ОГЭ 2018 Математика Новый полный справочник. Справочник для подготовки к огэ А. Г. Мерзляк, В. Б. Полонский
 Скачать 3.79 Mb.
| Образовательный портал Как узнать результаты егэ Стихи про летний лагерь 3агадки для детей |
| 22. Укажите множество решений неравенства – 3x + 2 > 0. 1) ; 2 2) – ; 2 3) (– ; ) 4) 23. Каким является множество решений неравенства Часть 2 24. Докажите, что при a –2 выполняется неравенство. Докажите, что (a + 4)(a – 8) > 4(2a – 19) при всех действительных значениях a. 26. Докажите, что при всех действительных значениях и b выполняется неравенство – 12a – 2ab + b 2 + 2 > 0. 27. Докажите, что при всех значениях переменных верно неравенство a 2 b 2 + a 2 + b 2 + 1 4ab. 28. Найдите наибольшее целое решение неравенства. Сколько целых решений имеет система неравенств. Неравенства. Чему равно наименьшее целое решение системы неравенств 31. Сколько целых чисел содержит множество решений неравенства –3,25 1,25? 32. Найдите наибольшее целое решение неравенства. Решите систему неравенств 34. Решите неравенство (2x – 1) 2 – (x – 1)(x + 7) 5. 35. Решите неравенство (x – 4) 2 < (x – 4). 36. Решите неравенство 0. 37. Решите неравенство (3x – 7) 2 (7x – 3) 2 38. Решите неравенство x 2 (–x 2 – 100) 100(–x 2 – 100). 39. Сколько целых решений имеет неравенство – 8)(3x + 8) 6x – 40? 40. При каких значениях a уравнение x 2 + 5ax + 5a = не имеет корней. При каких значениях b уравнение 2x 2 – bx + 8 = имеет два различных корня. Решите систему неравенств – < 1, 3,6x < 1 + 5,6x? 2x 5 x 1 3 1 4x 4 7 2x 3 (x + 2)(x – 4) – (x – 5)(x + 5) > 11, –2. 3x 4 5 3 25 x 6 2 7 0, 4 – 6x 16 – 4x. 15 3x 4 7 5x 2 Глава I. АРИФМЕТИКА. АЛГЕБРА. Решите систему неравенств 44. Решите систему неравенств. Найдите все значения a, при которых множество решений системы неравенств содержит ровно три целых числа 12. Числовые последовательности. Понятие последовательности Объекты, которые пронумерованы подряд натуральными числами 1, 2, 3, ... , n, ... , образуют по следовательности. Так, можно говорить о последовательности страниц книги, букв слова, этажей дома и т. д. Объекты, образующие последовательность, называют членами последовательности. Каждый член последовательности имеет свой номер. Например, январь — это первый член последовательности месяцев года, число 3 — второй член последовательности простых чисел. Вообще, если член последовательности имеет номер n, то его называют n м членом последовательности. Если членами последовательности являются числа, то такую последовательность называют числовой. Приведём примеры числовых последовательностей 0. x 2 – x – 12 < 0, x < a § 12. Числовые последовательности, 2, 3, 4, 5, ... — последовательность натуральных чисел, 4, 6, 8, 10, ... — последовательность чётных чисел 0,33; 0,333; ... — последовательность десятичных приближений дроби ; 19, 38, 57, 76, 95 — последовательность двузначных чисел, кратных 19; –1, –2, –3, –4, –5, ... — последовательность отрицательных целых чисел. Последовательности бывают конечными и бесконечными. Например, последовательность чёт ных натуральных чисел — это бесконечная последовательность, а последовательность двузначных чисел, кратных 19, — это конечная последователь ность. Для обозначения членов последовательности используют буквы с индексами, a 2 , a 3 , ... , a n , ... Индекс указывает порядковый номер члена последовательности. Для обозначения самой последовательности используют запись (a n ). Например, если последовательность простых чисел, то 2, p 2 = 3, p 3 = 5, p 4 = 7, p 5 = 11 и т. д. Способы задания последовательности Рассмотрим последовательность, у которой первый член равен 1, а каждый следующий член на больше предыдущего. Такой способ задания последовательности называют описательным. Его можно проиллюстрировать с помощью записи стремя точ 1 3 Глава I. АРИФМЕТИКА. АЛГЕБРА ками, выписав несколько первых членов последовательности в порядке возрастания номеров, 4, 7, 10, 13, 16, 19, ... Если последовательность является конечной, то её можно задать с помощью таблицы. Например, следующая таблица задаёт последовательность кубов однозначных натуральных чисел: Последовательности можно задавать с помощью формул. Например, равенство x n = 2 n , где переменная принимает все натуральные значения, задаёт последовательность) натуральных степеней числа 2: 2, 4, 8, 16, 32, ... В таких случаях говорят, что последовательность задана с помощью формулы n го члена после довательности. Рассмотрим несколько примеров. Формула a n = 2n – 1 задаёт последовательность натуральных нечётных чисел, 3, 5, 7, 9, ... Формула y n = (–1) n задаёт последовательность, в которой все члены с нечётными номерами равны –1, ас чётными номерами равны 1: –1, 1, –1, 1, –1, ... Формула c n = 7 задаёт последовательность (все члены которой