ОГЭ 2018 Математика Новый полный справочник. Справочник для подготовки к огэ А. Г. Мерзляк, В. Б. Полонский

§ 19. Площадь и объём
379
З ада ч а. Стороны треугольника равны 17 см см и 80 см. Найдите наименьшую высоту треугольника, радиусы его вписанной и описанной окружностей.
Р е ш е ни е. Пусть a = 17 см, b = 65 см, c = 80 см.
Полупериметр треугольника p =
=
= 81 (см, его площадь S =
=
=
=
=
= 9 8 4 = 288 (см
2
).
Наименьшей высотой треугольника является высота h, проведённая к его наибольшей стороне Так как S = ch, то h =
=
= 7,2 (см).
Радиус вписанной окружности r =
=
=
=
(см).
Радиус описанной окружности R =
=
=
=
=
(см).
О т в е т 7,2 см, см, см. Площадь круга. Площадь сектора
Площадь S круга радиуса R вычисляют по формуле = R
2 17 65 80 2
p p
a
p
b
p
c
81 81 17 81 65 81 80 81 64 16 1
2 2S
c
2 288 80
S
p
288 81 32 9
abc
4S
17 65 80 4 288 17 65 5 4 18 5525 72 32 9
5525 72

Глава II. ГЕОМЕТРИЯ
Площадь S сектора, содержащего дугу окружности в n , вычисляют по формуле = Задача. В окружность сцен тром O, радиус которой равен см, вписан правильный восьмиугольник рис. 19.6). Найдите площади сектора и сегмента, содержащих дугу AB. Решение. Угол AOB — центральный угол правильного восьмиугольника, AOB =
= 45 Тогда искомая площадь сектора сект
=
= 8 (см, площадь сегмента S
сегм
= сект – S
AOB
=
= 8 – OA
2
sin AOB = 8 – 16
(см
2
).
О т в е т 8 см, (8 – 16
) см. Формулы объёмов
прямоугольного параллелепипеда, куба и шара
Объём прямоугольного параллелепипеда равен произведению трёх его измерений = abc, где V — объём, a, b и c измерения параллелепипеда.
Объём куба V вычисляют по формуле = a
3
, где а — длина ребра куба.
R
2
n
360
K
M
F
E
D
C
B
A
O
Рис. 19.6 360 8
8 2
45 360 1
2 2
2

§ 19. Площадь и объём
381
Объём V шара вычисляют по формуле =
R
3
, где R — радиус шара.
Примеры заданий № Часть 1
1. На клетчатой бумаге с размером клетки 1 изображена фигура (рис. 19.7). Найдите её площадь. Найдите площадь параллелограмма, сторона которого равна 12 см, а высота, проведённая к ней, —
8 см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах. Вычислите площадь параллелограмма, две стороны которого равны 6 см и 5
см, а угол между ними — 45 .
1) 30 см 2) 15 см 3) 30
см 4) 15
см Рис. 19.7 2
2 2

Глава II. ГЕОМЕТРИЯ. Формула расстояния между двумя точками. Координаты середины отрезка
Расстояние между точками A (x
1
; y
1
) и B (x
2
; вычисляют по формуле
AB
= Пусть A (x
1
; y
1
) и B (x
2
; y
2
) — точки координатной плоскости. Координаты (x
0
; y
0
) точки M — середины отрезка AB — вычисляют по формулам =
,
y
0
= Задача. Точка M (2; –5) — середина отрезка, A (–1; 3). Найдите координаты точки Решение. Обозначим (x
B
; y
B
) — координаты точки B, (x
A
; y
A
) — координаты точки A,
(x
M
; y
M
) — координаты точки Поскольку
=
x
M
, то
= 2;
–1 + x
B
= 4; x
B
= Аналогично
=
y
M
;
= –5; y
B
= Ответ Задача. Докажите, что четырёхугольник
ABCD
с вершинами в точках A (2; –1), B (1; 3),
C
(–3; 2) и D (–2; –2) является прямоугольником.
Р е ш е ни е. Пусть точка M — середина диагонали. Тогда =
=
= –0,5;
y
M
=
=
= 0,5.
x
2
x
1 2
y
2
y
1 2
x
1
x
2 2
y
1
y
2 2
x
A
x
B
2 1
x
B
2
y
A
y
B
2 3
y
B
2
x
A
x
C
2 2
3 2
y
A
y
C
2 1
2 2

§ 20. Декартовы координаты на плоскости
391
Следовательно, M (–0,5; Пусть точка K — середина диагонали BD. Тогда =
=
= –0,5;
y
K
=
=
= 0,5, K (–0,5; Следовательно, точки M и K совпадают. Те. диагонали четырёхугольника ABCD имеют общую середину. Отсюда следует, что ABCD — параллелограмм. Далее =
=
,
BD
=
= Следовательно, диагонали параллелограмма равны. Отсюда следует, что этот параллелограмм является прямоугольником. Уравнение фигуры. Уравнение окружности
Уравнением фигуры F, заданной на плоскости называют уравнение с двумя переменными x и обладающее такими свойствами) если точка принадлежит фигуре F, то её координаты являются решением данного уравнения) любое решение (x; y) данного уравнения является координатами точки, принадлежащей фигуре Например, уравнение прямой, изображённой на рисунке 20.4, имеет вида уравнение гиперболы, изображённой на рисунке 20.5, имеет вид y Если данное уравнение является уравнением фигуры, то эту фигуру можно рассматривать как 1
2 2
y
B
y
D
2 3
2 2
3 2
2 2
1 2
34 2
1 2
2 3
2 34 1
x