ОГЭ 2018 Математика Новый полный справочник. Справочник для подготовки к огэ А. Г. Мерзляк, В. Б. Полонский
 Скачать 3.79 Mb.
| Образовательный портал Как узнать результаты егэ Стихи про летний лагерь 3агадки для детей |
| 28. Известно, что при делении натурального числа на 20 остаток равен 7. Найдите остаток при делении числа 3m на 12. 29. В каждом купе вагона поезда 4 места. Вкупе с каким номером едет пассажир, номер места которого. В каждом подъезде на каждом этаже 9 этажного дома расположено по 8 квартир. Найдите номер этажа, на котором находится квартира № 173. § 2. Дроби 2. Дроби. Обыкновенная дробь. Основное свойство дроби. Сравнение дробей Дробные числа возникают, когда один предмет (яблоко, арбуз, торт, буханку хлеба, лист бумаги) или единицу измерения (метр, час, килограмм, градус) делят на несколько равных частей. Половина, четверть, треть, одна сотая, полтора это примеры дробных чисел. Дробные числа можно записывать с помощью обыкновенных дробей. Записи вида , , , , являются примерами обыкновенных дробей или короче — дробей. Обыкновенные дроби записывают с помощью двух натуральных чисел и черты дроби. Число, записанное над чертой, называют числителем дроби число, записанное под чертой, называют знаменателем дроби. Знаменатель дроби показывает, насколько равных частей разделили нечто целое, а числитель сколько таких частей взяли. Дробь, у которой числитель меньше знаменателя, называют правильной. Дробь, у которой числитель больше знаменателя или равен ему, называют неправильной. Например, дроби , , — правильные дроби неправильные. Такие суммы, как 2 + , 4 + , принято записывать короче 2 + = 2 , 4 + = 4 . Число 2 читают две целых пять седьмых 2 1 4 1 3 3 10 17 24 1 2 7 12 17 584 7 5 3 3 31 15 5 7 1 5 5 7 5 7 1 5 1 5 5 7 Глава I. АРИФМЕТИКА. АЛГЕБРА Число 2 называют смешанным числом. В смешанном числе 2 натуральное число 2 называют целой частью смешанного числа, а дробь — его дробной частью. Дробная часть смешанного числа это правильная дробь. Чтобы неправильную дробь, числитель которой нацело не делится на знаменатель, преобразовать в смешанное число, надо числитель разделить на знаменатель полученное неполное частное записать как целую часть смешанного числа, а остаток как числитель его дробной части. Если числитель неправильной дроби делится нацело на знаменатель, то эта дробь равна натуральному числу. Например, = 4 , = 7 , = Чтобы преобразовать смешанное число вне правильную дробь, надо целую часть числа умножить на знаменатель дробной части и к полученному произведению прибавить числитель дробной части эту сумму записать как числитель неправильной дроби, а в знаменатель записать знаменатель дробной части смешанного числа. Например, 5 = = Из двух дробей с одинаковыми знаменателями больше тау которой числитель больше, а меньше тау которой числитель меньше. Например, ; ; . 5 7 5 7 5 7 29 7 1 7 67 9 4 9 17 17 4 9 5 9 4 9 49 9 5 9 1 9 2 17 5 17 11 7 5 7 § 2. Дроби 33 Все правильные дроби меньше единицы, а неправильные больше или равны единице. Каждая неправильная дробь больше любой правильной дроби, а каждая правильная дробь меньше любой неправильной дроби. Следующее утверждение выражает основное свойство дроби. Если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и тоже число, отличное от нуля, то получим дробь, равную данной = Если числитель и знаменатель дроби — натуральные числа, то деление числителя и знаменателя на их общий делитель, отличный от, называют сокращением дроби. Например, равенство = означает, что дробь сократили на Дробь, числитель и знаменатель которой — взаимно простые числа, называют несократимой. Например, дробь является несократимой. С помощью основного свойства дроби любые две дроби можно привести к общему знаменателю. Например, приведём дроби и к общему знаменателю. Имеем = = (здесь числитель и знаменатель дроби умножили на число 3, которое называют дополнительным множителем = = дополнительный множитель 2). a b a n b n 35 14 5 2 35 14 12 25 3 4 5 6 3 4 3 3 4 3 9 12 5 6 5 2 6 2 10 12 Глава I. АРИФМЕТИКА. АЛГЕБРА Чтобы привести дроби к наименьшему общему знаменателю, надо) найти НОК знаменателей данных дробей) найти дополнительные множители для каждой из дробей, разделив общий знаменательна знаменатели данных дробей) умножить числитель и знаменатель каждой дробина её дополнительный множитель. Например, = , = Чтобы сравнить две дроби с разными знаменателями, надо привести их к общему знаменателю, а затем применить правило сравнения дробей с равными знаменателями. Например, поскольку , то 2.2. Арифметические