ОГЭ 2018 Математика Новый полный справочник. Справочник для подготовки к огэ А. Г. Мерзляк, В. Б. Полонский
 Скачать 3.79 Mb.
| Образовательный портал Как узнать результаты егэ Стихи про летний лагерь 3агадки для детей |
| нера венства. З ада ч а. Докажите неравенство , где, Решение. Рассмотрим разность левой и правой частей данного неравенства. Имеем – = = B A b a a > Рис. 11.1 a b 2 ab a b 2 ab a b 2 ab 2 a b 2 2 § 11. Неравенства 217 Выражение принимает неотрицательные значения при любых неотрицательных значениях переменных a и b. Следовательно, доказываемое неравенство верно. Неравенства a > b и c > d (или a < b и c < d) называют неравенствами одного знака, а неравенства b и c < d (или a < b и c > d) — неравенствами противоположных знаков. Говорят, что неравенства a + c > b + d и ac > получены из неравенств a > b и c > d путем соответственно почленного сложения и умножения. Рассмотрим основные свойства числовых неравенств. Если a > b и b > c, то a > если a < b и b < то a < c. 2. Если a > b и c — любое число, то a + c > b + если a < b и c — любое число, то a + c < b + Если любое слагаемое перенести из одной части верного неравенства в другую, изменив знак слагаемого на противоположный, то получим верное неравенство. Если a > b и c — положительное число, то Если a > b и c — отрицательное число, то ac < Если a < b и c — положительное число, то ac < Если a < b и c — отрицательное число, то ac > Если обе части верного неравенства умножить или разделить на одно и тоже положительное число, то получим верное неравенство. Если обе части верного неравенства умножить или разделить на одно и тоже отрицательное число и изменить знак неравенства на противоположный, то получим верное неравенство 2 Глава I. АРИФМЕТИКА. АЛГЕБРА. Если a > b и ab > 0, то 5. Если a > b и c > d, то a + c > b + если a < b и d, то a + c < b + При почленном сложении верных неравенств одного знака результатом является верное неравенство того же знака. Это свойство справедливо ив случае почленного сложения трёх и более неравенств. Например, если b 1 , a 2 > b 2 и a 3 > b 3 , то a 1 + a 2 + a 3 > b 1 + b 2 + b 3 6. Если a > b, c > d и a, b, c, d — положительные числа, то ac > bd. Если a < b, c < d и a, b, c, d — положительные числа, то ac < При почленном умножении верных неравенств одного знака, у которых левые и правые части положительные числа, результатом является верное неравенство того же знака. Если a > b и a, b — положительные числа, то b n , где n — натуральное число. Все рассмотренные свойства неравенств справедливы ив случае нестрогих неравенств. Оценка значений числовых выражений с помощью свойств числовых неравенств Если известны значения границ величин, то, используя свойства числовых неравенств, можно найти границы значения выражения, содержащего эти величины, те. оценить его значение. З ада ч а Дано 6 < a < 8 и 10 < b < 12. Оцените значение выражения) a + b; 2) a – b; 3) ab; 4) ; 5) 3a – b. 1 a 1 b a b 1 2 § 11. Неравенства 219 Р е ш е ни е) Выполним почленное сложение неравенств) Умножив каждую часть неравенства 10 < b < на –1, получим –10 > –b > –12 или –12 < –b < – Учитывая, что a – b = a + (–b), далее получаем) Так как a > 6 и b > 10, то a и b принимают положительные значения. Выполним почленное умножение неравенств) Так как 10 < b < 12, то или. Учитывая, что = a · , имеем) Умножим каждую часть неравенства 6 < a < 8 на, а каждую часть неравенства 10 < b < 12 на – . + 6 < a < 8 10 < b < 12 16 < a + b < 20. + 6 < a < 8 –12 < –b < –10 –6 < a – b < –2. 6 < a < 8 10 < b < 12 60 < ab < 96. 