равны числу 7: 7, 7, 7, 7, 7, ... Рассмотрим равенства a 1 = 1 и a n + 1 = Эти равенства указывают первый член последовательности и правило, с помощью которого по 2 3 4 5 6 7 8 9 a n 1 8 27 64 125 216 343 512 729 § 12. Числовые последовательности 237 каждому члену последовательности можно найти следующий за ним член = 1, a 2 = 3a 1 = 3, a 3 = 3a 2 = 9, a 4 = 3a 3 = и т. д. Формулу, выражающую член последовательности через один или несколько предыдущих членов, называют рекуррентной формулой (от лат. recurro возвращаться. В приведённом примере это формула. Условия, определяющие первый или несколько первых членов, называют начальными условиями. В рассматриваемом примере начальное условие — это равенство a 1 = При рекуррентном способе задания последовательности первый или несколько первых членов последовательности заданы, а все остальные вычисляют друг за другом. З ада ч а. Последовательность (c n ) задана формулой го члена c n = 37 – 3n. Является ли членом этой последовательности число 1) 19; 2) В случае утвердительного ответа укажите номер этого члена. Р е ш е ни е. 1) Если число 19 является членом данной последовательности, то существует такое натуральное значение n, при котором выполняется равенство 37 – 3n = 19. Таким значением является. Следовательно, число 19 является шестым членом последовательности (c n ). 2) Имеем 37 – 3n = –7; 3n = 44; n = 14 . Так как число 14 не является натуральным, то число не является членом данной последовательности 3 2 3 Глава I. АРИФМЕТИКА. АЛГЕБРА. Арифметическая прогрессия Арифметической прогрессией называют последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, сложенному с одними тем же числом. Примеры арифметических прогрессий, 7, 12, 17, 22, 27, ... ; 1; 1,5; 2; 2,5; 3; 3,5; ... ; 3, 1, –1, –3, –5, –7, ... Число, равное разности последующего и предыдущего членов последовательности называют разностью арифметической прогрессии и обозначают буквой d (первой буквой латинского слова diffe rentia — разность). Если (a n ) — арифметическая прогрессия с разностью, тот. е. для любого натурального n выполняется равенство. Отсюда + 1 = a n + Чтобы задать арифметическую прогрессию, надо указать её первый член и разность. Таким образом, арифметическую прогрессию можно задать рекур рентно: a 1 = a, a n + 1 = a n + Формула n го члена арифметической прогрессии имеет вид = a 1 + d (n – 1). § 12. Числовые последовательности 239 Любой член арифметической прогрессии, кроме первого, равен среднему арифметическому двух соседних с ним членов = Задача. Докажите, что последовательность, заданная формулой n го члена a n = 9n – является арифметической прогрессией. Р е ш е ни е. Рассмотрим разность двух произвольных последовательных членов последовательности 9n + 2 = Следовательно, при любом натуральном n выполняется равенство a n + 1 = a n + 9, те. каждый член данной последовательности, начиная со второго, равен предыдущему члену, к которому прибавлено одно и тоже число 9. Таким образом, данная последовательность является арифметической прогрессией. Сумма n первых членов арифметической прогрессии Сумму n первых членов арифметической прогрессии вычисляют по формулам = · n, S n = · Если арифметическая прогрессия является конечной последовательностью, то понятно, что её последний член таким свойством не обладает 2 a 1 a n 2 2a 1 d n 1 2 Глава I. АРИФМЕТИКА. АЛГЕБРА Последней формулой удобно пользоваться тогда, когда заданы первый член и разность прогрессии. З ада ч а 1. Найдите сумму всех трёхзначных чисел, кратных Решение. Данные числа образуют арифметическую прогрессию, первый член которой a 1 = а разность d = 6. Тогда a n = 102 + 6(n – 1) = 6n + 96. Найдём количество членов этой прогрессии. Так как a n < 1000, то имеем + 96 < 1000; 6n < 904; n < 150 Следовательно, n = 150. Тогда искомая сумма = · 150 = 82 Ответ Задача. Сумма семидесяти пяти первых членов арифметической прогрессии равна 450. Найдите тридцать восьмой член прогрессии. Р е ш е ни е. Пусть первый член прогрессии и её разность равны a 1 и d соответственно. Тогда сумма семидесяти пяти первых членов S 75 = 75 = 75 (a 1 + 37d) = 450. Отсюда a 38 = a 1 + 37d = = 450 : 75 = Ответ. Геометрическая прогрессия. Формула сложных процентов Геометрической прогрессией называют последовательность с отличным от нуля первым членом 3 2 102 6 150 1 2 2a 1 74d 2 § 12. Числовые последовательности 241 каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, умноженному на одно и тоже неравное нулю число. Примеры геометрических прогрессий, 3, 9, 27, 81, 243, ... , 2, 1, , , , , , 5; –0,5; 0,05; –0,005; 0,0005; ... Число, равное отношению последующего и предыдущего членов последовательности, называют знаменателем геометрической прогрессии и обозначают буквой q (первой буквой французского