ОГЭ 2018 Математика Новый полный справочник. Справочник для подготовки к огэ А. Г. Мерзляк, В. Б. Полонский
 Скачать 3.79 Mb.
| Образовательный портал Как узнать результаты егэ Стихи про летний лагерь 3агадки для детей |
| Часть 2 10. Найдите координаты точки, которая принадлежит оси ординат и равноудалена от точек C (3; и D (1; –6). 11. Четырёхугольник ABCD — параллелограмм 1), C (–1; 1), D (–2; –2). Найдите координаты вершины A. 12. Вершинами треугольника являются точки 1), B (2; –2) и C (– 4; 6). Найдите медиану треугольника ABC. 13. Докажите, что четырёхугольник ABCD с вершинами в точках A (2; –2), B (1; 2), C (–3; 1) и –3) является прямоугольником. Докажите, что четырёхугольник ABCD сверши нами в точках A (–1; 5), B (4; 6), C (3; 1), D (–2; является ромбом. Составьте уравнение прямой, проходящей через точки A (–1; 4) и B (–3; –2). 3 3 3 § 21. Векторы на плоскости. Составьте уравнение прямой, которая проходит через точку A (2; –7) и образует с положительным направлением оси абсцисс угол 45 . 17. Составьте уравнение прямой, изображённой на рисунке. Отрезок AM — медиана треугольника сверши нами в точках A (–4; –2), B (5; 3) и C (–3; –7). Составьте уравнение прямой AM. 19. Составьте уравнение прямой, которая проходит через точку P (2; –5) и параллельна прямой –0,5x + 9. 20. Постройте график неравенства 3x + 2y < 6. 21. Постройте график неравенства 2x – y 0. 22. Постройте график неравенства y 1 – x 2 23. Постройте график неравенства – 4x + y 2 – 4y + 4 < 0. § 21. Векторы на плоскости. Понятие вектора. Модуль вектора. Коллинеарные векторы. Равные векторы Величины, которые определяются не только числовым значением, но и направлением, называют векторными величинами, или просто векторами. Примеры векторных величин сила, перемещение, скорость, ускорение, вес Рис. 20.7 Глава II. ГЕОМЕТРИЯ Рассмотрим отрезок AB. Если мы договоримся точку A считать началом отрезка, а точку B — его концом, то такой отрезок будет характеризоваться не только длиной, но и направлением от точки A к точке Если указано, какая точка является началом отрезка, а какая точка — его концом, то такой отрезок называют направленным отрезком или векто ром. Вектор с началом в точке A и концом в точке обозначают так (читают вектор На рисунках вектор изображают отрезком со стрелкой, указывающей его конец. На рисунке изображены векторы , Для обозначения векторов также используют строчные буквы латинского алфавита со стрелкой сверху. На рисунке 21.2 изображены векторы , , Вектору которого начало и конец одна и та же точка, называют нулевым вектором, или нуль вектором, и обозначают . Если начало и конец нулевого вектора — это точка A, то его можно обозначить итак Модулем вектора называют длину отрезка. Модуль вектора обозначают так , а модуль вектора — так Рис. Рис. 21.2 AB CD MN a b c 0 AA AB AB AB a a § 21. Векторы на плоскости 401 Модуль нулевого вектора считают равным нулю. Пишут: = Ненулевые векторы называют коллинеарными, если они лежат на параллельных прямых или на одной прямой. Нулевой вектор считают коллинеарным любому вектору. На рисунке 21.3 изображены коллинеарные векторы, Тот факт, что векторы и коллинеарны, обозначают так На рисунке 21.4 ненулевые коллинеарные векторы и одинаково направлены. Такие векторы называют сонаправленными и обозначают На рисунке 21.5 ненулевые коллинеарные векторы и противоположно направлены. Этот факт обозначают так Нулевой вектор не считают сонаправленным (противоположно направленным) ни с каким другим вектором. Два ненулевых вектора называют равными, если их модули равны и они сонаправлены. Любые два нулевых вектора равны. 