ОГЭ 2018 Математика Новый полный справочник. Справочник для подготовки к огэ А. Г. Мерзляк, В. Б. Полонский
 Скачать 3.79 Mb.
| Образовательный портал Как узнать результаты егэ Стихи про летний лагерь 3агадки для детей |
| Часть 2 20. Известно, что . Найдите , если 1), (–2; 3). m 3n n 3 Рис. 21.23 DB DC AD DC CD CE m n m n c 2a 3b c a b Глава II. ГЕОМЕТРИЯ. Найдите угол между векторами (–2; 2 ) и ). 22. Вычислите скалярное произведение , если = 1, 23. На стороне AD параллелограмма ABCD отметили точку K так, что AK : KD = 1 : 2. Выразите вектор через векторы и , где , 24. На сторонах BC и CD параллелограмма отметили соответственно точки E итак, что EC = 3 : 4, CF : FD = 1 : 3. Выразите вектор через векторы и 25. На стороне AD и диагонали AC параллелограмма отметили соответственно точки N итак, что AN = AD, AM = AC. Докажите, что точки N, M и B лежат на одной прямой 22. Геометрические преобразования. Движение фигуры. Параллельный перенос Преобразование фигуры F, сохраняющее расстояние между её точками, называют движением фигуры F. a 3 b 3 a 2b a b a b a b 120 BK a b a AB b AD EF AB a AD b 1 5 1 6 § 22. Геометрические преобразования 417 При движении фигуры F образами любых её трёх точек, лежащих на одной прямой, являются три точки, лежащие на одной прямой, а образами трёх точек, не лежащих на одной прямой, являются три точки, не лежащие на одной прямой. При движении отрезка, луча, прямой, угла образами являются соответственно отрезок, луч, прямая, угол. Если при движении угла ABC его образом является угол A 1 B 1 C 1 , то Если при движении треугольника ABC его образом является треугольник A 1 B 1 C 1 , то ABC = Две фигуры называют равными, если существует движение, при котором одна изданных фигур является образом другой. Запись F = F 1 означает, что фигуры F и F 1 равны. Пусть даны некоторая фигура F и вектор . Каждой точке X фигуры F поставим в соответствие точку такую, что . В результате такого преобразования фигуры F получим фигуру F 1 (рис. Описанное преобразование фигуры F называют параллельным переносом на вектор и обозначают так . Пишут (F) = Рис. 22.1 a XX 1 a a T a T a Глава II. ГЕОМЕТРИЯ Свойства параллельного переноса. Параллельный перенос является движением. Если (F) = F 1 , то F 1 = Задача. Точка A 1 (–2; 3) является образом точки) при параллельном переносе навек тор . Найдите координаты вектора и координаты образа точки B (–7; Решение. Из условия следует, что Отсюда (–1; 1). Пусть B 1 (x; y) — образ точки –3). Тогда , те и+ 3 = 1. Отсюда x = –8, y = –2. 22.2. Осевая симметрия Точки A и A 1 называют симметричными относительно прямой l, если прямая l является серединным перпендикуляром отрезка AA 1 (рис. 22.2). Если точка A принадлежит прямой l, то её считают симметричной самой себе относительно прямой Например, точки A и A 1 , ординаты которых равны, а абсциссы — противоположные числа, симметричны относительно оси ординат (рис. Рис. Рис. Рис. 22.4 § 22. Геометрические преобразования 419 Рассмотрим фигуру F и прямую l. Каждой точке фигуры F поставим в соответствие симметричную ей относительно прямой l точку X 1 . В результате такого преобразования фигуры F получим фигуру рис. 22.4). Описанное преобразование фигуры F называют осевой симметрией относительно прямой l и обозначают так S l . Пишут S l (F) = F 1 . Прямую l называют осью симметрии. Также говорят, что фигуры и F 1 симметричны относительно прямой Свойства осевой симметрии. Осевая симметрия является движением. Если S l (F) = F 1 , то F = Фигуру F называют симметричной относительно прямой l, если S l (F) = F. Прямую l называют осью симметрии фигуры F. Также говорят, что фигура имеет ось симметрии. На рисунке 22.5 изображён