действия с обыкновенными дробями Следующие равенства выражают правила сложения и вычитания дробей с одинаковыми знаменателями Чтобы сложить (вычесть) две дроби с разными знаменателями, надо привести их к общему знаменателю, а затем применить правило сложения (вычитания) дробей с равными знаменателями. Например, + = + = = 7 8 \3 21 24 11 12 \2 22 24 21 24 22 24 7 8 11 12 a c b c a b c a c b c a b c 3 8 \3 1 6 \4 9 24 4 24 9 4 24 13 24 § 2. Дроби 35 Произведением двух дробей является дробь, числитель которой равен произведению числителей, а знаменатель — произведению знаменателей = Например, = Два числа, произведение которых равно 1, называют взаимно обратными. Например, числа и являются взаимно обрат ными. Чтобы разделить одну дробь на другую, надо делимое умножить на число, обратное делителю : = Например, : = = Задача. Выполните действие 5 – 2 Решение. Десятичная дробь. Сравнение десятичных дробей Для дробей, знаменатели которых являются степенями числа 10, используют одноэтажную форму записи c b d 4 7 2 3 8 21 4 9 9 4 a b c d a b d c 6 35 2 5 6 35 5 2 3 7 1 6 4 9 1 6 4 9 3 18 8 18 21 18 8 18 13 18 Глава I. АРИФМЕТИКА. АЛГЕБРА Например, = 0,7 (запись 0,7 читают нуль целых семь десятых = 0,12 (запись 0,12 читают ноль целых двенадцать сотых 2 = запись 2,973 читают две целых девятьсот семьдесят три тысячных = 4 = 4,3 (запись 4,3 читают четыре целых тридесятых запись читают ноль целых три сотых 2 = = 2,0508 (запись 2,0508 читают две целых пятьсот восемь десятитысячных»). Такую форму записи дробей называют десятичной. Дроби, записанные в такой форме, называют десятичными дробями. В записи десятичной дроби запятая отделяет целую часть числа от дробной. Считают, что целая часть правильной дроби равна 0. Запись дробной части десятичной дроби содержит столько цифр, сколько нулей в записи знаменателя соответствующей обыкновенной дроби. Например, 6 = 6,003; = 0,017; 3 = = В десятичной записи натурального числа единица младшего разряда враз меньше единицы соседнего старшего разряда. Таким же свойством обладает и запись десятичных дробей. Поэтому сразу после запятой идёт разряд десятых, далее — разряд сотых, затем — разряд тысячных и т. д 10 12 100 973 1000 43 10 3 10 3 100 508 10 000 3 1000 17 1000 527 1000 § 2. Дроби 37 Если к десятичной дроби справа приписать любое количество нулей, то получится дробь, равная данной. Например, 0,3 = 0,30 = Значение дроби, оканчивающейся нулями, не изменится, если последние нули в её записи отбросить. Из двух десятичных дробей больше тау которой целая часть больше. Чтобы сравнить две десятичные дроби с равными целыми частями и различным количеством цифр после запятой, надо с помощью приписывания нулей справа уравнять количество цифр в дробных частях, после чего сравнить полученные дроби. З ада ч а. Запишите несколько чисел, каждое из которых больше 2,35, но меньше Решение. Имеем 2,35 = 2,350; 2,36 = Следовательно, числами, удовлетворяющими условию, будут, например 2,351; 2,352; Учитывая, что 2,35 = 2,3500 и 2,36 = 2,3600, можем указать ещё несколько искомых чисел 2,3576; 2,3598 и т. д. Арифметические действия с десятичными дробями Чтобы сложить две десятичные дроби, надо уравнять в слагаемых (если в этом есть необходимость) количество цифр после запятой, записать слагаемые друг под другом так, чтобы разряд оказался под соответствующим разрядом, запятая под запятой, сложить полученные числа так, как складывают натуральные числа, а затем поставить в по Глава I. АРИФМЕТИКА. АЛГЕБРА лученной сумме запятую под запятыми в слагае мых. Чтобы из одной десятичной дроби вычесть другую, надо уравнять в уменьшаемом и вычитаемом (если в этом есть необходимость) количество цифр после запятой, записать вычитаемое под уменьшаемым так, чтобы разряд оказался под соответствующим разрядом, запятая под запятой, произвести вычитание так, как вычитают натуральные числа, а затем поставить в полученной разности запятую под запятыми в уменьшаемом и вычитаемом. Чтобы перемножить две десятичные дроби, надо перемножить их как натуральные числа, не обращая внимания на запятые, а в полученном произведении отделить запятой справа столько цифр, сколько их было после запятых в обоих множителях вместе 7, 6 0 1 1, 3 5 1 8, 9 5 + 0, 8 0 0 0, 5 9 3 0, 2 0 7 – 1, 2 , 3 4, 5 6 1 5 4 9 2 5,5 3 5 § 2. Дроби 39 Чтобы разделить десятичную дробь на десятичную, надо перенести в делимом ив делителе запятые вправо настолько цифр, сколько их содержится после запятой в делителе, и выполнить деление на натуральное число. Например, 0,4352 : 0,17 = 43,52 : 