6 < a < 8 1 10 1 b 1 12 1 12 1 b 1 10 a b 1 b 1 12 1 b 1 10 1 2 a b 4 5 1 2 Глава I. АРИФМЕТИКА. АЛГЕБРА Получим два верных неравенства 18 < 3a < 24 и < – b < –5. Сложим полученные неравенства: О т в е т 1) 16 < a + b < 20; 2) –6 < a – b < –2; 3) 60 < ab < 96; 4) ; 5) 12 < 3a – b < 19. 11.3. Общие сведения о неравенствах с одной переменной Пусть заданы две функции y = f(x) и y = g(x) и поставлена задача найти множество значений аргумента, при которых значения функции f больше (либо меньше) соответствующих значений функции. В таком случае говорят, что надо решить неравенство) (либо f (x) < g Решением неравенства с одной переменной называют значение переменной, которое обращает его в верное числовое неравенство. Так, каждое из чисел 15,1; 20; 10 является решением неравенства 14 + 2x > 44, а число 10 не является его решением. Решить неравенство означает найти все его решения или доказать, что решений не существует. Все решения неравенства образуют множество решений неравенства. Если неравенство решений не имеет, то множество его решений является пустым < 3a < 24 –6 < – b < –5 12 < 3a – b < 19. 1 2 1 2 1 2 1 2 a b 4 5 1 2 3 § 11. Неравенства 221 Можно сказать, что решить неравенство означает найти множество его решений. Например, в задаче решите неравенство x 2 > ответ будет таким все действительные числа, кроме числа Неравенство | x | < 0 решений не имеет, темно жеством его решений является пустое множество. Неравенства называют равносильными если они имеют равные множества решений. Неравенства x 2 0 и | x | 0 равносильны. Действительно, каждое из них имеет единственное решение Неравенства x 2 > –1 и | x | > –2 равносильны, так как множеством решений каждого из них является множество действительных чисел. Поскольку каждое из неравенств < –1 и < –3 решений не имеет, то они также являются равносильными. Правила, которые применяют при решении неравенств с одной переменной: если какое либо слагаемое перенести из одной части неравенства в другую, изменив при этом его знак на противоположный, то получим неравенство, равносильное данному; если обе части неравенства умножить (разделить) на одно и тоже положительное число, то получим неравенство, равносильное данному; если обе части неравенства умножить (разделить) на одно и тоже отрицательное число, изменив при этом знак неравенства на противоположный, то получим неравенство, равносильное данному Глава I. АРИФМЕТИКА. АЛГЕБРА. Числовые промежутки Таблица обозначений и изображений числовых промежутков. Неравенство Проме жуток Изображение Читают x > a (a; + промежуток от a до плюс бесконечности промежуток от минус бесконечности до a x a [a; + промежуток от a до плюс бесконечности, включая a x a (– ; промежуток от минус бесконечности до a, включая a a x b [a; промежуток от a до b, включая a и b a < x < b (a; промежуток от a до b a < x b (a; промежуток от a до b, включая промежуток от a до b, включая Любое неравенство с одной переменной, верное при всех значениях этой переменной ; + промежуток от минус бесконечности до плюс бесконечности, или вся числовая прямая. Неравенства. Линейные неравенства с одной переменной. Системы линейных неравенств Неравенства вида ax > b, ax < b, ax b , где x — переменная, a и b — некоторые числа, называют линейными неравенствами с одной пере менной. З ада ч а 1. Решите неравенство + Решение. Запишем цепочку равносильных неравенств Ответ Задача. Решите неравенство (2x – 1) + 7 2 (3x + Решение. Имеем – 3 + 7 6x + 2; 6x – 6x 2 – 4; 0x Последнее неравенство при любом значении превращается в верное числовое