Решение задач повышенной сложности Часть 2 Петропавловск-Камчатский

42
ки, теоремы об изменении импульса. Теорема читается так Производная повремени от импульса материальной точки равна действующей на эту точку силе.
Умножим уравнение * на бесконечно малый промежуток времени dt
 
dt
F
v m
d
,
p d
dt
F






, величина называется элементарным импульсом действующей силы. Уравнение выражает собой математическую запись теоремы об изменении импульса Дифференциал импульса (количества движения) материальной точки равен элементарному импульсу, действующей на точку силы.
4. Проинтегрируем уравнение с учётом того, что переменными величинами являются скорость и время
 



2 1
2 1
v v
t t
dt
F
v m
d


5. Если силане является функцией времени, то процесс интегрирования достаточно прост


t
F
p
,
t t
F
v m
v m
1 2
1 2











6. Изменение импульса материальной точки за конечный промежуток времени равно вектору действующей силы. Если к точке приложена система сил
 





n k
1
k k
v m
d dt
F


7. При решении практических задач большое значение имеет частный случай теоремы об изменении импульса. Если материальная точка не подвержена действию сил, или система сил эквивалентна нулю, то
 
const v
m
,
0
v m
d то
,
0
F
если n
k
1
k k










8. Уравнение является законом сохранения импульса материальной точки. Если система сил, действующих на движущуюся материальную точку эквивалентна нулю, то вектор импульса остаётся неизменным как по модулю, таки по направлению.
9. Ввиду постоянства массы точки, уравнение указывает на неизменность вектора скорости, те. точка движется равномерно и прямолинейно. Использование закона сохранения импульса при решении практических задач, в ряде случаев, позволяет существенно упростить процесс, т.к. в этом случае отпадает необходимость составлять дифференциальные уравнения второго закона Ньютона и интегрировать их.
10. Прыжок человека в перпендикулярном движению тележки направлению не вносит изменения в величине и направлении скорости тележки, поэтому закон сохранения импульса запишется такс м 300 5
240
m
M
Mv u
;
u Решение
1. Бросок камня конькобежцем происходит под действием внутренних сил системы "конькобежец камень, поэтому проекция импульса системы на направление движения конькобежца должен сохраняться

см см Решение
1. Пусть материальная точка заданной массы m движется под действием постоянной силы в плоскости чертежа по криволинейной траектории. Сила в данном случае является главным вектором системы сил, приложенных к точке. Для материальной точки возможно записать второй закон Ньютона в векторной форме dt v
d m
a или a
m
F






2. Умножим правую и левую части уравнения на бесконечно малое перемещение r
d
v d
v m
dt r
d v
d m
r d
F









6. Величина, r
d
F называется элементарной работой силы F

на перемещении r
d


Дж
Нм
,
cos
Fdr где угол между вектором силы и вектором перемещения. Из уранения следует, что элементарная работа, определяемая скалярным произведением векторов, также является скалярной величиной.
7. Введение в рассмотрение элементарной работы обусловлено необходимостью вычислений работу при движении точки по криволинейным траекториям, когда невозможно однозначно определить угол между перемещением и силой. В этом случае участок траектории, например 1
 2, разбивается на бесконечное число элементарных участков протяжённостью r
d
каждый, для которых угол легко определяется ввиду их прямолинейности. На каждом участке вычисляется элементарная работа, а затем работы суммируются













n k
1
k k
n
2 1
2 1
A
A
A
A
A

8. Элементарная работа, как следует из уравнения, в зависимости от величины угла

может быть, при прочих равных условиях, положительной, отрицательной или равной нулю.
9. Полная работа наконечном перемещении определится при устремлении dr
0, что приводит к криволинейному интегралу



L
2 1
;
r d
F
A


Этот криволинейный интеграл даёт возможность определять работу А силы при перемещении точки по траектории L Таким образом, работа в общем случае зависит от вида кривой.
Работа постоянной силы
Работа силы при разных значениях угла