слова частное). Если (b n ) — геометрическая прогрессия со знаменателем, тот. е. для любого натурального n выполняется равенство Чтобы задать геометрическую прогрессию, надо указать её первый член и знаменатель. Таким образом, геометрическую прогрессию можно задать ре куррентно: b 1 = b, b n + 1 = Формула n го члена геометрической прогрессии имеет вид = b 1 q n – 1 1 2 1 4 1 8 1 16 b 2 b 1 b 3 b 2 b 4 b 3 b n 1 b n Глава I. АРИФМЕТИКА. АЛГЕБРА Квадрат любого члена геометрической прогрессии, кроме первого, равен произведению двух соседних с ним членов = b n – 1 b n + Если все члены геометрической прогрессии (положительны, то равенство b n 2 = b n – 1 b n + 1 можно переписать так = Каждый член такой последовательности, кроме первого, является средним геометрическим двух соседних с ним членов. З ада ч а. В геометрической прогрессии (b n ) со знаменателем q = найдите b 1 , если b 6 = Решение. Так как b 6 = b 1 q 5 , то b 1 = b 6 : q 5 = = : = 3 5 = 5 3 = Ответ Задача. Найдите четвёртый член и знаменатель геометрической прогрессии (b n ), если 36, b 5 = Решение. По свойству геометрической прогрессии, отсюда b 4 = = = = 6 7 = 42 или b 4 = – = Если геометрическая прогрессия является конечной последовательностью, то понятно, что её последний член таким свойством не обладает 1 3 5 81 5 81 1 3 5 5 3 4 b 3 b 5 36 49 b 3 b 5 § 12. Числовые последовательности 243 Если b 4 = 42, то знаменатель прогрессии q = b 4 : b 3 = = = ; если b 4 = –42, то q = – Ответили Рассмотрим задачу, которую часто приходится решать банковским работникам, а также тем, кто хранит деньги в банке под проценты. Пусть вкладчик положил в банк сумму a 0 под годовых. Какая сумма будет на его счёте через лет при условии, что вкладчик в течение этого срока не снимает денег со счёта? В конце первого года первоначальный капитал увеличится на и будет равным = a 0 + = те. увеличится в раз. В конце второго года сумма снова вырастет враз и станет равной = a 1 = Применяя формулу n го члена геометрической прогрессии, можно записать = Полученную формулу называют формулой сложных процентов 36 7 6 7 6 7 6 7 6 a 0 p 100 a 0 p 100 1 p 100 1 p 100 1 p 100 1 p 100 1 p 100 2 1 p 100 n Глава I. АРИФМЕТИКА. АЛГЕБРА. Сумма n первых членов геометрической прогрессии Сумму n первых членов геометрической прогрессии при q 1 вычисляют по формуле = Если q = 1, то все члены прогрессии равны первому члену. Тогда S n = Задача. При любом натуральном n сумма первых членов геометрической прогрессии вычисляется по формуле S n = 10(2 n – 1). Найдите первый член и знаменатель этой прогрессии. Р е ш е ни е. Пусть b 1 — первый член данной прогрессии её знаменатель. Тогда b 1 = S 1 = = 10(2 – 1) = 10; b 1 + b 2 = S 2 = 10(2 2 – 1) = 30. Отсюда Ответ. Сумма бесконечной геометрической прогрессии, модуль знаменателя которой меньше единицы Если дана бесконечная геометрическая прогрессия с первым членом b 1 и знаменателем, равным, таким что | q | < 1, то её сумму можно вычислить по формуле = b 1 q n 1 q 1 b 2 b 1 b 1 1 q § 12. Числовые последовательности 245 З ада ч а. Представьте бесконечную десятичную дробь 0,2(54) в виде обыкновенной дроби. Р е ш е ни е. Имеем 0,2(54) = 0,2545454... = 0,2 + 0,0545454... = = 0,2 + 0,054 + 0,00054 + 0,0000054 + ... Бесконечную периодическую десятичную дробь. можно рассматривать как сумму бесконечной геометрической прогрессии, первый член которой равен b 1 = 0,054, а знаменатель. Тогда 0,0545454... = = = = = Отсюда 0,2(54) = 0,2 + 0,0(54) = 0,2 + = = + = Ответ Примеры заданий № Часть 1 1. Последовательность (a n ) задана формулой n го члена a n = . Сколько членов этой последовательности больше 7? 2. Дана арифметическая прогрессия (a n ), разность которой равна –4,2, a 1 = –1,8. Найдите a 8 3. Выписаны первые несколько членов арифметической прогрессии –15, –11, –7, ... . Найдите й член этой прогрессии 054 1 0 01 0 054 0 99 54 990 3 55 3 55 1 5 3 55 14 55 14 55 85 n 2 Глава I. АРИФМЕТИКА. АЛГЕБРА. Выписаны несколько последовательных членов арифметической прогрессии, –8, x, –2, 1, ... .. Найдите x. 5. Дана арифметическая прогрессия, для которой = –9, a 14 = –18. Найдите разность прогрессии. Найдите номер члена арифметической прогрессии, равного 12,5. 7. Выписаны первые несколько членов арифметической прогрессии 1, 4, 7, ... . Найдите сумму первых сорока её членов. Арифметическая прогрессия (a n ) задана условиями. Найдите сумму первых восьми её членов. Найдите знаменатель геометрической прогрессии, если b 8 = , b 9 = . 