием уравнения f 1 (x) = Например, уравнение x 2 = 25 является следствием уравнения + x 2 = 25 + На рисунке 7.1 определение уравнения следствия проиллюстрировано с помощью диаграммы Эйлера. Те из корней уравнения следствия, которые не являются корнями данного уравнения, называют посторонними корнями данного уравнения. Например, уравнение (x + 2) = 0 является следствием уравнения 2x – 1 = 0. Уравнение следствие имеет два корня x 1 = , x 2 = –2, а данное уравнение имеет один корень x = . В этом случае корень x = –2 — посторонний корень данного уравнения Рис. Множество корней уравнения-следствия Множество корней уравнения 2 1 2 1 2 § 7. Уравнения с одной переменной 117 Так как пустое множество является подмножеством любого множества, то следствием уравнения, не имеющего корней, является любое уравнение стой же переменной. Например, следствием уравнения является уравнение 4x 2 + 12x + + + = 47. 7.2. Линейное уравнение с одной переменной Уравнение вида ax = b, где x — переменная, a и — некоторые числа, называют линейным уравнением с одной переменной. Примеры линейных уравнений x = 7; –0,4x = = 2,8; –x = Если a 0, то, разделив обе части уравнения ax = на a, получим x = . Отсюда следует если a 0, то уравнение ax = b имеет единственный корень, равный Если же a = 0, то линейное уравнение приобретает такой вид 0x = b. Здесь возможны два случая 0 или b В первом случае получаем уравнение 0x = 0. Отсюда, если a = и b = 0, то уравнение ax = b имеет бесконечно много корней любое число является его корнем. Во втором случае, когда b 0, при любом значении получим неверное равенство 0x = b. Отсюда, если a = и b 0, то уравнение ax = b корней не имеет 1 2 b a b a Глава I. АРИФМЕТИКА. АЛГЕБРА Следующая таблица подытоживает приведённые рассуждения. Квадратное уравнение Квадратным уравнением называют уравнение вида+ bx + c = 0, где x — переменная, a, b, c некоторые числа, причём Числа a, b и c называют коэффициентами квадратного уравнения. Число a называют первым или старшим коэффициентом, число b — вторым коэффициентом, число c — свободным членом. Например, квадратное уравнение –2x 2 + 5x + 3 = имеет следующие коэффициенты a = –2, b = 5, c = Квадратное уравнение, первый коэффициент которого равен 1, называют приведённым. Например, x 2 + x – 1 = 0; x 2 – 4 = 0; x 2 + 3x = 0 это приведённые квадратные уравнения. Если в квадратном уравнении ax 2 + bx + c = 0 хотя бы один из коэффициентов b или c равен нулю, то такое уравнение называют неполным квадратным уравнением. Существует три вида неполных квадратных уравнений. При b = c = 0 имеем ax 2 = 0. 2. При c = 0 и b 0 имеем ax 2 + bx = 0. 3. При b = 0 и c 0 имеем ax 2 + c = Уравнение ax = b a 0 a = 0, b = 0 a = 0, b 0 x = x — любое число корней нет § 7. Уравнения с одной переменной 119 Связь между корнями неполного квадратного уравнения и его коэффициентами показана в следующей таблице: Число D = b 2 – 4ac называют дискриминантом квадратного уравнения ax 2 + bx + c = Если D < 0, то квадратное уравнение корней не имеет. Если D = 0, то квадратное уравнение имеет один корень x = Если D > 0, то квадратное уравнение имеет два корня и x 2 : x 1 = , x 2 = Применяют также краткую форму записи. Эту запись называют формулой корней квадратного уравнения ax 2 + bx + c = Если второй коэффициент квадратного уравнения представить в виде 2k, то можно пользоваться Значения коэффициентов и c Уравнение Корни b = c = 0 ax 2 = 0 x = 0 b 0, c = 0 ax 2 + bx = 0 x 1 = 0, x 2 = b = 0, < 0 ax 2 + c = корней нет 0, > 0 ax 2 + c = 0 x 1 = , x 2 = b a c a c a c a c a b 2a b D 2a b D 2a b D 2a Глава I. АРИФМЕТИКА. АЛГЕБРА другой формулой, которая во многих случаях облегчает вычисления = , где D 1 = k 2 – Задача. Решите уравнение) x 2 + 5x – 3 = 0; 2) 5x 2 – 16x + 3 = 0; 3) x 2 – 6x + + 11 = 0; 4) –0,5x 2 + 2x – 2 = Решение Уравнение имеет два корня x 1 = , x 2 Ответ) Представим данное уравнение в виде 5x 2 + + 2 (–8) x + 3 = 0 и применим формулу для уравнения вида ax 2 + 2kx + c = 0: D 1 = (–8) 2 – 5 3 = 49; x 1 = = ; x 2 = = Ответ Следовательно, уравнение не имеет корней. О т в е т корней нет) D = 2 2 – 4 (–0,5) (–2) = 4 – 4 = Следовательно, данное уравнение имеет один корень Ответ. Уравнения с одной переменной. Теорема Виета Теорема Виета. Если и x 2 — корни квадратного уравнения ax 2 + bx + c = 0, то + x 2 = ; x 1 x 2 = Теорема Виета справедлива и тогда, когда D = В этом случае считают, что x 1 = x 2 = Если и x 2 — корни приведённого квадратного уравнения x 2 + bx + c = 0, тот. е. сумма корней приведённого квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знакома произведение корней равно свободному члену. Теорема, обратная теореме Виета. Если числа и таковы, что+ = и = , то эти числа являются корнями квадратного уравнения ax 2 + bx + c = Если числа и таковы, что –b и c, то эти числа являются корнями приведённо го квадратного уравнения x 2 + bx + c = Задача. Известно, что x 1 и x 2 — корни уравнения. Не решая уравнение, найдите значение выражения Решение. По теореме Виета x 1 + x 2 = , x 1 x 2 = b a c a b 2a b a c a 1 x 2 1 x 1 3 2 9 2 Глава I. АРИФМЕТИКА. АЛГЕБРА Тогда имеем = = : = Ответ Задача. Составьте квадратное уравнение с целыми коэффициентами, корни которого равны и Решение. Пусть x 1 = и x 1 = . Тогда+ x 2 = + = 6; x 1 x 2 = = = = Следовательно, по теореме, обратной теореме Ви ета, числа x 1 и x 2 являются корнями уравнения 6x + = 0. Отсюда находим искомое уравнение. Квадратный трёхчлен. Разложение квадратного трёхчлена на множители Квадратным трёхчленом называют многочлен вида ax 2 + bx + c, где x — переменная, a, b и c — некоторые числа, причём Примеры многочленов, являющихся квадратными трёхчленами: 2x 2 – 3x + 5; x 2 + 7x; x 2 – 5; Корнем квадратного трёхчлена называют значение переменной, при котором значение квадратного трёхчлена равно нулю 1 x 1 x 1 x 2 x 1 x 2 3 2 9 2 1 3 1 3 6 7 2 6 7 2 6 7 2 6 7 2 6 7 2 6 7 2 6 7 2 6 7 2 36 7 4 29 4 29 4 § 7. Уравнения с одной переменной 123 Например, число 2 является корнем квадратного трёхчлена x 2 – 6x + Чтобы найти корни квадратного трёхчлена ax 2 + bx + c, надо решить соответствующее квадратное уравнение ax 2 + bx + c = Число D = b 2 – 4ac называют дискриминантом квадратного трёхчлена ax 2 + bx + Если D < 0, то квадратный трёхчлен корней не имеет если D = 0, то квадратный трёхчлен имеет один корень если D > 0 — то имеются два корня. Если дискриминант квадратного трёхчлена ax 2 + bx + c положителен, то данный трёхчлен можно разложить на множители+ bx + c = a (x – x 1 )(x – где и x 2 — корни квадратного трёхчлена. Если дискриминант квадратного трёхчлена отрицателен, то данный трёхчлен нельзя разложить на линейные множители. З ада ч а. Сократите дробь Решение. Разложим на множители квадратный трёхчлен, являющийся числителем данной дроби – a – 1 = 0; a 1 = – ; a 2 = ; 6a 2 – a – 1 = 6 = 3 2 = = (3a + 1)(2a – 1). 6a 2 a 1 9a 2 1 1 3 1 2 a 1 3 a 1 2 a 1 3 a 1 2 Глава I. АРИФМЕТИКА. АЛГЕБРА Тогда имеем = = Ответ Примеры заданий № Часть 1 1. Какое из приведённых ниже уравнений имеет ровно два корня) | x – 2 | = 3 3) 2x – 8 = 7 2) 0x = 0 4) 2(x – 3) = 0 2. Найдите корень уравнения –4 – 3x = 2x – 6. 3. Найдите корень уравнения x – = . 4. Решите уравнение 2 (4x – 3) – (2x – 8) = 6x + 5. 1) 3 3) x — любое число) –3 4) нет корней. Решите уравнение 4x – 2(2 – x 2 ) = x 2 + 5x – (3 – x 2 ). 