17. Теперь выполним деление уголком. При этом запятую в частном следует поставить непосредственно перед тем, как будет использована первая цифра после запятой в делимом. Нахождение части от целого и целого по его части Рассмотрим такую задачу. На приусадебном участке растёт 36 деревьев. Из них составляют вишни. Сколько вишен растёт на участке? Здесь надо найти число, если известно, что оно составляет от числа 36. Подобные задачи называют задачами на нахождение дроби от числа (части от целого). Чтобы найти дробь от числа, можно число умножить на эту дробь. Имеем: 36 = 4 7 = 28. Следовательно, в саду растёт 28 вишен 3, 5 2 1 7 3 4 2, 5 6 – 9 5 8 5 – 1 0 2 1 0 2 0 7 9 7 9 7 9 Глава I. АРИФМЕТИКА. АЛГЕБРА Рассмотрим такую задачу. На приусадебном участке растёт 28 вишен, что составляет количества всех деревьев, растущих в саду. Сколько всего деревьев растёт на участке? Здесь надо найти число, если известно, что этого числа равно 28. Подобные задачи называют задачами на нахождение числа по заданному значению его дроби (целого по его части). Чтобы найти число по заданному значению его дроби, можно данное значение разделить на эту дробь. Имеем: 28 : = 4 9 = 36. Следовательно, в саду растёт 36 деревьев. Представление обыкновенной дроби в виде десятичной. Бесконечные периодические десятичные дроби Несократимую дробь можно преобразовать в конечную десятичную только тогда, когда разложение знаменателя на простые множители не содержит чисел, отличных от и Чтобы преобразовать обыкновенную дробь в десятичную, можно её числитель разделить на знаменатель. Преобразуем, например, дробь в десятичную. Имеем: = 3 : 16. Теперь выполним деление уголком. Дроби 41 В силу сформулированного выше свойства дробь преобразовать в конечную десятичную нельзя. Выполним деление уголком числа 5 на число Это деление можно продолжать бесконечно. Частное имеет вид 0,454545... . В этой записи точки означают, что цифры 4 и 5, стоящие рядом, периодически повторяются бесконечно много раз. Число 0,454545... называют бесконечной периодической десятичной дробью, или периодической дробью. Полученную периодическую дробь принято записывать таки читать нуль целых и сорок пять в периоде. Группу цифр (45) называют периодом дроби 0,(45). 3 3 0 1 6 0 1 , 8 7 5 1 6 1 4 0 1 2 8 1 2 0 1 1 2 8 0 8 0 0 5 11 5 5 0 1 1 0 4 , 5 4 5 4 4 6 0 5 5 5 0 4 4 6 0 5 5 5 Глава I. АРИФМЕТИКА. АЛГЕБРА Можно записать = 0,454545 ... = При делении натурального числа на натуральное число можно получить один из трёх результатов: натуральное число, конечную десятичную дробь или бесконечную периодическую десятичную дробь. Округление чисел Для того чтобы десятичную дробь округлить до единиц, десятых, сотых и т. д, надо все следующие за этим разрядом цифры отбросить если при этом первая из отбрасываемых цифр равна 0, 1, 2, или 4, то последняя из оставшихся цифр не изменяется если же первая из отбрасываемых цифр равна, 6, 7, 8 или 9, то последняя из оставшихся цифр увеличивается на единицу. Например: 0,12 0,1 (округление до десятых (округление до сотых (округление до тысячных). При округлении натуральных чисел до какого либо разряда вместо всех следующих за ним цифр младших разрядов пишут нули. При этом если первая из цифр, следовавших за этим разрядом, была равной 0, 1, 2, 3 или 4, то цифра в данном разряде не изменяется если первая из цифр, следовавших за этим разрядом, была равной 5, 6, 7, 8 или 9, то цифра в данном разряде увеличивается на единицу. Например: 234 230 (округление до десятков (округление до сотен (округление до сотен 348 970 000 (округление до десятков тысяч. Дроби 43 Округлять можно и бесконечные периодические десятичные дроби, отсекая в определенном месте «бесконечный хвост». Например: 0,(6) = 0,6|66... 0,7 (округление до десятых) = 1,34|44... 1,34 (округление до сотых) = 2,171|717... 2,172 (округление доты сячных). Примеры заданий № Часть 1 1. Деревянное бревно распилили на два бревна, длины которых относятся как 3 : 7. Какую часть исходного бревна составляет меньшее из полученных брёвен? 2. Укажите неверное равенство) = 3) = 2) = 4) = 3. Укажите среди данных дробей наибольшую) 2) 3) 4) 4. Какое наибольшее натуральное число удовлетворяет неравенству n < ? 5. В корзинке лежали яблоки и груши. Съели половину яблоки треть груш. Какое из утверждений верно) осталась половина фруктов) осталась треть фруктов) осталось больше половины фруктов) осталось меньше половины фруктов 8 9 24 42 49 6 7 72 90 8 9 4 5 16 20 7 8 66 77 555 666 4444 5555 94 15 Глава I. АРИФМЕТИКА. АЛГЕБРА. Укажите верное неравенство) 2) 0,(6) > 3) 4) 7. Найдите значение выражения 2 + 3 · 18. 