1) 3) 2) 4) 10. Выписаны первые несколько членов геометрической прогрессии –6; 15; –37,5; ... . Найдите её четвёртый член. Выписаны несколько последовательных членов геометрической прогрессии ..., 5, x, 45, –135, ... . Найдите x. 12. Предприниматель взял в банке кредит в размере 000 р. на два года под 20% годовых. Какую сумму (в рублях) он должен будет вернуть банку через 2 года. Геометрическая прогрессия (b n ) задана условиями. Найдите сумму первых шести её членов 25 3 5 5 8 5 6 8 5 6 5 § 12. Числовые последовательности. Вычислите сумму пяти первых членов геометрической прогрессии (b n ), если b 5 = 112, а знаменатель прогрессии q = 2. 15. Чему равна сумма семи первых членов геометрической прогрессии (b n ), если b 1 = 6, b 6 = 192? 16. Найдите сумму бесконечной геометрической прогрессии, первый член которой b 1 = 18, а знаменатель. Чему равен знаменатель бесконечной геометрической прогрессии, первый член которой равен, а сумма равна Часть 2 18. Найдите первый член арифметической прогрессии, если a 6 = 17, a 12 = 47. 19. Сколько положительных членов содержит арифметическая прогрессия 40; 37; 34; ...? 20. В кинотеатре в каждом следующем ряду на места больше, чем в предыдущем, а всего мест в зале — 640. Сколько рядов в кинотеатре, если в первом ряду 10 мест. Чему равна сумма двадцати первых членов арифметической прогрессии (a n ), если a 5 = –0,8, a 11 = –5? 22. Найдите разность арифметической прогрессии, первый член которой равен –16, а сумма первых семнадцати членов равна 544. 23. Первый член арифметической прогрессии равен, а её разность равна 2. Сколько надо взять первых членов прогрессии, чтобы их сумма была равной 84? 1 3 Глава I. АРИФМЕТИКА. АЛГЕБРА. Найдите сумму всех отрицательных членов арифметической прогрессии –5,2; –4,8; –4,4; ... . 25. При любом n сумму n первых членов некоторой арифметической прогрессии можно вычислить по формуле S n = n 2 + 3n. Найдите разность этой прогрессии. Найдите сумму всех трёхзначных чисел, меньших, чем 250, которые кратны 3. 27. Найдите сумму всех трёхзначных чисел, которые кратны 7. 28. Какие два числа надо поставить между числами и 20, чтобы они вместе сданными числами образовали геометрическую прогрессию. В течение года завод дважды увеличивал еженедельный выпуск продукции на одно и тоже количество процентов. Насколько процентов увеличивался каждый раз выпуск продукции, если вначале года завод выпускал 1200 изделий еженедельно, а в конце года — 1587 изделий. Найдите первый член геометрической прогрессии, состоящей из шести членов, если сумма трёх первых её членов равна 168, а сумма трёх последних равна 21. 31. Сумма второго и третьего членов геометрической прогрессии равна 30, а разность четвёртого и второго равна 90. Найдите первый член прогрессии. При каком значении x значения выражений – 2, x + 2 и x + 8 являются последовательными членами геометрической прогрессии. Найдите сумму шести первых членов геометрической прогрессии (b n ), если b 4 = 24, а знаменатель. Элементы комбинаторики, теории вероятностей. Найдите сумму бесконечной геометрической прогрессии (b n ), если b 3 = 0,8; b 4 = 0,16. 35. Чему равен второй член бесконечной геометрической прогрессии, сумма и знаменатель которой равны 72 и соответственно. Запишите в виде обыкновенной дроби число. Запишите в виде обыкновенной дроби число 13. Элементы комбинаторики, теории вероятностей, описательной статистики. Комбинаторные задачи. Перебор вариантов Задачи, решение которых требует рассмотрения и подсчёта всех возможных случаев, или, как ещё принято говорить, всех возможных комбинаций, называют комбинаторными. З ада ч а. Одноклассницы Оля, Валя и Катя дежурят по школе. Сколькими способами классный руководитель может расставить девочек по одной на каждом из трёх этажей школы? Р е ш е ни е. Предположим, что Олю назначили дежурить на третьем этаже. Тогда на втором этаже может дежурить Валя или Катя, а на первом соответственно Катя или Валя. Получаем два варианта (две комбинации) распределения дежурства (девочки обозначены первыми буквами их имён): 1 3 Глава I. АРИФМЕТИКА. АЛГЕБРА Пусть теперь дежурной на третьем этаже назначили Валю. Тогда на втором этаже может дежурить Оля или Катя, а на первом — соответственно Катя или Оля. Получаем ещё два варианта распределения де журства: И, наконец, предположим, что дежурной натре тьем этаже назначили Катю. Получаем ещё два варианта распределения дежурства: Таким образом, получилось 6 вариантов распределения дежурства: О т в е т 6 способов этаж: О О 2 этаж: В К 1 этаж: К В 3 этаж: В В 2 этаж: О К 1 этаж: К О 3 этаж: К К 2 этаж: В О 1 этаж: О В 3 этаж: О О В В К К 2 этаж: В К О К В О 1 этаж: К В К О О В § 13. Элементы комбинаторики, теории вероятностей... 