неравенство. Следовательно, искомое множество решений совпадает с множеством всех чисел. О т в е т x — любое число. Этот ответ можно записать иначе (– ; + Задача. Решите неравенство (x – 2) – 1 < 2 (2x – 9). x 1 2 x 3 1 6 x 1 2 x 3 1 6 4 5 4 5 Глава I. АРИФМЕТИКА. АЛГЕБРА Р е ш е ни е. Имеем – 8 – 1 < 4x – 18; 4x – 4x < 9 – 18; 0x < Полученное неравенство при любом значении превращается в неверное числовое неравенство < Ответ Если требуется найти всеобщие решения двух или нескольких неравенств, то говорят, что надо решить систему неравенств. Систему неравенств записывают с помощью фигурной скобки. Так, для нахождения области определения функции y = + надо решить систему неравенств (*) Решением системы неравенств с одной переменной называют значение переменной, которое обращает каждое неравенство системы в верное числовое неравенство. Например, числа 2, 3, 4, 5 являются решениями системы (*), а число 7 не является её решением. Решить систему неравенств — означает найти все её решения или доказать, что решений нет. Все решения системы неравенств образуют множество решений системы неравенств. Если система решений не имеет, то множество её решений является пустым. Таким образом, можно сказать, что решить систему неравенств означает найти множество её решений. 2x 1 5 x 2x – 1 0, 5 – x 0. § 11. Неравенства 225 Например, в задаче Решите систему неравенств ответ будет таким множество действительных чисел». Очевидно, что множество решений системы состоит из единственного числа Система решений не имеет, те. множеством её решений является пустое множество. З ада ч а 4. Решите систему неравенств Р е ш е ни е. Имеем С помощью координатной прямой найдём пересечение промежутков (– ; 1) и + ), являющихся множествами решений неравенств данной системы (рис. 11.2). Искомое пересечение состоит из всех чисел, удовлетворяющих неравенству –2 x < 1. Ответ Задача. Найдите область определения функции+ Решение. Искомая область определения — это множество решений системы Имеем 0x –1, |x| 0 x 5, x 5 x > 5, x < 5 4x – 3 < 1, 3 – x 5. 4x < 4, –x 2; x < 1, x –2. –2 Рис. 11.2 1 x 1 x 5 x – 1 > 0, x + 5 0. x > 1, x –5. Глава I. АРИФМЕТИКА. АЛГЕБРА Изобразим на координатной прямой пересечение промежутков) ирис. Этим пересечением является промежуток (1; + Ответ. Квадратные неравенства Неравенства вида ax 2 + bx + c > 0, ax 2 + bx + c < 0, ax 2 + bx + c 0, ax 2 + bx + c 0, где x — переменная и c — некоторые числа, причём a 0, называют квадратными. Схематическое расположение параболы ax 2 + bx + c относительно оси абсцисс в зависимости от знаков чисел a и D отображено в таблице — дискриминант квадратного трёхчлена ax 2 + bx + c, x 1 и x 2 — нули функции y = ax 2 + + bx + c, x 0 — абсцисса вершины параболы): Разъясним, как эту таблицу можно использовать для решения квадратных неравенств > 0 D = 0 D < 0 a > 0 a < 0 –5 Рис. 11.3 x x 1 x 2 1 x x 0 2 x 3 x x 1 x 2 4 x x 0 5 x 6 § 11. Неравенства 227 Пусть, например, надо решить неравенство+ bx + c > 0, где a < 0 и D > 0. Этим условиям соответствует ячейка ❹ таблицы. Тогда ясно, что ответом будет промежуток (x 1 ; x 2 ), на котором график соответствующей квадратичной функции расположен над осью абсцисс. З ада ч а 1. Решите неравенство 2x 2 – x – 1 > Решение. Для квадратного трёхчлена 2x 2 – x – имеем a = 2 > 0, D = 9 > 0. Этим условиям соответствует ячейка ❶ таблицы. Решим уравнение – x – 1 = 0. Получим x 1 = – , x 2 = 1. Тогда схематически график функции y = 2x 2 – x – 1 можно изобразить так, как показано на рисунке Из рисунка 11.4 видно, что соответствующая квадратичная функция принимает положительные значения на каждом из промежутков и (1; + Ответ – ; – (1; + Задача. Решите неравенство –9x 2 + 6x – 1 < Решение. Имеем a = –9, D = Этим условиям соответствует ячейка ❺ таблицы. Устанавливаем, что Тогда схематически график функции y = –9x 2 + 6x – 1 можно изобразить так, как показано на рисунке 11.5. 