равнобедренный треугольник. Прямая, содержащая его высоту, прове дённую к основанию, является осью симметрии тре угольника. Любой угол имеет ось симметрии — это прямая, содержащая его биссектрису (рис. Равносторонний треугольник имеет три оси симметрии (рис. Рис. Рис. Рис. 22.7 Глава II. ГЕОМЕТРИЯ З ада ч а. Точки A и B лежат водной полуплоскости относительно прямой a. Найдите на прямой такую точку X, чтобы сумма AX + XB была наименьшей. Решение. Пусть S a (A) = A 1 . Покажем, что искомой точкой X является точка пересечения прямых и Пусть Y — произвольная точка прямой a, отличная от точки X (рис. 22.8), отрезки A 1 X и A 1 Y образы отрезков AX и AY при симметрии относительно прямой a соответственно. Тогда AX = A 1 X , AY = Имеем AX + BX = A 1 X + BX = A 1 B < A 1 Y + YB = = AY + YB. 22.3. Центральная симметрия Точки A и A 1 называют симметричными относительно точки O, если точка O является серединой отрезка рис. 22.9). Точку O считают симметричной самой себе. Рис. Рис. 22.9 § 22. Геометрические преобразования 421 Например, точки A и A 1 , у которых соответствующие абсциссы и ординаты — противоположные числа, симметричны относительно начала координат (рис. Рассмотрим фигуру F и точку O. Каждой точке фигуры F поставим в соответствие симметричную ей относительно точки O точку X 1 . В результате такого преобразования фигуры F получим фигуру рис. 22.11). Описанное преобразование фигуры называют центральной симметрией относительно точки O и обозначают так S O . Пишут S O (F) = Точку O называют центром симметрии. Также говорят, что фигуры F и F 1 симметричны относительно точки O. Свойства центральной симметрии. Центральная симметрия является движением. Если S O (F) = F 1 , то F = Фигуру F называют симметричной относительно точки O, если S O (F) = Точку O называют центром симметрии фигуры. Также говорят, что фигура имеет центр симмет рии. Рис. Рис. 22.11 Глава II. ГЕОМЕТРИЯ Центром симметрии отрезка является его середина (рис. Точка пересечения диагоналей параллелограмма является его центром симметрии (рис. Существуют фигуры, имеющие бесконечно много центров симметрии. Например, каждая точка прямой является её центром симметрии. Также бесконечно много центров симметрии имеет фигура, состоящая из двух параллельных прямых. Любая точка прямой, равноудалённой от двух данных, является центром симметрии рассматриваемой фигуры (рис. Задача. Точка M принадлежит углу рис. 22.15). На сторонах BA и BC угла найдите такие точки E и F, чтобы точка M была серединой отрезка Рис. Рис. Рис. Рис. Рис. 22.16 § 22. Геометрические преобразования 423 Р е ш е ни е. Пусть прямая A 1 B 1 — образ прямой при центральной симметрии относительно точки M (рис. 22.16). Обозначим F — точку пересечения прямых A 1 B 1 и BC. Найдём прообраз точки F. Очевидно, что он лежит на прямой AB. Поэтому достаточно найти точку пересечения прямых FM и AB. Обозначим эту точку E. Тогда E и F — искомые точки. Поворот На рисунке 22.17 изображены точки O, X, X 1 и такие, что OX 1 = OX 2 = OX, X 1 OX = X 2 OX = Говорят, что точка X 1 является образом точки при повороте вокруг центра O против часовой стрелки на угол . Также говорят, что точка X 2 это образ точки X при повороте вокруг центра O почасовой стрелке на угол . Точку O называют центром поворота, угол — углом поворота. Рассмотрим фигуру F, точку O и угол . Каждой точке X фигуры F поставим в соответствие точку, являющуюся образом точки X при повороте вокруг центра O против часовой стрелки на угол если точка O принадлежит фигуре F, то ей сопо Рис. Рис. Рис. 22.19 Глава II. ГЕОМЕТРИЯ ставляется она сама. В результате такого преобразования фигуры F получим фигуру F 1 (рис. 22.18, 22.19). Описанное преобразование