8. Найдите значение выражения · 9 . 9. Найдите значение выражения 4 · 1 + 1 : 10. Вычислите значение выражения – 3 + 1 – 2 · 2 11. Бассейн можно наполнить зач, а слить из него воду — зач. Сколько часов потребуется на наполнение бассейна, если не закрывать сливное отверстие. Расстояние между двумя городами легковой автомобиль проезжает зач, а грузовой — за 3 ч. Через сколько часов после начала движения они встретятся, если будут выезжать одновременно из этих городов навстречу друг другу. Первый рабочий изготавливает одну деталь за мина второй рабочий такую же деталь — за мин. За сколько минут они вместе изготовят таких деталей. Теплоход проходит расстояние между двумя пристанями по течению реки зач, а против течения зач. За сколько часов проплывёт это расстояние плот. В таблице приведены нормативы побегу нам для учениц 9 класса. Оцените результат ученицы, пробежавшей эту дистанцию за 9,65 с 24 2 3 3 7 3 4 5 6 19 21 3 2 1 4 2 3 13 19 15 38 1 2 1 2 23 25 3 20 2 7 1 3 1 9 10 21 13 25 § 2. Дроби) оценка «5» 3) оценка «3» 2) оценка «4» 4) норматив не выполнен. Чему равна половина одной сотой. Найдите значение выражения + 18. Чему равна сумма 3,4 т + 700 кг Ответ запишите в тоннах. Масса полного ведра с водой равна 12,5 кг. Когда из ведра вылили половину воды, то масса ведра с оставшейся водой стала равной 6,5 кг. Сколько килограммов составляет масса пустого ведра. Какое наименьшее количество банок ёмкостью 0,3 л требуется, чтобы разлить в них 5 л варенья. Найдите значение выражения 22. Найдите значение выражения 23. Найдите значение выражения 0,2432 : 0,4 – – 0,18 0,02. 24. Грузовой автомобиль за один рейс может перевезти не болеет груза. Масса каждого контейнера, в который упакован груз, — 400 кг. Какое наименьшее количество автомобилей необходимо, чтобы перевезти 5,6 т груза. У мальчика было 56 тетрадей, из них составляли тетради в клеточку. Сколько у него было тетрадей в клеточку? Оценка «5» «4» «3» Время, с 10,0 10,5 4 100 7 1000 27 22 5 0 6 0 8 1 1 9 4 7 Глава I. АРИФМЕТИКА. АЛГЕБРА. Яблони составляют деревьев, растущих в саду, вишни — оставшихся деревьев, а груши остальные. Каких деревьев в саду наибольшее количество) яблонь) груш) вишен) определить невозможно. Пётр поймал 6 рыб и ещё улова. Сколько рыб поймал Пётр? 28. Масса детали на кг больше своей массы. Сколько килограммов составляет масса детали. В бочку налили 28 л воды, что составляете объма. Сколько литров воды помещается в бочку. За первый день трёхдневной гонки велосипедисты проехали всего маршрута, за второй — всего маршрута, аза третий — 90 км. Сколько километров проехали велосипедисты за 3 дня. За 2 дня рабочий изготовил некоторое количество деталей. За первый день он изготовил всех деталей, аза второй — на 9 деталей меньше, чем за первый. Сколько деталей изготовил рабочий за 2 дня. Округлите число 18,486 до десятых. Высоту ящика измерили в миллиметрах. Округлив результат до сантиметров, получили 15 см. Какой может быть высота ящика в миллиметрах) 156 мм) 146 мм) 155 мм) 144 мм 24 9 17 3 5 5 6 5 6 4 7 4 15 2 5 9 16 § 2. Дроби. Какую изданных дробей нельзя записать в виде конечной десятичной дроби) 2) 3) 4) 35. Какое из следующих чисел заключено между числами и ? 1) 1,1 2) 1,2 3) 1,3 4) 1,4 2.8. Проценты На практике люди часто пользуются сотыми частями величин. Например, сотая часть гектара — 1 ар сотка, сотая часть века — 1 год, сотая часть рубля копейка, сотая часть метра — 1 сантиметр. Для сотой части величины или числа придумали специальное название — один процент (от латинского настои обозначение Чтобы найти 1% от величины, надое значение разделить на Например, 1% от 300 кг равен 3 кг. Если 1% составляет величины, то, например составляют величины. Так, 3% от 1 км составляют километра, тем величины составляют величины, те величины — это вся сама величина. Любое количество процентов можно записать в виде десятичной дроби или натурального числа. Для этого нужно число, стоящее перед знаком разделить на 100. 1 2 1 4 1 6 1 16 15 13 14 11 1 100 3 100 3 100 100 100 Глава I. АРИФМЕТИКА. АЛГЕБРА Например, 23% = 0,23; 80% = 0,80 = 0,8; 300% = Также можно выполнить обратное преобразование, те. записать десятичную дробь или натуральное число в процентах. Для этого нужно число умножить на 100 и к результату приписать знак Например, 1,4 = 140%, 0,02 = 2%, 7 = 700%. 