ОГЭ 2018 Математика Новый полный справочник. Справочник для подготовки к огэ А. Г. Мерзляк, В. Б. Полонский

Глава I. АРИФМЕТИКА. АЛГЕБРА 9. Уравнения с двумя переменными. Решение уравнения с двумя переменными. График уравнения
Выражения x
2
+ y
2
, ,
(x – 1)(y + 2), x – являются примерами выражений с двумя переменными и Выражение с переменными x и y обозначают так y) (читают эф от икс и игрек»).
Равенство F (x; y) = 0 является уравнением с двумя переменными x и Например, если F (x; y) = ax + by + c, то равенство является линейным уравнением с двумя переменными.
Пару чисел (x
0
; y
0
) называют решением уравнения F (x; y) = 0, если F (x
0
; y
0
) = 0 — правильное числовое равенство.
Решить уравнение F (x; y) = 0 — это значит найти множество его решений.
З ада ч а. Решите уравнение x
2
+ y
2
+ 2 = 2x – Решение. Имеем – 2x + y
2
+ 2y + 2 = 0;
x
2
– 2x + 1 + y
2
+ 2y + 1 = 0;
(x – 1)
2
+ (y + 1)
2
= Поскольку (x – 1)
2 0 и (y + 1)
2 0, толевая часть уравнения обращается в нуль только при одновременном выполнении условий x – 1 = 0 и y + 1 = Отсюда пара чисел (1; –1) — единственное решение данного уравнения.
О т в е т (1; –1).
x
y
x
y

Глава I. АРИФМЕТИКА. АЛГЕБРА) координаты любой точки, принадлежащей графику, — это пара чисел, которая является решением данного уравнения. Системы уравнений с двумя переменными. Решение систем уравнений графическим методом
Если требуется найти всеобщие решения нескольких уравнений, то говорят, что нужно решить
систему уравнений.
Систему уравнений записывают с помощью фигурной скобки.
Так, запись является примером системы двух уравнений с двумя переменными.
Решением системы уравнений с двумя переменными называют пару значений переменных, обращающую каждое уравнение в верное равенство 1
1
y
x
0 Рис. Рис. 9.4
x
2
+ y
2
= 4,
y
= x
2
– 4

Глава I. АРИФМЕТИКА. АЛГЕБРА
Второе уравнение равносильно такому y = Графиком этого уравнения является гипербола.
Изобразим окружность и гиперболу на одной координатной плоскости (рис. 9.8). Мы видим,
что графики пересекаются в четырёх точках.
Следовательно, данная система имеет четыре решения.
О т в е т 4 решения. Методы решения систем двух уравнений
с двумя переменными
В пункте 9.2 мы решили графическим методом систему уравнений Решим эту систему методом подстановки.
Выразим переменную y через переменную x во втором уравнении системы x – Подставим в первое уравнение вместо y выражение Получили уравнение с одной переменной. Упростив его, получим квадратное уравнение x
2
– 5x + 4 = Отсюда x
1
= 1, x
2
= Значения y, которые соответствуют найденным значениям x, найдём из уравнения y = x – 1. Имеем = 1 – 1 = 0, y
2
= 4 – 1 = Ответ
§ 9. Уравнения с двумя переменными
191
В пункте 9.2 мы графическим методом определили количество решений системы уравнений
Решим эту систему методом сложения.
Умножим второе уравнение рассматриваемой системы на Сложим почленно левые и правые части уравнений.
Получаем: x
2
+ y
2
+ 2xy = 16. Отсюда (x + y)
2
= 16;
x
+ y = 4 или x + y = Для решения данной системы достаточно решить две более простые системы.
1)
Решив второе уравнение этой системы, получим =
, x
2
= Тогда y
1
=
,
y
2
= Решив второе уравнение этой системы, получим =
, x
4
= Тогда y
3
=
,
y
4
=
x
2
+ y
2
= 9,
xy
= .
7 2
x
2
+ y
2
= 9,
2xy = 7.
x
+ y = 4,
2xy = 7;
y
= 4 – x,
2x(4 – x) = 7;
y
= 4 – x,
2x
2
– 8x + 7 = 0.
4 2
2 4
2 2
4 2
2 4
2 2
x
+ y = –4,
2xy = 7;
y
= –4 – x,
2x(–4 – x) = 7;
y
= –4 – x,
2x
2
+ 8x + 7 = 0.
4 2
2 4
2 2
4 2
2 4
2 2