фигуры F называют поворотом вокруг центра O против часовой стрелки на угол и обозначают так . Пишут. Точку O называют центром поворота. Аналогично определяют преобразование поворота фигуры почасовой стрелке на угол рис. 22.20). Поворот почасовой стрелке обозначают так Пишут Свойства поворота. Поворот является движением. Если фигура F 1 — образ фигуры F при повороте, то F = Задача. Даны прямая a и точка O, ей не принадлежащая. Постройте образ прямой a при повороте вокруг точки O против часовой стрелки на угол 45 Решение. Так как поворот это движение, то образом прямой a будет прямая. Для построения прямой достаточно знать две любые её точки. Выберем на прямой a произвольные точки A ирис. Пусть точки A 1 и — их образы при повороте вокруг точки O против часовой стрелки на угол . Тогда прямая A 1 B 1 — образ прямой Рис. Рис. 22.21 § 22. Геометрические преобразования. Гомотетия. Подобие фигур Если точки O, X и X 1 таковы, что = где k 0, то говорят, что точка X 1 — это образ точки при гомотетии с центром O и коэффициентом Точку O называют центром гомотетии, число k коэффициентом гомотетии, Рассмотрим фигуру F и точку O. Каждой точке фигуры F поставим в соответствие точку X 1 , являющуюся образом точки X при гомотетии с центром и коэффициентом k (если точка O принадлежит фигуре F, то ей сопоставляется она сама. В результате такого преобразования фигуры F получим фигуру (рис. 22.22, 22.23). Описанное преобразование называют гомотетией фигуры F с центром O и коэффициентом k и обозначают так . Пишут. Также говорят, что фигура F 1 гомоте тична фигуре F с центром O и коэффициентом Например, на рисунке 22.24 треугольник A 1 B 1 C 1 гомотетичен треугольнику ABC с центром O и коэффициентом, равным –3. Пишут Рис. Рис. 22.23 H O 3 ABC A 1 B 1 C 1 Глава II. ГЕОМЕТРИЯ Также можно сказать, что треугольник ABC го мотетичен треугольнику A 1 B 1 C 1 стем же центром, но коэффициентом гомотетии, равным – . Пишут = При гомотетии фигуры F с коэффициентом k все расстояния между её точками изменяются в | k | раз, т. е. если A и B — произвольные точки фигуры F, аи B 1 — их соответствующие образы при гомотетии с коэффициентом k, то A 1 B 1 = | k При гомотетии отрезка, луча, прямой образами являются соответственно отрезок, луч, прямая. При гомотетии угла образом является угол, равный данному. При гомотетии треугольника образом является треугольник, подобный данному. Две фигуры называют подобными, если одну из них можно получить из другой в результате композиции двух преобразований гомотетии и движения (рис. Рис. 22.24 1 3 H O 1 Рис. 22.25 § 22. Геометрические преобразования 427 Запись F F 1 означает, что фигуры F и F 1 подобны. Также говорят, что фигура F 1 — образ фигуры при преобразовании подобия. При преобразовании подобия фигуры F расстояния между её точками изменяются водно и тоже число раз. Пусть A и B — произвольные точки фигуры F, а точки A 1 и B 1 — их образы при преобразовании подобия. Точки A 1 и B 1 принадлежат фигуре F 1 , которая подобна фигуре F. Число k = называют коэффициентом подобия. Говорят, что фигура F 1 подобна фигуре F с коэффициентом подобия k, а фигура подобна фигуре F 1 с коэффициентом подобия Отношение площадей подобных многоугольников равно квадрату коэффициента подобия. З ада ч а. Пусть отрезок CD высота прямоугольного треугольника Найдите радиус r вписанной окружности треугольника, если радиусы окружностей, вписанных в треугольники и BCD, соответственно равны r 1 и Решение. Так как угол A — общий для прямоугольных треугольников ACD ирис. то эти треугольники подобны. Пусть коэффициент подобия равен k 1 . Очевидно, что k 1 = . Аналогично с коэффициентом k 2 = Рис. 22.26 r 1 r r 2 r Глава II. ГЕОМЕТРИЯ Обозначим площади треугольников ACD, BCD и соответственно S 1 , S 2 и S. Имеем = = ; = = Отсюда = = Получаем, что , те. Примеры заданий № Часть 1 1. Сколько существует параллельных переносов, при которых образом прямой является параллельная ей прямая) один) бесконечно много) два) ни одного. Найдите координаты точки, являющейся образом точки A (2; –3) при параллельном переносе на вектор (–1; 4). 