2.9. Нахождение процентов от величины и величины по её процентам З ада ч а. Клубника содержит в среднем 6% сахара. Сколько килограммов сахара содержится в кг клубники? Р е ш е ни е. Запишем 6% в виде десятичной дроби. Тогда 0,06 = 0,9 (кг) — количество сахара в 15 кг клубники. О т в е т 0,9 кг. Решив эту задачу, мы выяснили, сколько составляют от числа 15. Поэтому такую задачу называют задачей на нахождение процентов от числа. Чтобы найти проценты от числа, можно представить проценты в виде дроби и умножить число на эту дробь. З ада ч а 2. В бочку налили 84 л воды. Каков объём этой бочки, если оказалось, что заполнено её объёма? Р е ш е ни е. Запишем 70% в виде десятичной дроби 70% = 0,7. Следовательно, 84 л составляет объёма всей бочки. Имеем : 0,7 = 120 (л) — объём бочки. О т в е т 120 л § 2. Дроби 49 В этой задаче мы нашли число 120, зная, что число составляет от искомого числа 70%. Поэтому такую задачу называют задачей на нахождение числа по его процентам. Чтобы найти число по его процентам, надо представить проценты в виде дроби и разделить значение процентов на эту дробь. Отношение. Процентное отношение Частное двух чисел a и b, отличных от нуля, называют отношением чисел a и b или отношением числа a к числу Например : 4 — отношение числа 16 к числу 4; : — отношение числа к числу Отношение чисел a и b можно записать двумя способами или a : Основное свойство отношения выражается следующим правилом отношение не изменится, если его члены умножить или разделить на одно и тоже число, неравное нулю. Например, = = ; : = · 9 : · 9 = 6 : 7; 1 : 0,25 = 1 · 4 : (0,25 · 4) = 6 : Эти примеры иллюстрируют следующее отношение дробных чисел можно заменить отношением натуральных чисел 3 1 7 2 3 1 7 a b 1 2 2 5 1 2 10 2 5 10 12 25 2 3 7 9 2 3 7 9 1 2 1 2 Глава I. АРИФМЕТИКА. АЛГЕБРА Отношение чисел a и b показывает, во сколько раз число a больше числа b, или какую часть число составляет от числа Примеры использования отношений: скорость — отношение длины пройденного пути ко времени, за которое пройден этот путь; цена — отношение стоимости товара к количеству единиц его измерения (килограммов, литров, метров, коробок и др.); плотность — отношение массы вещества к её объёму; производительность труда — отношение объ ёма выполненной работы ко времени, за которое была выполнена эта работа. Процентное отношение двух чисел — это их отношение, выраженное в процентах. Оно показывает, сколько процентов одно число составляет от другого. Например, если в классе учатся 12 девочек и мальчиков, то процентное отношение количества девочек к количеству мальчиков равно · 100 = = 60 (%). Оно показывает, что количество девочек составляет 60% от количества мальчиков. Чтобы найти процентное отношение двух чисел, надо их отношение умножить на 100 икре зультату дописать знак процента. Пропорции Равенство двух отношений называют пропорцией. В буквенном виде пропорцию можно записать так b = c : d или = . 12 20 a b c d § 2. Дроби 51 Приведённые записи читают так отношение a к равно отношению c кили относится к b как относится к Числа a и d называют крайними членами пропорции, а числа b и c — средними членами пропор ции. Произведение крайних членов пропорции равно произведению её средних членов. Это означает, что если = , то ad = Это свойство называют основным свойством про порции. Верно и такое утверждение. Еслиa, b, и — числа,отличные от нуля,и ad = то отношения и равны и могут образовать пропорцию = Задача. Сколько стоит 3,2 м ткани, если зам этой ткани заплатили 630 р.? Р е ш е ни е. Пусть 3,2 м ткани стоят x р. Запишем кратко условие задачи в следующем виде м – x р м – 630 р. Отношения и равны, поскольку каждое из них показывает, сколько стоит 1 м данной ткани. Тогда = Отсюда x = = = 16 · 30 = Ответ р 2 630 4 2 x 3 2 630 4 2 3 2 630 4 2 3 2 30 0 2 Глава I. АРИФМЕТИКА. АЛГЕБРА. Прямая и обратная пропорциональные зависимости Две переменные величины называют прямо пропорциональными, если при увеличении (уменьшении) одной из них в несколько раз другая увеличивается (уменьшается) во столько же раз. Так, величины P периметр квадрата и a длина его стороны прямо пропорциональны. Можно также сказать, что величина P прямо пропорциональна величине a или зависимость между величинами и a является прямой пропорциональностью. Если две переменные величины прямо пропорциональны, то отношение соответствующих значений этих величин равно одному и тому же для данных величин числу. Так, в рассмотренном примере для величин P и это число равно Две переменные величины называют обратно пропорциональными, если при увеличении (уменьшении) одной из этих величин в несколько раз другая уменьшается (увеличивается) во столько же раз. Пусть стороны прямоугольника равны a см