ОГЭ 2018 Математика Новый полный справочник. Справочник для подготовки к огэ А. Г. Мерзляк, В. Б. Полонский

Глава I. АРИФМЕТИКА. АЛГЕБРА. Постройте график функции y = и
определите, при каких значениях k прямая y = не имеет с графиком ни одной общей точки. Квадратичная функция и её свойства
Функцию, которую можно задать формулой вида ax
2
+ bx + c, где x — независимая переменная, b и c — некоторые числа, причём a
0, называют
квадратичной.
Рассмотрим частный случай квадратичной функции, когда b = c = 0. Имеем y = На рисунке 8.27 изображены графики функций ax
2
при некоторых значениях a. Каждый из этих графиков называют параболой. Точка (0; является вершиной каждой из этих парабол. Вершина параболы делите на две симметричных относительно оси ординат фигуры. Эти фигуры называют ветвями параболы.
Если a > 0, то ветви параболы направлены вверх,
если a < 0, то ветви параболы направлены вниз.
Графиком квадратичной функции y = ax
2
+ bx + является парабола, равная параболе y = Вершина параболы y = ax
2
+ bx + c расположена в точке с абсциссой x = Ветви параболы y = ax
2
+ bx + c направлены также, как и ветви параболы y = ax
2
: если a > 0, то ветви параболы направлены вверх, если a < 0, то ветви параболы направлены вниз x
2
x
1 5 x
2
b
2a

§ 8. Функции
165
Количество нулей квадратичной функции определяется количеством корней квадратного трёх члена ax
2
+ bx + c: если D < 0, то квадратичная функция нулей не имеет если D = 0, то квадратичная функция имеет один нуль если D > 0, то квадратичная функция имеет два нуля 1
x
y
1
y
= 3
x
2
y
=
x
2
y
= 1,5
x
2
y
= 0,1
x
2
y
= –
1
x
2 4
–
y
= –3
x
2
y
= –
x
2
y
= –1,5
x
2
y
= –0,1
x
2
y
=
1
x
2 Рис. 8.27

Глава I. АРИФМЕТИКА. АЛГЕБРА
Общее представление о графике квадратичной функции дают координаты вершины параболы и направление её ветвей. Это представление будет тем полнее, чем больше точек, принадлежащих графику, мы будем знать.
График квадратичной функции можно построить по такой схеме) найти абсциссу вершины параболы по формуле) найти ординату вершины параболы по формуле, где D — дискриминант квадратного трёхчлена ax
2
+ bx + c, и отметить на координатной плоскости вершину параболы) определить направление ветвей параболы) найти координаты ещё нескольких точек, принадлежащих искомому графику (в частности, координаты точек пересечения параболы с осью y и с осью х, если они существуют) отметить на координатной плоскости найденные точки и соединить их плавной линией.
З ада ч а. Постройте график функции f (x) = x
2
+
+ 4x – 5. Используя график функции, найдите область её значений, промежутки возрастания и убывания, промежутки знакопостоянства, наименьшее и наибольшее значения функции.
1
Формулу y
0
= –
запоминать необязательно. Достаточно вычислить значение функции y = ax
2
+ bx + c в точке с абсциссой x
0
= –
b
2a
4ac
b
2 4a
D
4a
D
4a
b
2a

§ 8. Функции
167
Р е ш е ни е. Данная функция является квадратичной функцией y = ax
2
+ bx + c, где a = 1, b = 4,
c
= –5. Её графиком является парабола. Поскольку, то ветви параболы направлены вверх.
Абсцисса вершины параболы x
0
= –
= – = ордината вершины y
0
= f(x
0
) = f(–2) = 4 – 8 – 5 =
= Следовательно, вершина параболы — точка (–2; –9).
Найдём точки пересечения параболы с осью абсцисс Следовательно, парабола пересекает ось абсцисс в точках (–5; 0) и (1; 0).
Найдём точку пересечения параболы с осью ординат. Парабола пересекает ось ординат в точке (0; Отметим найденные четыре точки параболы на координатной плоскости (рис. Теперь понятно, что удобно найти значения данной функции в точках –1, –3, –4 и, отметив соответствующие точки на координатной плоскости,
провести через все найденные точки график данной функции.
Имеем: f(–3) = f(–1) = –8; f(–4) = f(0) = Искомый график изображён на рисунке Область значений функции E(f) = [–9; + Функция возрастает на промежутке [–2; + ) и убывает на промежутке (– ; –2].
f
(x) > 0 при x < –5 или x > 1; f(x) < 0 при –5 < x < Наименьшее значение функции равно –9, наибольшего значения не существует 2

Глава I. АРИФМЕТИКА. АЛГЕБРА
Рис. Рис. 8.29 0
1
x
y
1
–5
–2
–5
–9 0
1
x
y
1
–5
–2
–5
–9

Глава I. АРИФМЕТИКА. АЛГЕБРА. На рисунке 8.36 изображён график квадратичной функции дискриминант квадратного трёх члена ax
2
+ bx + c. Укажите верное утверждение) a > 0, c > 0, D > 0 2) a < 0, c < 0, D > 0 3) a > 0, c > 0, D < 0 4) a < 0, c < 0, D < 0
5. На рисунках изображены графики квадратичных функций y = ax
2
+ bx + c. Установите соответствие между графиками функций и знаками коэффициентов a и c.
ГРАФИКИ
КОЭФФИЦИЕНТЫ
1) a > 0, c > 0 2) a > 0, c < 0 3) a < 0, c > В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер:
x
0
y
Рис. 8.36
x
0
y
x
0
y
x
0
y
А)
Б)
В)
A
Б
В