Глава I. АРИФМЕТИКА. АЛГЕБРА
О т в е т , ; ,
; , ; В пункте 7.7 был рассмотрен метод замены переменных при решении уравнений. Этот метод применяется и для решения целого ряда систем уравне ний.
З ада ч а 1. Решите систему уравнений
Р е ш е ни е. Пусть
= t. Тогда
= Теперь первое уравнение системы можно записать так + = Отсюда 2t
2
– 5t + 2 = 0; t
1
= 2, t
2
= Для решения исходной системы достаточно решить две более простые системы 2
2 4
2 2
4 2
2 4
2 2
4 2
2 4
2 2
4 2
2 4
2 2
+
= ,
x
2
+ y
2
= 10.
x
y
x
y
x
y
x
y
5 2
x
y
x
y
x
y
x
y
1
t
1
t
5 2
1 2
= 2,
x
2
+ y
2
= 10;
x
y
x
y
x
+ y = 2x – 2y,
x
2
+ y
2
= 10;
x
= 3y,
10y
2
= 10.
= ,
x
2
+ y
2
= 10;
x
y
x
y
1 2
2x + 2y = x – y,
x
2
+ y
2
= 10;
x
= –3y,
10y
2
= 10.

§ 9. Уравнения с двумя переменными
193
О т в е т (3; 1), (–3; –1), (–3; 1), (3; Задача. Решите систему уравнений
Р е ш е ни е. Заметим, что данная система не изменится, если заменить x на y, а y на x. В таких случаях может оказаться эффективной замена+ y = u, xy = Перепишем данную систему так:
Выполним указанную замену. Получим систему:
Её можно решить методом подстановки (сделайте это самостоятельно. Получаем:
или
Остаётся решить две системы:
и
Каждую из них можно решить методом подстановки. Однако здесь удобнее воспользоваться теоремой, обратной теореме Виета. Так, для
Из второго уравнения получаем = 1, y
2
= Тогда x
1
= 3, x
2
= Из второго уравнения получаем = 1, y
4
= Тогда x
3
= –3, x
4
= 3.
2x + 2y + xy = 8,
x
2
+ y
2
+ 3x + 3y = 14.
2(x + y) + xy = 8,
(x + y)
2
– 2xy + 3(x + y) = 14.
2u + v = 8,
u
2
– 2v + 3u = 14.
u
= 3,
v
= 2
u
= –10,
v
= 28.
x
+ y = 3,
xy
= 2
x
+ y = –10,
xy
= 28.

Глава I. АРИФМЕТИКА. АЛГЕБРА
системы можно считать, что x и y корни квадратного уравнения t
2
– 3t + 2 = 0. Отсюда. Следовательно, пары чисел 2) и (2; 1) являются решениями этой системы.
Используя эту же идею, легко убедиться (сделайте это самостоятельно, что система решений не имеет.
О т в е т (1; 2), (2; Примеры заданий № Часть 1
1. Какая изданных пар чисел является решением уравнения 4x – 3y = 1?
1) (1; 1)
2) (7; – 9)
3) (2; – 3)
4) (3; 5)
2. Укажите номера верных утверждений) пара чисел (–1; 0) является решением уравнения) пара чисел (–2; 5) является решением уравнения) пара чисел (4; –3) не является решением уравнения) уравнение x
2
+ (y – 1)
2
= 0 не имеет решений. Для уравнения 7x – 2y = –16 найдите значение соответствующее значению y, равному –2,5.
4. Известно, что пара чисел (–3; 2) является решением уравнения 4x + by = 30. Найдите значение b.
5. Через какую изданных точек проходит график уравнения 4x + 5y = 20?
1) A(0; –4)
2) B(1; 3)
3) C(5; 0)
4) D(3; 2)
x
+ y = 3,
xy
= 2
x
+ y = –10,
xy
= 28