и b см, а его площадь — 24 см. Величины a и b обратно пропорциональны. Действительно, если одну из сторон прямоугольника увеличить (уменьшить) в несколько раз, то чтобы площадь его не изменилась, другую сторону надо уменьшить (увеличить) во столько же раз. Если две переменные величины обратно пропорциональны, то произведение соответствующих значений этих величин равно одному и тому же для данных величин числу § 2. Дроби 53 З ада ч а. Для перевозки груза необходимо 20 самосвалов грузоподъёмностью 3 т. Сколько нужно самосвалов грузоподъёмностью 5 т, чтобы перевезти этот груз? Р е ш е ни е. Во сколько раз увеличивается грузо подъёмность одного самосвала, во столько же раз может быть уменьшено их количество при условии, что масса перевозимого груза не изменяется. Поэтому грузоподъёмность одного самосвала и количество самосвалов являются обратно пропорциональными величинами. Грузоподъём ность одного самосвала увеличилась в 5 : 3 = раза. Тогда количество самосвалов должно уменьшиться во столько же раз, те. в раза. Имеем : = 20 = 12 (самосвалов). О т в е т 12 самосвалов. Примеры заданий № Часть 1 1. На представлении в цирке всех зрителей составляли дети. Сколько процентов всех зрителей составляли дети. После уценки новая цена шкафа составила старой. Насколько процентов уменьшилась цена шкафа в результате уценки. В супермаркете проводится акция. Коробка конфет некоторого вида стоит 360 р. При покупке двух таких коробок на вторую коробку предо 3 5 3 5 3 3 5 16 25 Глава I. АРИФМЕТИКА. АЛГЕБРА ставляется скидка в размере 45%. Сколько рублей придётся заплатить за покупку двух коробок конфет в период действия акции. Положительное число a увеличили на 500%. Во сколько раз полученное число больше числа a? 5. Банк начисляет на срочный вклад 8% годовых. Вкладчик положил на счёт 14 000 р. Сколько рублей будет на этом счёте через год, если никаких операций, кроме начисления процентов, со счётом проводиться не будет. В сплаве меди соловом составляет медь. Сколько килограммов меди содержит отливок такого сплава массой 18 кг. Стоимость проезда в электропоезде от станции до станции B составляет 125 р. Школьникам предоставляется скидка 50%. Сколько рублей будет стоить проезд для группы, состоящей из школьников и 2 учителей. В саду растут яблони и вишни, причём яблони составляют 52% всех деревьев. Вишен растёт на деревьев меньше, чем яблонь. Сколько деревьев растёт в саду. Товар на распродаже уценили на 16%, при этом он стал стоить 1260 р. Сколько рублей стоил товар до распродажи. Цену товара дважды повышали на 20%. Насколько процентов увеличилась его цена по сравнению с первоначальной. После двух последовательных снижений цены, первое из которых было на 20%, а второе — на, стул стал стоить 1080 р. Сколько рублей составляла первоначальная цена стула. Цену на некоторый товар сначала снизили на, затем ещё на 25%, а через некоторое вре § 2. Дроби 55 мя повысили на 20%. Как изменилась первоначальная цена товара) уменьшилась на 15% 2) увеличилась на 10% 3) уменьшилась на 19% 4) увеличилась на 12% 13. Автобусы составляют 60% всех единиц транспорта, имеющегося в автопарке, грузовые автомобили остальных единиц транспорта. Ещё в автопарке имеется 18 легковых автомобилей. Сколько всего единиц транспорта в автопарке. Единица измерения какой величины является отношением единиц измерения двух других величин) масса) длина) скорость) время. Для приготовления тефтелей взяли мясной фарш ирис в отношении 13 : 7. Сколько процентов массы тефтелей составляет масса риса. Товар стоил 140 р. Через некоторое время его цена увеличилась нар. Насколько процентов повысилась цена товара. Сколько процентов часа составляют 24 мин. Каково процентное содержание соли в растворе, если 400 г раствора содержат 36 г соли. К 8 кг 60 процентного раствора соли долили 4 кг воды. Каким после этого стало процентное содержание соли в растворе. Чему равен неизвестный член пропорции = ? x 18 13 45 Глава I. АРИФМЕТИКА. АЛГЕБРА. Решите уравнение = 22. Из 80 кг свежих слив получают 28 кг сушёных. Сколько килограммов свежих слив надо взять, чтобы получить 42 кг сушёных? 