0 a b MN a b a b a b M N a b a b a b Рис. Рис. Рис. Рис. 21.6 a b a b a b a b Глава II. ГЕОМЕТРИЯ На рисунке 21.6 изображены равные векторы и . Это обозначают так Равенство ненулевых векторов и означает, что и = Задача. Дан четырёхугольник ABCD. Известно, что = и = . Определите вид четырёхугольника Решение Из условия = следует, что DC и AB = DC. Следовательно, четырёх угольник ABCD — параллелограмм. Равенство = означает, что диагонали четырёхугольника ABCD равны. А параллелограмм с равными диагоналями является прямоугольником. Координаты вектора Рассмотрим на координатной плоскости вектор От начала координат отложим равный ему вектор (рис. 21.7). Координатами вектора будем называть координаты точки A. Запись (x; y) означает, что вектор имеет координаты (x; Числа x и y называют соответственно первой и второй координатами вектора Равные векторы имеют равные соответствующие координаты. Например, каждый из равных векторов, ирис) имеет координаты (2; 1). a b a b a b a b a b AB DC AC BD AB DC AC BD a OA a a a a a b c § 21. Векторы на плоскости 403 Если соответствующие координаты векторов равны, то равны и сами векторы. Если точки A (x 1 ; y 1 ) и B (x 2 ; соответственно являются началом и концом вектора то числа и y 2 – равны соответственно первой и второй координатам вектора Если вектор имеет координаты (a 1 ; a 2 ), то Задача. Даны координаты трёх вершин параллелограмма Найдите координаты вершины Решение. Так как четырёхугольник ABCD параллелограмм, то = . Следовательно, координаты этих векторов равны. Пусть (x; y) — координаты точки D. Имеем – 3; 1 – (–2)) = (–7; 3); (–2 – x; –3 – y). Отсюда О т в е т D (5; –6). a x y O x y a x y b c 0 Рис. Рис. 21.8 a a a a a 1 2 a 2 2 AB DC AB AB DC –7 = – 2 – x, 3 = –3 – y; x = 5, y = –6. Глава II. ГЕОМЕТРИЯ. Сложение и вычитание векторов Отложим от произвольной точки A вектор , равный вектору Далее от точки B отложим вектор, равный вектору Вектор называют суммой векторов и (рис. 21.9) и записывают + = Описанный алгоритм сложения двух векторов называют правилом треугольника. Для любых трёх точек A, B и C выполняется равенство, которое выражает правило треугольника для сложения векторов. Отложим от произвольной точки A вектор , равный вектору , ивектор , равный вектору Построим параллелограмм ABCD (рис. Тогда искомая сумма + равна вектору . Описанный алгоритм сложения двух векторов называют правилом параллелограмма. Если координаты векторов и соответственно равны и b 2 ), то координаты вектора + равны+ b 1 ; a 2 + Рис. Рис. 21.10 AB a AD b a b AC a b a b § 21. Векторы на плоскости 405 Для любых векторов, и выполняются равенства + (переместительное свойство) ( + ) + = + ( + ) (сочетательное свой ство). Разностью векторов и называют такой вектор, сумма которого с вектором равна вектору Пишут = От произвольной точки O отложим векторы и , соответственно равные векторами рис. 21.11). Тогда вектор равен разности Для любых трёх точек O, A и B выполняется равенство, которое выражает правило нахождения разности двух векторов, отложенных от одной точки. Если координаты векторов и соответственно равны a 2 ) и (b 1 ; то координаты вектора равны (a 1 – b 1 ; a 2 – Два ненулевых вектора называют противоположными, если их модули равны