1 2 x 1 Рис. 11.4 1 2 Рис. 11.5 x 1 3 – 1 3 Глава I. АРИФМЕТИКА. АЛГЕБРА Из рисунка 11.5 видно, что решениями неравенства являются все числа, кроме Ответ Задача. Решите неравенство 3x 2 – x + 1 < Решение. Имеем a = 3 > 0, D = –11 < 0. Этим условиям соответствует ячейка ❸ таблицы. В данном случае график функции y = 3x 2 – x + 1 не имеет точек с отрицательными ординатами. Ответ: решений нет. З ада ч а 4. Решите неравенство 0,2x 2 + 2x + 5 Решение. Так как a = 0,2, D = 0, то данному случаю соответствует ячейка ❷ таблицы, причём x 0 = –5. Нов этом случае квадратичная функция принимает только неотрицательные значения. Следовательно, данное неравенство имеет единственное решение Ответ Примеры заданий № Часть 1 1. Среди данных чисел укажите решение неравенства. Известно, что a > b. Укажите неверное утверждение 1 3 1 3 1 3 3 7 4 7 2 7 11 21 17 28 13 21 § 11. Неравенства. Известно, что –9 < y < 6. Оцените значение выражения + 2 < 2 4) –1 < y + 2 < 2 4. Какое изданных неравенств не имеет решений) 0x > –4 3) 0x 0 2) 0x < 4 4) 0x > 0 5. Какое изданных неравенств выполняется при всех действительных значениях x? 1) x 2 > 0 3) x > –x 2) –x 2 0 4) x + 1 > 0 6. Укажите неравенство, не имеющее решений) 1 3) 1 2) 1 4) 1 7. Укажите рисунок, на котором изображено множество решений неравенства x + 6 > 5x – 4. 8. При каких значениях a выражение 3a + 2 принимает отрицательные значения) a > – 3) a > – 2) a < – 4) a < – 1 3 1 3 1 3 1 3 1 3 x 2 1 x 2 1 x 2 1 x 2 1 x 2 1 x 2 x 2 x 2 1 2,5 2,5 0,4 0,4 1) 2) 3) 4) 3 2 2 3 3 2 2 3 Глава I. АРИФМЕТИКА. АЛГЕБРА. Укажите множество решений неравенства – 5(2x + 3) 20. 1) (– ; –5] 3) (– ; –35] 2) [–5; + ) 4) [–35; + ) 10. Укажите множество решений неравенства – 3,5)(7 – 3x) > 0. 1) ; + 3) – ; 2) – ; + 4) – ; – 11. При каких значениях x значение выражения + 5 меньше значения выражения 9x – 16? 1) x > 7 2) x < 7 3) x > –7 4) x < –7 12. Найдите множество решений неравенства – 3 > 0, если a < 0. 1) – ; – 3) – ; + 2) – ; 4) ; + 13. Решите систему неравенств 1) x > –3 2) x < 8 3) 3 < x < 8 4) –3 < x < 8 14. Укажите рисунок, на котором изображено множество решений системы неравенств 7 3 7 3 7 3 7 3 3 a 3 a 3 a 3 a x + 1 < 9, –2x < 6. –30x + 6x < 0, 6 – 2x > 4. 1) 2) 3) 4) 1 5 1 5 1 § 11. Неравенства. Укажите множество решений системы неравенств. Укажите систему неравенств, имеющую единственное решение) 3) 2) 4) 17. Найдите наибольшее значение x, удовлетворяющее системе неравенств 18. Укажите неравенство, множество решений которого изображено на рисунке 11.6. 1) x 2 – 2x > 0 2) x 2 – 4 > 0 3) x 2 – 2x < 0 4) x 2 – 4 < 0 19. Укажите рисунок, на котором изображено множество решений неравенства 49x 2 25. 20. Укажите множество решений неравенства – x – x 2 > 0. 1) (–5; 4) 3) (–4; 5) 2) (– ; –5) (4; + ) 4) (– ; –4) (5; + ) 4x – 16 > 0, 7 – 3x > –2. x 4, x 5 x 4, x 5 x 4, x 4 x 4, x 5 2x + 14 0, x + 6 3. 2 Рис. 11.6 1) 2) 3) 4) 5 7 – 5 7 – – 5 7 – 5 7 – – 5 7 – – 5 7 – Глава I. АРИФМЕТИКА. АЛГЕБРА. Укажите неравенство, не имеющее решений) x 2 – 4x – 11 < 0 2) x 2 – 4x – 11 > 0 3) x 2 – 4x + 11 < 0 4) x 2 – 4x + 11 > 0  перейти в каталог файлов | Образовательный портал Как узнать результаты егэ Стихи про летний лагерь 3агадки для детей |