251 Решение задачи о распределении дежурства можно проиллюстрировать с помощью такой схемы: Эта схема позволяет записать шесть комбинаций ОВК, ОКВ, ВОК, ВКО, КВО, КОВ. Приведённая схема напоминает перевёрнутое дерево. Поэтому её называют деревом возможных вариантов. Комбинаторные правила суммы и произведения В основе решения большинства комбинаторных задач лежат два правила правило суммы и правило произведения. Правило суммы Если множество A состоит из элементов, а множество B — из k элементов, причём эти множества не имеют общих элементов, то выбор или b», где a A, b B, можно осуществить m + k способами. Правило суммы можно обобщить для трёх ибо лее множеств. Например, если множества A, B и состоят соответственно из m, k и n элементов, прич мни у каких двух из этих множеств нет общих элементов, то выбор «a или b или c», где a A, b B, c C, можно осуществить m + k + n способами. О К О Классный руководитель этаж этаж этаж B К К B B К К О B О О B Глава I. АРИФМЕТИКА. АЛГЕБРА Правило произведения Если элемент a можно выбрать m способами и после каждого такого выбора элемент b можно выбрать k способами, то выбор ив указанном порядке можно осуществить mk способами. Правило произведения также можно обобщить. Например, если элемент a можно выбрать m способами, после каждого такого выбора элемент b можно выбрать k способами и после того, как выбраны элементы и b, элемент c можно выбрать n способами, то выбор «a и b и c» можно осуществить mkn способами. З ада ч а 1. Из класса, в котором учатся 28 человек, надо выбрать трёх дежурных по одному на каждый из трёх этажей школы. Сколькими способами это можно сделать? Р е ш е ни е. Существует 28 способов выбрать дежурного по первому этажу. После того как этот выбор будет сделан, останется 27 учеников, каждый из которых может стать дежурным по второму этажу. После выбора дежурных для первого и второго этажей дежурного по третьему этажу можно выбрать 26 способами. Таким образом, по правилу произведения количество способов выбора трёх дежурных равно 27 26 = 19 Ответ способов. З ада ч а 2. На рисунке показана схема дорог, ведущих из города в город B. Сколькими способами можно проехать из города A в город Рис. 13.1 § 13. Элементы комбинаторики, теории вероятностей... 253 Р е ш е ни е. Воспользовавшись правилом произведения, устанавливаем, что из города A в город через город M можно попасть 3 2 = 6 способами, а через город N — 4 3 = 12 способами. Тогда по правилу суммы общее количество способов равно 6 + 12 = 18 способам. О т в е т 18 способов. 13.3. Представление данных в виде таблиц, диаграмм, графиков Собранную информацию удобно представлять в виде таблиц. Ниже представлена таблица среднегодовых температур воздуха в отдельных городах России. Графическое представление статистических данных с помощью геометрических фигур называют диаграммами. Так, данные, приведённые выше в таблице, можно подать в виде столбчатой диаграммы (рис. 13.2). Здесь высота каждого столбика показывает среднегодовую температуру в соответствующем городе. Город Температура, C Город Температура, C Екатеринбург 2,7 Оренбург 5,0 Казань 4,1 Пермь 2,3 Краснодар 11,4 Тула 5,2 Мурманск 0,3 Хабаровск 2,2 Нижний Новгород 4,4 Челябинск 2,9 Глава I. АРИФМЕТИКА. АЛГЕБРА Когда хотят сопоставить части какой либо величины, то применяют круговые диаграммы. Круговая диаграмма на рисунке 13.3 иллюстрирует соотношение между площадями шести крупнейших государств. Информацию также можно представлять в виде графиков. На рисунке 13.4 изображён график ежегодного процентного роста количества пользователей Интернета в мире в течение 2007–2014 гг. Рис. Рис. 13.3 Россия 27,3% Канада 16,0% Китай 15,4% США 15,4% Бразилия 13,6% Австралия 12,3% Россия Канада Китай США Бразилия Австралия § 13. Элементы комбинаторики, теории вероятностей. Статистика. Статистические характеристики Статистика от латинского status — состояние) это наука о сборе, обработке и анализе количественных данных, которые характеризуют массовые явления. Статистическое исследование состоит из нескольких этапов 25,4 32,6 37,1 44 52,6 57,1 67,5 10 20 30 40 50 60 70 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 Процент населения, пользующегося Интернетом Рис. Сбор данных Обработка данных и их представление в удобной форме Анализ данных Выводы и рекомендации Глава I. АРИФМЕТИКА. АЛГЕБРА Совокупность объектов, на основании которых проводят исследование, называют выборкой. Если выборка состоит из числовых данных, то разность между наибольшими наименьшим значениями данных выборки называют размахом выборки. Пусть выборка состоит из числовых данных x 1 , x 2 , ..., x n . Средним значением этой выборки (выборочным средним) называют число Рассмотрим выборку, состоящую из таких данных, которые можно сравнивать друг с другом. Если количество данных нечётно и они упорядочены так, что x 1 x 2 ... x 2n – 1 , то медианой данной выборки называют x n , те. то изданных, которое в списке x 1 , x 2 , ..., x 2n – расположено посередине. Если выборка состоит из чётного количества данных, то медианой данной выборки называют любое изданных или x n + 1 , тете два данных, которые расположены посередине в списке x 2 , ..., Если исследуемыми данными являются числа, тов случае чётного количества данных x 1 x 2 ... медианой выборки считают величину Пусть выборка состоит изданных, Модой данной выборки называют то изданных, которое встречается в списке x 1 , x 2 , ..., x n чаще всего. Если таких частых данных несколько, то каждое из них является модой данной выборки. З ада ч а. Найдите размах, среднее значение, медиану и моду выборки 7, 3, 2, 7, 5, 3, 14, 7. x x 1 x 2 x n n x n x n 1 2 § 13. Элементы комбинаторики, теории вероятностей... 