1) (1; 1) 2) (–1; –1) 3) (3; –7) 4) (–3; 7) 3. Четырёхугольник ABCD, изо бражённый на рисунке 22.27, трапеция с основаниями AD и Укажите пару прямых, каждая из которых может быть образом прямой BC при параллельном переносе) AB и BC 3) CD и AD 2) BC и CD 4) AD и BC S 1 S k 1 2 r 1 2 r 2 S 2 S k 2 2 r 2 2 r 2 r 1 2 r 2 2 r 2 S 1 S 2 S r 2 r 1 2 r 2 2 r r 1 2 r 2 Рис. 22.27 § 22. Геометрические преобразования. Укажите уравнение окружности, являющейся образом окружности x 2 + y 2 = 4 при параллельном переносе на вектор (–5; 4). 1) (x + 5) 2 + (y – 4) 2 = 4 2) (x – 5) 2 + (y – 4) 2 = 4 3) (x – 5) 2 + (y + 4) 2 = 4 4) (x + 5) 2 + (y + 4) 2 = 4 5. Какие координаты имеет образ точки B (3; – при симметрии относительно оси абсцисс) (–4; 3) 3) (–3; –4) 2) (3; 4) 4) (–3; 4) 6. Какие координаты имеет образ точки A (–2; при симметрии относительно оси ординат) (2; –5) 3) (–2; –5) 2) (2; 5) 4) (5; –2) 7. Сколько осей симметрии имеет прямоугольник, не являющийся квадратом. Какая изданных фигур имеет только одну ось симметрии) квадрат) парабола) окружность) отрезок. Какая изданных фигур имеет ровно две оси симметрии) луч) квадрат) отрезок) окружность. Относительно какой точки симметричны точки 3) и B (0; –1)? 1) C (–2; 4) 3) E (1; 1) 2) D (–1; 1) 4) F (–2; 2) 11. Какие координаты имеет образ точки B (7; при симметрии относительно начала координат) (–10; 7) 3) (7; 10) 2) (–7; –10) 4) (–7; 10) a Глава II. ГЕОМЕТРИЯ. Какие координаты имеет точка, симметричная точке C (–3; 5) относительно точки D (1; –7)? 1) (4; –12) 3) (–7; 17) 2) (–1; –1) 4) (5; –19) 13. Сколько центров симметрии имеет трапеция) один) четыре) два) ни одного. Какая изданных фигур не имеет центра симметрии) квадрат) окружность) отрезок) равносторонний треугольник. Точка O — центр правильного двенадцатиуголь ника, изображённого на рисунке 22.28. Укажите образ стороны A 2 A 3 при повороте вокруг точки почасовой стрелке на угол 150 . 1) A 10 A 11 3) A 6 A 7 2) A 9 A 10 4) A 7 A 8 16. Квадрат CDEF, изображённый на рисунке, является образом квадрата ABCD при повороте почасовой стрелке на угол 90 . Какая точка является центром поворота) A 3) D 2) C 4) Рис. Рис. 22.29 § 22. Геометрические преобразования. Медианы треугольника ABC, изображённого на рисунке, пересекаются в точке. Найдите коэффициент гомотетии с центром в точке, при которой точка является образом точки B 1 1) 2) 3) 4) 18. Какая изданных фигур совпадает со своим образом при гомотетии с центром O и коэффициентом. Какая изданных фигур совпадает со своим образом при гомотетии с центром O и коэффициентом и k 1? 20. Точка A 1 (–1; 4) является образом точки A (2; при гомотетии с центром вначале координат. Чему равен коэффициент гомотетии? Рис. 22.30 2 3 1 3 2 3 1 3 1) 2) 3) 4) 1) 2) 3) 4) Глава II. ГЕОМЕТРИЯ. Укажите движение, при котором образом че тырёхугольника ABCD, изображённого на рисунке, является четырёхугольник MNKP. 1) осевая симметрия) центральная симметрия) параллельный перенос) поворот. Укажите движение, при котором образом четырёхугольника ABCD, изображённого на рисунке, является четырёхугольник MKNP. 1) осевая симметрия) центральная симметрия) параллельный перенос) поворот  перейти в каталог файлов | Образовательный портал Как узнать результаты егэ Стихи про летний лагерь 3агадки для детей |