и векторы противоположно направлены. a b c a 0 a a b b a a b c a b c a b c b a c a b Рис. 21.11 a b O A B OA OB a b BA a b OA OB BA a b a b Глава II. ГЕОМЕТРИЯ Если векторы и противоположны, то говорят, что вектор — противоположный вектору а вектор — противоположный вектору Вектором, противоположным нулевому вектору, считают нулевой вектор. Вектор, противоположный вектору , обозначают так – Выполняется равенство + (– ) = Противоположным вектору является вектор Для любых точек A и B выполняется равенство Если вектор имеет координаты (a 1 ; a 2 ), то вектор имеет координаты (–a 1 ; Для любых векторов и выполняется равенство+ Чтобы из вектора вычесть вектор, можно к вектору прибавить вектор – (рис. 21.12). a b a b b a a a a a 0 AB BA AB BA a a a b a b a b a b a b a b – a Рис. Рис. 21.13 § 21. Векторы на плоскости 407 З ада ч а. Диагонали параллелограмма ABCD пересекаются в точке O (рис. 21.13). Выразите векторы, и через векторы = и Решение. Так как точка O — середина отрезков и AC, то = = и = = Имеем = + = – – = – – ; = – = – ; = – = = – = – . 21.4. Умножение вектора на число Произведением ненулевого вектора и числа отличного от нуля, называют такой вектор , что) = ; 2) если k > 0, то ; если k < 0, то Пишут = k Если или k = 0, то считают, что k На рисунке 21.14 изображены векторы, Имеем = , –1 = – Рис. 21.14 a a 2 3 a 3 a a a a a Глава II. ГЕОМЕТРИЯ Если = k , то векторы и коллинеарны. Если векторы и коллинеарны и , то существует такое число k, что = k Если вектор имеет координаты (a 1 ; a 2 ), то вектор имеет координаты (ka 1 ; Векторы и ka 2 )коллинеарны. Если векторы и b 2 )коллинеарны, причём , то существует такое число k, что ka 1 и b 2 = Для любых чисел k, m и любых векторов , справедливы равенства. Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам Пусть и — неколлинеарные векторы Тогда для любого вектора существует единственная пара чисел такая, что = x + y Если векторы и неколлинеарны и для вектора найдена пара действительных чисел (x; y) та) (km) = k(m сочетательное свойство) (k + m) = k + первое распределительное свойство) k( + ) = k + второе распределительное свойство § 21. Векторы на плоскости 409 кая, что = x + y , то говорят, что вектор разложен по векторами Упорядоченную пару ( ; ) неколлинеарных векторов называют базисом. Если для вектора выполняется равенство = x + y , то говорят, что вектор разложен по базису ( ; ). Упорядоченную пару (x; y) называют координатами вектора в базисе ( ; Задача. Пусть точка M — середина отрезка AB и X — произвольная точка(рис. Докажите, что = Решение. Применяя правило треугольника, запишем = ; = Сложим эти два равенства Так как векторы и противоположны, то. Имеем . Отсюда Рис. 21.15 XM 1 2 XA XB XM XA AM XM XB BM 2XM XA XB AM BM AM BM AM BM 0 2XM XA XB XM 1 2 XA XB Глава II. ГЕОМЕТРИЯ. Скалярное произведение векторов Пусть и — два ненулевых и несонаправлен ных вектора (рис. 21.16). От произвольной точки отложим векторы и , соответственно равные векторами. Величину угла AOB будем называть углом между векторами и Угол между векторами и обозначают так , ). Например, на рисунке 21.16 ( , ) = 120 а на рисунке 21.17 ( , ) = 180 Если векторы и сонаправлены, то считают, что ( , ) = 0 . Если хотя бы один из векторов или нулевой, то также считают, что ( , ) = 0 Для любых векторов и имеет место неравенство ( , ) 180 Векторы и называют перпендикулярными, если угол между ними равен 90 . Пишут a b