257 Р е ш е ни е. Расположим числа данной выборки в порядке возрастания 2, 3, 3, 5, 7, 7, 7, Размах выборки 14 – 2 = Среднее значение выборки = = Медиана выборки = Мода 7. 13.5. Частота и вероятность случайного события Результат наблюдения, опыта, эксперимента будем называть событием. Случайным событием называют такой результат наблюдения или эксперимента, который при соблюдении данного комплекса условий может произойти, а может и не произойти. Например, при подбрасывании монеты случайным событием является выпадение герба. Обнаружение письма при проверке почтового ящика также является случайным событием. В результате многочисленных наблюдений и экспериментов было подмечено, что многие события происходят стой или иной постоянной частотой. Частотой случайного события называют величину, вычисляемую по формуле: частота = Для того чтобы по частоте случайного события можно было оценивать его вероятность, количество испытаний должно быть достаточно большим. Частота случайного события позволяет лишь прибли жённо оценить вероятность случайного события 3 2 5 7 3 14 8 5 число появлений данного события число проведённых экспериментов Глава I. АРИФМЕТИКА. АЛГЕБРА Такую оценку вероятности случайного события называют статистической. Начиная с ХVІІІ в. многие исследователи проводили серии испытаний с подбрасыванием монеты. В таблице приведены результаты некоторых таких испытаний. По приведённым данным прослеживается закономерность при многократном подбрасывании монеты частота появления герба незначительно отклоняется от числа 0,5. Следовательно, можно считать, что вероятность события выпадение герба» приблизительно равна Вероятность события обозначают буквой P (первой буквой французского слова probabilite — веро ятность). Если событие выпадение герба обозначить буквой, то P (A) 0,5. Исследователь Количество подбрасыва ний монеты Количество выпадений герба Частота выпадения герба Жорж Бюффон (1707–1788) 4040 2048 0,5069 Огастес де Морган (1806–1871) 4092 2048 Уильям Джевонс (1835–1882) 20 480 10 379 0,5068 Всеволод Романовский (1879–1954) 80 640 39 699 Карл Пирсон (1857–1936) 24 000 12 012 Уильям Феллер (1906–1970) 10 000 4979 0,4979 § 13. Элементы комбинаторики, теории вероятностей. Достоверные и невозможные события. Равновозможные события. Классическое определение вероятности Событие, которое приданном комплексе условий обязательно состоится при любом испытании, называют достоверным. Вероятность такого события считают равной 1, т. е. если A — достоверное событие, то) = Событие, которое приданном комплексе условий не может состояться ни при каком испытании, называют невозможным. Вероятность такого события считают равной 0, т. е. если A — невозможное событие, то) = Задача. Пусть в коробке лежат 10 красных шаров. Какова вероятность того, что взятый наугад шар будет красного цвета жёлтого цвета? Р е ш е ни е. При заданных условиях любой взятый наугад шар будет красного цвета. Следовательно, событие взятый наугад шар будет красного цвета является достоверными его вероятность равна Поскольку в коробке нет шаров жёлтого цвета, то взять шарж лтого цвета нельзя. Следовательно, событие взятый наугад шар будет жёлтого цвета является невозможными его вероятность равна Рассмотрим эксперимент, в котором однородную монету подбрасывают один раз. В этом опыте можно получить только один из двух результатов (исходов): выпадение числа или выпадение герба, причём ни Глава I. АРИФМЕТИКА. АЛГЕБРА один из них не имеет преимуществ. Такие результаты называют равновозможными, а соответствующие случайные события — равновероятными. Считают, что вероятность каждого из событий выпадение герба и выпадение числа равна Если испытание может закончиться одним из n равновозможных результатов, из которых m приводят к наступлению события A, то вероятностью события называют отношение Такое определение вероятности называют клас сическим. З ада ч а 2. В коробке лежат 15 бильярдных шаров, пронумерованных числами от 1 до 15. Какова вероятность того, что вынутый наугад шар будет иметь номер, кратный Решение. В этом испытании можно получить один из 15 равновозможных результатов вынуть шар с номером 1, вынуть шар с номером 2 и т. д. Из них наступлению события вынутый шар имеет номер, кратный 3» способствуют 5 результатов вынутый шар имеет номер 3, или 6, или или 12, или 15. Поэтому искомая вероятность равна = Задача. Подбрасывают одновременно две одинаковые монеты. Какова вероятность того, что хотя бы один раз выпадет герб? Р е ш е ни е. Чтобы создать в данном эксперименте комплекс условий, при которых все его результаты станут равновозможными, будем различать монеты, предварительно их пронумеровав. Тогда можно получить четыре равновозможных результата (рис. 13.5). 