1) –1 3) x — любое число) 1 4) нет корней. Решите уравнение 3 (1 – 2x) – (–7x + 2) = 1 + x. 1) 0 3) x — любое число) –2 4) нет корней. Найдите корень уравнения 6 (x + 4) = –15. 8. Найдите корень уравнения = – . 9. Решите уравнение (–x – 9)(2x + 7) = 0. Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите меньший корень. При каком значении x значения выражений 8 и 4x + 7 равны 9a 2 1 3a 1 2a 1 3a 1 3a 1 2a 1 3a 1 2a 1 3a 1 x 13 24 13 9 x 5 3 4 § 7. Уравнения с одной переменной. Решите уравнение 3 (–10 – 3x) = –3x + 12. 12. Решите уравнение (3x + 1) 2 + (x – 7) 2 = 10x 2 13. Решите уравнение (x – 10) 2 = (x + 7) 2 . Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите произведение корней. Решите уравнение – x 2 + 35 = 0. Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите меньший корень. Решите уравнение 27x – x 2 = 0. Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите больший корень. Решите уравнение –5x 2 + 4 = 4 – 10x. 1) 0 2) 2 3) 0; 2 4) корней нет. Какое изданных уравнений имеет два корня) x 2 – 4x + 8 = 0 3) 5x 2 – 2x + 0,2 = 0 2) 3x 2 – 4x – 1 = 0 4) 2x 2 + 9x + 15 = 0 18. При каком значении c уравнение 6x 2 – 6x + c = имеет один корень. Решите уравнение x 2 + 16 = 10x. Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите модуль разности корней. Решите уравнение 5x 2 + 9x + 4 = 0. Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите больший корень. Решите уравнение 3x 2 + x + 29 = (x + 5) 2 . Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите больший корень. Уравнение x 2 + px + q = 0 имеет корни –7 и Найдите q. 23. Уравнение x 2 + px + q = 0 имеет корни –3 и Найдите p. 5 7 1 3 Глава I. АРИФМЕТИКА. АЛГЕБРА. Чему равно произведение корней уравнения 10x + 3 = 0? 1) 10 2) 3 3) –10 4) –3 25. Чему равна сумма корней уравнения 21x – 10 = 0? 1) 21 2) –21 3) 10 4) –10 26. Разложите на множители многочлен 6x 2 + 7x – 5. 1) 2) 3) (2x – 1)(3x + 5) 4) (2x + 1)(3x – 5) 27. Квадратный трёхчлен разложен на множители – 23x – 10 = 5(x – 5)(x – a). Найдите значение Часть 2 28. При каких значениях b уравнение – bx + 12 = 0 имеет один корень. Решите уравнение x 2 – 12x + = 45 + 30. Решите уравнение x 2 – 7x + = + 8. 31. Решите уравнение x|x| – 6x – 5 = 0. 32. Решите уравнение x 2 + 4 – 32 = 0. 33. Решите уравнение (x 2 – 4) 2 + (x 2 + x – 2) 2 = 0. 34. Решите уравнение + |x 2 – 3x – 10| = 0. 35. Сократите дробь x 1 2 x 5 3 x 1 2 x 5 3 10 x 3 10 x 3 2 x 2 x x 2 x 2 2x 8 4a 2 a 3 a 2 1 § 7. Уравнения с одной переменной. Сократите дробь 37. Сократите дробь 38. При каком значении a разложение на линейные множители трёхчлена 2x 2 + ax – 3 содержит множитель 2x – 3? 39. Известно, что x 1 и x 2 — корни уравнения 5x – 13 = 0. Найдите значение выражения – 2x 1 – 2x 2 40. Известно, что x 1 и x 2 — корни уравнения 3x – 7 = 0. Найдите значение выражения. Известно, что x 1 и x 2 — корни уравнения 10x + 12 = 0. Найдите значение выражения. Число –3 является корнем уравнения + 3x + a = 0. Найдите другой корень уравнения и значение a. 43. Корни x 1 и x 2 уравнения x 2 + 6x + c = 0 удовлетворяют условию 3x 1 – 2x 2 = 17. Найдите значение. Составьте квадратное уравнение, корни которого равны 7 – и 7 + 45. Составьте квадратное уравнение, корни которого больше соответствующих корней уравнения + 4x – 9 = 0 на единицу 12a 36 2a 2 11a 6 a 3 27 5a 2 16a 3 x 1 2 x 2 2 x 2 x 1 x 1 x 2 5 5 Глава I. АРИФМЕТИКА. АЛГЕБРА. Рациональные уравнения Уравнение, левая и правая части которого являются рациональными выражениями, называют ра циональным. Рассмотрим рациональное уравнение вида = где A и B — многочлены. Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда её числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля. Поэтому, чтобы решить уравнение вида = нужно потребовать одновременного выполнения двух условий A = 0 и Это значит, что при решении уравнений указанного вида следует руководствоваться таким правилом: решить уравнение A = проверить, какие из найденных корней удовлетворяют условию корни, удовлетворяющие условию B 0, включить в ответ. Таким образом, решение уравнения вида = сводится к решению уравнения A = 0 и проверке условия B 0. В таких случаях говорят, что уравнение равносильно системе Задача. Решите уравнение Решение. Имеем = 0; = 0. A B A B A B A B A = 0, B 0. 3x 5 6x 3 1 4x 2 1 x 2x 1 3x 5 3 2x 1 1 2x 1 2x 1 x 2x 1 4x 2 3 2x 1 2x 1 § 7. Уравнения с одной переменной 129 Полученное уравнение равносильно системе Перепишем эту систему так Отсюда Следовательно, исходное уравнение не имеет корней. О т в е т корней нет. Метод замены переменной З ада ч а 1. Решите уравнение x 4 – 13x 2 + 36 = Решен и е.Обозначим x 2 = t. Тогда x 4 = t 2 . Получим квадратное уравнение с переменной t: t 2 – 13t + 36 = Решая это уравнение, находим t 1 = 4, t 2 = Поскольку t = x 2 , то решение исходного уравнения сводится к решению двух уравнений = 4 и x 2 = Отсюда x 1 = –2, x 2 = 2, x 3 = –3, x 4 = Ответ, Уравнение вида ax 4 + bx 2 + c = 0, где x — переменная и c — некоторые числа, причём называют биквадратным уравнением. Заменой x 2 = t биквадратное уравнение сводится к квадратному уравнению at 2 + bt + c = 0. Такой – 2 = 0, 3(2x – 1)(2x + 1) 0. 4x – 2 = 0, x 0,5, x –0,5. x = – 0,5, x – 0,5, x –0,5. Глава I. АРИФМЕТИКА. АЛГЕБРА способ решения уравнений называют методом замены переменной. Метод замены переменной можно использовать не только при решении биквадратных уравнений. З ада ч а 2. Решите уравнение – 1) 4 + (2x – 1) 2 – 2 = Решен и е.Выполним замену (2x – 1) 2 = t. Исходное уравнение сводится к квадратному уравнению + t – 2 = Отсюда t 1 = –2, t 2 = Теперь надо решить следующие два уравнения – 1) 2 = –2 и (2x – 1) 2 = Первое из них корней не имеет. Из второго уравнения получаем 2x – 1 = –1 или 2x – 1 = Отсюда x 1 = 0, x 2 = Ответ Задача. Решите уравнение 6x + 5 + 1 = Решен и е.Пусть = t . Тогда x = t 2 . Имеем + 5t + 1 = 0. Отсюда t 1 = – , t 2 = – Получаем два уравнения = – ; = – Так как 0, то эти уравнения корней не имеют, а следовательно, и исходное уравнение корней не имеет. О т в е т корней нет. З ада ч а 4. Решите уравнение = –2. x x 1 3 1 2 x 1 3 x 1 2 x x 2 3x 6 x 8x x 2 3x 6 § 7. Уравнения с одной переменной 131 Р е ш е ни е.Пусть = t . Тогда = . Получаем уравнение t – = –2, равносильное системе Отсюда t 1 = – 4, t 2 = Теперь решение исходного уравнения сводится к решению двух уравнений) = –4; 2) = Решив эти уравнения, получим ответ. О т в е т –3; –1; 2; Примеры заданий № Часть 1 1. Решите уравнение = 0. 1) 5 3) –5; 5 2) –5 4) корней нет. Решите уравнение = 0. 1) 10 3) –10; 10 2) –10 4) корней нет. Решите уравнение x 2 3x 6 x 8x x 2 3x 6 8 t 8 t t 2 + 2t – 8 = 0, t 0. x 2 3x 6 x x 2 3x 6 x x 2 25 x 5 x 10 x 2 100 9 x 5 5 x 9 Глава I. АРИФМЕТИКА. АЛГЕБРА. Решите уравнение = –2. Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите больший корень. Решите уравнение x – = 3. Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите меньший корень. Решите уравнение = 1. Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите больший корень. Решите уравнение = . Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите меньший корень. Решите уравнение x 4 – 29x 2 + 100 = 0. 1) 4; 25 2) 2; 5 3) –2; 2; –5; 5 4) корней нет. Решите уравнение x 4 + 5x 2 – 36 = 0. Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите больший корень.  перейти в каталог файлов | Образовательный портал Как узнать результаты егэ Стихи про летний лагерь 3агадки для детей |