23. Расстояние между пунктами A и B на местности равно 420 км, а на карте — 5,6 см. Сколько километров составляет расстояние между пунктами и D на местности, если расстояние между ними на этой карте равно 3,6 см. За некоторое время рабочий изготовил 36 деталей. Сколько деталей он изготовит за время, в раза большее, если будет работать стой же производительностью труда. Известно, что 5 кг яблок стоят столько, сколько кг груш. Сколько килограммов груш можно купить вместо 35 кг яблок. Мотоциклист проезжает расстояние между двумя городами зач с определённой скоростью. За сколько часов он проедет это расстояние, если увеличит свою скорость в 1,4 раза. Маша идёт от дома до школы 9 мина её брат Кирилл добегает до школы и без остановки возвращается назад за 12 мин. Во сколько раз скорость, с которой бегает Кирилл, больше скорости, с которой ходит Маша) в раза) в раза) в раза) в раза 11 9 2x 1 3 2 7 4 5 4 4 3 § 3. Рациональные числа 3. Рациональные числа. Целые числа. Рациональные числа Все натуральные числа, противоположные им числа и число 0 называют целыми числами. Например, –77, 0, 12 — целые числа, а ; 2,6; – не являются целыми, их называют дробными числами. Целые и дробные числа вместе образуют рациональные числа. Например, 1; 2; –10; ; 0; –2,9; – ; 5,(34) — рациональные числа. Каждое рациональное число можно представить в виде отношения , где m — целое число, а n — натуральное. Например, 5 = , –3 = , 0,2 = , 0 = , –5,3 Каждое рациональное число можно представить в виде конечной десятичной дроби или в виде бесконечной периодической десятичной дроби. Для дроби такое представление можно получить, выполнив деление числа m на число Например, = 0,625, = 0,454545... = 0,(45). 1 3 18 5 1 2 3 2 m n 5 1 3 1 1 5 0 7 53 10 m n 5 8 5 11 Глава I. АРИФМЕТИКА. АЛГЕБРА Число записано в виде конечной десятичной дроби, а число — в виде бесконечной периодической десятичной дроби. Любую конечную десятичную дробь и любое целое число можно представить в виде бесконечной периодической десятичной дроби. Например, 0,625 = 0,6250000... = 0,625(0); 2 = 2,000... = Следовательно, каждое рациональное число можно представить в виде бесконечной периодической десятичной дроби. Справедливо и такое утверждение каждая бесконечная периодическая десятичная дробь является записью некоторого рационального числа. Координатная прямая Прямую, на которой выбрали начало отсчёта, единичный отрезок и направление, называют координатной прямой. Например, на рисунке 3.1 изображена координатная прямая с началом отсчёта в точке О и единичным отрезком ОМ. На рисунке 3.1 точка N изображает число –1, которое называют координатой точки N и записывают. Аналогично записывают O (0), M (1), K (–2), 5 8 5 11 –4 –3 –2,5 –2 –1 0 1 B A F E D K N O Рис. 3.1 § 3. Рациональные числа, E (–3), F (–4). Луч OA задаёт положительное направление на координатной прямой АВ, а луч OB — отрицательное направление. Положительное направление указывают стрелкой. Модуль числа. Сравнение рациональных чисел Модулем числа a называют расстояние от точки, изображающей число a на координатной прямой, до начала отсчёта. Модуль числа a обозначают так | a Из определения модуля следует, что a | = Следовательно, чтобы найти модуль числа (или, как ещё говорят, раскрыть модуль, надо знать знак числа. Например, | – 3 | = – 3, так как > 3. | – 4 | = 4 – , так как < 4. | x 2 + 1 | = x 2 + 1, так как x 2 + 1 > 0 при любом значении Задача. Раскройте модуль | 2x – 1 Решение. Из определения модуля числа следует, что 2x – 1| = Свойства модуля) модуль произвольного числа a принимает только неотрицательные значения, те, если a 0, –a, если a < 0. 2x – 1, если x , 1 – 2x, если x < 1 2 1 2 Глава I. АРИФМЕТИКА. АЛГЕБРА) модули противоположных чисел равны, те) если | a | = | b |, то a = b или a = –b; 4) если | a | = b, то b 0 и a = b или a = –b; 5) если b 0 и a = b или a = –b, то | a | = b; 6) | ab | = | a | | b|; 7) | a + b | | a | + | Расстояние между точками A (a) и B (b) координатной прямой равно | a – b | (рис. На координатной прямой из двух чисел большее число расположено правее меньшего. Например, точка A (2) расположена правее, чем точка B (–7) (рис. 3.3). Поэтому 2 > Любое положительное число больше любого отрицательного числа. Из двух отрицательных чисел меньше то, модуль которого больше. Любое отрицательное число меньше нуля, любое положительное число больше нуля. Рис. 3.2 a b B A |a – b| a < b b a A B |a – b| a > Рис. 3.3 –7 –1 0 1 2 B A § 3. Рациональные числа. Арифметические действия с рациональными числами Чтобы сложить два числа с разными знаками, надо: 1) найти модули слагаемых) из большего модуля вычесть меньший модуль) перед полученным числом поставить знак слагаемого с бoльшим модулем. Например, 6 + (–2) = 4; –6 + 3,5 = –2,5; –2,5 + 6 = = Чтобы сложить два отрицательных числа, надо) найти модули слагаемых) сложить модули слагаемых) перед полученным числом поставить знак Например, –3,5 + (–1) = –4,5; –5 + (–3,5) = Сумма двух противоположных чисел равна нулю. Например, –3 + 3 = 0; 3 + (–3) = Чтобы найти разность двух чисел, надо к уменьшаемому прибавить число, противоположное вычитаемому. Например, –9 – 11 = –9 + (–11) = –20; –3,7 – – (–2,2) = –3,7 + 2,2 = Для любых рациональных чисел a, b и c справедливы равенства + b = b + a — переместительное свойство сложения сочетательное свойство сложения. Например, –2,5 + (–3) = –5,5 и –3 + (–2,5) = –5,5; (–2 + 1,7) + 1,3 = –0,3 + 1,3 = 1 и –2 + (1,7 + 1,3) = = –2 + 3 = Чтобы умножить два числа с разными знаками, надо умножить их модули и перед полученным произведением поставить знак «–». Глава I. АРИФМЕТИКА. АЛГЕБРА Чтобы умножить два отрицательных числа, надо умножить их модули. Например, –1,4 · (–5) = | –1,4 | | –5 | = 1,4 5 = Чтобы разделить два числа с разными знаками, надо разделить модуль делимого на модуль делителя и поставить перед полученным числом знак Например, : Чтобы разделить два отрицательных числа, надо разделить модуль делимого на модуль делителя. Например, –0,16 : (–0,4) = Если числа a и b имеют одинаковые знаки, то произведение ab положительно. И наоборот, если произведение ab положительно, то числа a и b имеют одинаковые знаки. Если числа a и b имеют разные знаки, то произведение отрицательно. И наоборот, если произведение отрицательно, то числа a и b имеют разные знаки. Если хотя бы одно из чисел a или b равно нулю, то произведение ab равно нулю. И наоборот, если произведение ab равно нулю, то хотя бы одно из чисел a или b равно нулю. Примеры заданий № Часть 1 1. Укажите неверное утверждение) –7 — целое число) –7 — неположительное число) –7 — рациональное число) –7 — неотрицательное число 3 2 3 1 2 § 3. Рациональные числа. На координатной прямой отметили число рис. Какое число обозначили буквой a? 1) –1 2) –1 3) –2 4) –2 3. На координатной прямой (рис. 3.5) точки A, B, и D соответствуют числам –0,46; –0,23; Какая точка соответствует числу –0,205? 1) A 2) B 3) C 4) D 4. Укажите пару противоположных чисел) 5 и 2) 5 и 0,5 3) 5 и –5 4) 5 и – 5. Сколько целых чисел расположено на координатной прямой между числами –72 и 52? 6. Какое из чисел имеет наименьший модуль) 0 2) –1 3) 0,001 4) –0,0001 7. Чему равно значение выражения | –8 | + | 8 | ? 8. Число a меньше своего модуля. Укажите верное утверждение) a — неотрицательное число) a — положительное число) a = 0 4) a — отрицательное число Рис. 3.4 –3 a –1 2 3 5 6 Рис. 3.5 1 5 1 5 Глава I. АРИФМЕТИКА. АЛГЕБРА. Решите уравнение | | x | – 8 | = 2. Если уравнение имеет более одного корня, запишите в ответ произведение корней. Укажите верное неравенство) 3,1 < –3,8 3) –6,4 > –6,5 2) –1,5 < –2 4) –2,9 > –2,7 11. Найдите сумму всех целых чисел, расположенных на координатной прямой между числами и 40,2. 12. Найдите значение выражения 2,64 + (–7,36) + + (–4,64) + 7,36. 13. Найдите значение выражения –7,2 – a, если –3 . 14. На координатной прямой отмечено число рис. Какое из приведённых утверждений является неверным) 3 – a > 0 3) a – 4 > 0 2) a – 5 < 0 4) –2 + a > 0 15. На координатной прямой отмечены числа a, b ирис. Какая из разностей a – c, b – a, c – b положительна) ни одна из них 4 0 1 Рис. Рис. 3.7 a c b 0 § 3. Рациональные числа. Из последовательности чисел –9, –7, – 6, 2, 3, выбрали два числа и нашли их произведение. Какое наибольшее значение может принимать это произведение. На координатной прямой отмечены числа a ирис. Какое из приведённых утверждений для этих чисел является верным) ab > 0 2) a 2 b 3 > 0 3) a – b > 0 4) a + b > 0 18. Найдите значение выражения 0,8 · (–10) 2 – 90. 19. Найдите значение выражения · (–7) – 20 · . 20. Найдите значение выражения · 21. Известно, что a > 0, c < 0. Сравните с нулём значение выражения a 3 c 4 1) a 3 c 4 < 0 3) a 3 c 4 = 0 2) a 3 c 4 > 0 4) сравнить невозможно. Решите уравнение x (x + 3,4)(1,4 – x) = 0. Если уравнение имеет более одного корня, запишите в ответ его меньший корень. Найдите значение выражения –0,5a 20b, если = –2 , b = Рис. 3.8 b a 0 1 7 2 1 7 8 19 17 38 3 4 5 1 3 1 14 Глава I. АРИФМЕТИКА. АЛГЕБРА. Найдите значение выражения · 6,3 – 6,3 · + 6,3 · 1 . 25. Значение какого из выражений будет наибольшим, если a — отрицательное число) 3 – a 2) a – 3 3) 3a 4) 3 : a 26. Известно, что число a — положительное, а число отрицательное. Значение какого изданных выражений наибольшее) 2) 3) 4) 27. Вычислите значение выражения 4,2 : (–0,6) + 1,2. 28. Вычислите значение выражения – 4,24) : (–16). 29. Найдите значение выражения – 3 · –11 – (–3,6) :  перейти в каталог файлов | Образовательный портал Как узнать результаты егэ Стихи про летний лагерь 3агадки для детей |