1 2 m n 5 15 1 3 § 13. Элементы комбинаторики, теории вероятностей... 261 В первых трёх из этих результатов хотя бы один раз выпал герб. Эти результаты являются благоприятными. Поэтому вероятность того, что при одновременном подбрасывании двух монет хотя бы один раз выпадет герб, равна . 13.7. Представление о геометрической вероятности Рассмотрим такое испытание. В плоской фигуре с ненулевой площадью S наугад выбирают точку Какова вероятность того, что точка X будет принадлежать данной фигуре A U с площадью рис. 13.6)? Обычно считают, что такая вероятность будет равной отношению площади S A фигуры A к площади S фигуры U, те Рис. 13.5 3 4 S A S Глава I. АРИФМЕТИКА. АЛГЕБРА Для опытов с выбором точки на прямой или в пространстве можно записать аналогичные отношения. Например, пусть точку X выбирают наугад на промежутке U длиной l (рис. 13.7). Если промежуток длиной l A принадлежит промежутку U, то вероятность того, что точка X будет принадлежать промежутку A, можно вычислить по формуле) = В опыте с выбором точки из тела U объёма V используют формулу) = где V A — объём тела A, являющегося частью тела Описанный способ вычисления вероятности случайного события называют геометрическим определением вероятности. З ада ч а. В прямоугольный треугольник скате тами 5 см и 12 см наугад бросают точку. Какова вероятность того, что точка попадёт вкруг, вписанный в этот треугольник Решение. Площадь треугольника равна S = = = 30 (см. Используя формулу r = , вычислим радиус вписанного круга. Имеем r = 2 см. Тогда площадь вписанного круга равна 4 см 2 Рис. Рис. 13.7 l A l V A V 5 12 2 S p § 13. Элементы комбинаторики, теории вероятностей... 263 Следовательно, вероятность того, что наугад выбранная точка попадёт во вписанный круг, составляет Примеры заданий № Часть 1 1. Имеется 8 разных конвертов и 4 разные марки. Сколькими способами можно выбрать конверт и марку. Вменю столовой имеется 3 первых блюда, 6 вторых блюди третьих блюда. Сколькими способами можно выбрать обед, содержащий по одному блюду каждого вида. В конкурсе эрудитов участвуют 10 человек. Сколько есть вариантов распределения трёх первых мест. Сколько чётных пятизначных чисел, все цифры которых различны, можно записать, используя цифры 3, 4, 5, 7 и 9? 5. Сколько существует трёхзначных чисел, все цифры которых нечётные и разные. На диаграмме, изображённой на рисунке 13.8, показано распределение количества фруктовых деревьев, растущих в саду. Укажите верное утверждение) яблонь в саду больше, чем вишен) вишни составляют более всех деревьев сада) черешен и слив вместе больше, чем яблонь 30 вишни яблони черешни сливы Рис. 13.8 Глава I. АРИФМЕТИКА. АЛГЕБРА) яблони составляют более 25% всех деревьев сада. На диаграмме, изображённой на рисунке показано содержание питательных веществ в чёрном шоколаде. Определите по диаграмме, в каких пределах находится содержание жиров) 5–10% 3) 30–40% 2) 10–30% 4) 40–60% 8. Сколькими способами можно расставить на полке разных книг. На диаграмме, изображённой на рисунке указано количество пирожных, пирожков, сочни ков и бутербродов, проданных в школьном буфете задень. Известно, что больше всего было продано пирожков, меньше всего — бутербродов, а пирожных больше, чем сочников. Насколько больше было продано пирожных, чем бутербродов? прочее* белки углеводы жиры пищевые волокна белки углеводы жиры пищевые волокна прочее к прочему относятся вода, витамины и минеральные вещества Рис. Количество проданных изделий 40 60 Рис. 13.10 § 13. Элементы комбинаторики, теории вероятностей. Чему равно среднее значение выборки 5, 6, 6, 7, 8, 8, 9, 11, 12? 11. На графике, изображённом на рисунке отражены объёмы продажи ручек в магазине канцтоваров в течение 6 месяцев. Сколько в среднем продавали ручек за один месяц. В выборке, состоящей из 10 чисел, число встречается 5 раз, число 5 — 3 раза, число 6 — 2 раза. Найдите среднее значение этой выборки. В таблице приведены данные о посещении художественной выставки в течение недели: Чему равен размах данной выборки? День недели Количество посетителей Понедельник 120 Вторник 200 Среда 210 Четверг 180 Пятница 300 Суббота 440 Воскресенье 410 Количество проданных ру чек, шт Июль 180 210 240 270 300 Август Сентябрь Октябрь Ноябрь Декабрь Рис. 13.11 Глава I. АРИФМЕТИКА. АЛГЕБРА. Какова вероятность того, что названное наугад натуральное число окажется положительным. В коробке лежат 10 белых и 5 красных шаров. Какое наименьшее количество шаров надо вынуть наугад из коробки, чтобы вероятность того, что среди них обязательно будут 2 белых шара, была равной 1? 