OA OB a b a b a b a b a Рис. Рис. 21.17 a b a b a b a b a b a b a b a b § 21. Векторы на плоскости 411 Скалярным произведением двух векторов называют произведение их модулей и косинуса угла между ними. Скалярное произведение векторов и обозначают так = Скалярное произведение называют скалярным квадратом вектора и обозначают Скалярный квадрат вектора равен квадрату его модуля 2 = . Отсюда Скалярное произведение двух ненулевых векторов равно нулю тогда и только тогда, когда эти векторы перпендикулярны. Скалярное произведение векторов (a 1 ; a 2 ) и b 2 ) можно вычислить по формуле = a 1 b 1 + Косинус угла между ненулевыми векторами, a 2 ) и (b 1 , b 2 ) можно вычислить по формуле cos ( , ) = Задача. Известно, что = 3, = 1, ( , ) = = 120 . Найдите Решение. Поскольку скалярный квадрат вектора равен квадрату его модуля, то = a b a b a b a b a b cos a a a a a a 2 a a 2 a b a b a b a b a 1 b 1 a 2 b 2 a 1 2 a 2 2 b 1 2 b 2 2 a b a b 2a 3b 2a 3b 2 Глава II. ГЕОМЕТРИЯ. Отсюда = = = = = = = = = Задача. В треугольнике ABC известно, что AB = 4 см, BC = см 30 . Найдите медиану Решение. Имеем = (рис. 21.18). Отсюда = = = = = = = = 49. Следовательно, BM 2 = 49; BM = 7 см. Примеры заданий № Часть 1 1. Даны точки M (4; –2) и K (2; 1). Найдите координаты вектора 1) (2; –3) 3) (2; 3) 2) (–2; 3) 4) (–2; –3) 2a 3b 2 2a 3b 2a 3b 2 4a 2 12a b 9b 2 4 a 2 12 a b a b cos 9 b 2 36 18 9 63 Рис. 21.18 M B C A 6 3 BM 1 2 BA BC BM 2 1 4 BA BC 2 1 4 BA 2 2BA BC BC 2 1 4 BA 2 2 BA BC ABC cos BC 2 1 4 16 48 3 3 2 108 MK MK MK MK MK § 21. Векторы на плоскости. Укажите координаты начала вектора , если –3), F (3; 3). 1) E (–3; 0) 3) E (3; 6) 2) E (3; 0) 4) E (–3; –6) 3. Даны точки A (– 4; 1), B (–2; 4), C (2; 5), D (0; Укажите верное равенство) 3) 2) 4) 4. При каком значении n векторы (4; 2n – 1) и 9 – 3n) равны. Вычислите модуль вектора (–2; 3). 1) 2) 3) 5 4) 1 6. На рисунке 21.19 изображён параллелограмм. Укажите верное равенство) 3) 2) 4) 7. На рисунке 21.20 изображён квадрат ABCD. Какой из векторов равен разности векторов и ? 1) 2) 3) 4) EF EF AB CD CB DA CB AD AB AD a b a 5 Рис. Рис. 21.20 Глава II. ГЕОМЕТРИЯ. Укажите рисунок, на котором 9. Найдите координаты разности векторов и , изображённых на рисунке 21.21. 1) (2; 4) 2) (–2; –4) 3) (–2; 4) 4) (2; –4) 10. На рисунке 21.22 изображён параллелограмм. Выразите вектор через векторы и 1) 3) 2) 4) 11. Найдите координаты разности векторов и, если B (5; 7), C (–1; 4), A — некоторая точка плоскости) (–6; –3) 3) (4; 11) 2) (6; 3) 4) найти невозможно 1) 2) 3) 4) a b c a b c a b c a b c a b y x 0 Рис. Рис. 21.22 AD OD a OC b AD a b AD b a AD a b AD 1 2 a 1 2 b AB AC § 21. Векторы на плоскости. Найдите модуль вектора , если 13. Укажите вектор, коллинеарный вектору 21). 1) (54; 42) 3) (9; –7) 2) (–27; –21) 4) (–9; –7) 14. При каком значении y векторы (2; 5) и (–6; коллинеарны. На рисунке 21.23 изображён ромб ABCD , в котором 4 см, BAD = 60 . Найдите скалярное произведение векторов и . 16. Сторона правильного шестиугольника равна 1. Вычислите скалярное произведение. Даны точки C (–3; 1), D (1; 4), E (2; 2). Найдите скалярное произведение векторов и 18. Определите вид угла между векторами (–8; и (2; 5). 1) острый) прямой) тупой) определить невозможно. При каком значении a векторы (4; a) и (–5; 2) перпендикулярны?  перейти в каталог файлов | Образовательный портал Как узнать результаты егэ Стихи про летний лагерь 3агадки для детей |