16. В коробке лежат 42 карандаша, из них 14 карандашей красные, 16 карандашей — синие, а остальные — зелёные. Какова вероятность того, что наугад взятый карандаш не будет ни красным, ни синим) 3) 2) 4) 17. Вероятность того, что новая шариковая ручка пишет плохо или не пишет, равна 0,06. Виталий купил одну шариковую ручку. Найдите вероятность того, что эта ручка пишет хорошо. На подносе лежат одинаковые на вид пирожки пирожков с вишней, 8 пирожков с яблоком пирожков со сливой. Наугад берут один пирожок. Найдите вероятность того, что пирожок окажется с вишней. На экзамене было 24 билета. Иван не выучил три из них. Найдите вероятность того, что ему попадётся выученный билет 2 1 3 1 3 5 7 8 21 2 7 § 13. Элементы комбинаторики, теории вероятностей. В среднем из 120 электрических лампочек, поступивших в продажу, шесть неисправные. Найдите вероятность того, что выбранная наугад в магазине лампочка окажется исправной. Какова вероятность того, что при одном подбрасывании игрального кубика выпадет не более очков) 3) 2) 4) 22. Из слова математика наугад выбирают одну букву. Какова вероятность того, что выберут букву а. На 15 карточках записаны натуральные числа от 1 до 15. Какова вероятность того, что число, записанное на наугад выбранной карточке, не делится нацело ни на 3, ни на 5? 1) 3) 2) 4) 24. В магазине канцтоваров имеется в продаже ручек 46 красных, 56 чёрных, 64 синих, а остальные — зелёные. Найдите вероятность того, что при случайном выборе одной ручки будет выбрана чёрная или зелёная ручка. В ящике лежат 36 карточек, пронумерованных числами от 1 до 36. Какова вероятность того, что номер наугад выбранной карточки будет кратным числу 9? 1) 2) 3) 4) 1 3 3 4 2 3 1 2 3 5 2 3 8 15 7 15 1 4 1 9 1 6 1 36 Глава I. АРИФМЕТИКА. АЛГЕБРА. В лотерее разыгрывается 16 денежных иве щевых призов. Всего выпустили 1800 лотерейных билетов. Какова вероятность, купив один билет, не выиграть ни одного приза. Учитель изобразил на доске координатную прямую и попросил ученицу отметить наугад на отрезке точку. Какова вероятность того, что расстояние от этой точки до начала отсчёта будет не больше 1? 28. На рисунке 13.12 изображены два квадрата. Сторона большего квадрата равна 10 см, а сторона меньшего — 3 см. Наугад выбирают точку в большем квадрате. Какова вероятность того, что эта точка будет принадлежать и меньшему квадрату Часть 2 29. Сколько нечётных семизначных чисел можно записать с помощью цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, так, чтобы в каждом числе цифры были разными Рис. 13.12 § 13. Элементы комбинаторики, теории вероятностей. Сколько трёхзначных чисел можно записать с помощью цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6? 31. Рассматриваются четырёхзначные числа, в записи которых присутствуют две цифры 5, стоящие рядом, и по одному разу каждая из цифр и 0. Сколько существует таких чисел. Определите среднее значение и медиану выборки. По результатам тестирования по алгебре 25 учащихся класса составили таблицу, в которой отобразили количество ошибок, сделанных каждым из учащихся: Найдите моду и среднее значение выборки, постройте соответствующую диаграмму. Учащиеся 9 класса проходили тестирование по математике, где оценка выставлялась по балльной шкале. Средняя оценка 10 учащихся составила 81 балл. Какой должна быть средняя оценка остальных 20 учащихся класса, чтобы средняя оценка всего класса была 85 баллов. На скамейку в произвольном порядке садятся двое мальчиков и одна девочка. Какова вероятность того, что девочка будет сидеть между двумя мальчиками. В ящике лежат четыре карточки, на которых написаны числа 1, 2, 3 и 4. Какова вероятность того, что сумма чисел, записанных на двух наугад вынутых карточках, будет нечётным числом Количество ошибок 1 2 Количество учащихся 4 6 8 2 Глава I. АРИФМЕТИКА. АЛГЕБРА. В коробке лежат зелёные и синие шары. Сколько в коробке синих шаров, если зелёных в ней а вероятность того, что выбранный наугад шар окажется синим, равна ? 38. Бросают две монеты. Какова вероятность того, что выпадет один герб и одна цифра. Дважды бросают монету. Какова вероятность того, что оба раза выпадет герб. В правильном треугольнике со стороной 6 см наугад выбирают точку. Найдите вероятность того, что эта точка будет принадлежать кругу, вписанному в данный треугольник 5 ГЛАВА ГЕОМЕТРИЯ  перейти в каталог файлов | Образовательный портал Как узнать результаты егэ Стихи про летний лагерь 3агадки для детей |