44 10. Так, например, при перемещении точки по траекториям аи одной и той же силой будут производиться разные работы. Численно, полная работа, исходя из геометрического смысла интеграла, равна площади, ограниченной кривой и горизонтальной осью, поэтому в рассматриваемом случае разность работ
2
b
1 2
a
1
A
A

будет равна разности площадей соответствующих криволинейных трапеций.
11. В природе, в ряде случаев, встречаются силы, работа которых не зависит от вида траектории, а определяется только конечными начальным положением точки. Такие силы называются потенциальными или консервативными.
12. Работа потенциальной силы на любой замкнутой траектории рана нулю


L
;
0
r d
F 

13. Если сила постоянна во времени, то уравнения для вычисления работы упростятся, причём для практического использования целесообразно перейти к координатной форме их записи.
Так как dz k
dy j
dx i
r d
;
F
k
F
j
F
i
F
z y
x














, то уравнение работы можно переписать в координатной форме







2 1
2 1
2 1
x x
y y
z z
z y
x
2 1
dz
F
dy
F
dx
F
A
14. Воспользуемся уравнением для вычисления работы силы тяжести. Пусть точка известной массы перемещается по произвольной траектории в плоскости изначального положения 1 в конечное положение 2. Определим проекцию силы тяжести на координатные оси
 
 
mg mg
;
0
mg y
x


15. Если криволинейную траекторию аппроксимировать большим количеством вертикальных иго- ризонтальных прямых, то очевидно что элементарная работа силы тяжести на горизонтальных перемещениях будет равна нулю, те. на перемещении вдоль оси охот х дох суммарная работа также будет нулевой.
16. Подставляя значение проекций силы тяжести, получим
;
mgdy dy
F
A
2 1
2 1
y y
y y
y
2 1







mgh y
y mg
A
1 2
2 1




17. Как видно из полученного уравнения, работа силы тяжести не зависит оттого, по какой траектории перемещается точка, а определяется исключительно значением, другими словами сила тяжести является потенциальной.
18. Если на материальную точку действует система сил


n
2 то производимая ими элементарная работа за малое время dt будет равна алгебраической сумме элементарных работ каждой из этих сил
Полная работа
Работа силы тяжести

45






n
1
n
1
i r
d
F
A
A


19. Работа, производимая в единицу времени, называется мощностью. Математически мощность определяется в виде отношения элементарной работы к бесконечно малому промежутку времени, за который она совершается Вт Дж r
d
F
dt
A
N













Переходя от векторов к скалярам, получим
 
v
;
F
cos v
F
N





20. Работа в условиях данной задачи затрачивается на изменение потенциальной энергии груза (работа против силы тяжести) и на сообщение грузу заданного ускорения Дж 13 5
,
1 2
a g
mh mah Решение
1. Работа силы тяги двигателя будет складываться из работы против силы трения и работы, затрачиваемой на сообщения автомобилю ускорения
);
F
(
A
)
F
(
A
)
F
(
A
a
Тр
T


2. Ускорение автомобиля
;
t x
2
a
;
2
at x
2 2



3. Сила трения
;
mg
F
T


4. Работа силы тяги на заданном перемещении х
;
t x
2
g mx t
mx
2
mgx max mgx
)
F
(
A
2 2
2
T















;
МДж
9
,
0
кДж
900
Дж
10 9
100 400 10 05
,
0 200 10
)
F
(
A
5 Решение
1. При прохождении заданного пути величина силы меняется от нулевого значения F
min до максимального значения F
max линейно, поэтому среднее значение модуля силы определится как
;
2
F
F
F
max min



2. Работа средней силы на заданном перемещении Дж 4
2 20
x
2
F
F
x
F
dx
F
A
max x
0
max min













46
Следует отметить, что работа численно равна площади фигуры ограниченной линией силы и осью перемещения. Решение
1. Определим силу, развиваемую двигателем автомобиля в процессе его разгона
;
mv
F
;
v a
;
a v
;
ma
F








2. Мощность, развиваемая двигателем кВт 5
25 10 2
,
1
mv
Fv
N
;
1
v
;
F
cos
;
0
v
;
F
;
v
;
F
cos
Fv
N
2 3
2 Решение
1. Мощность, развиваемая электродвигателем трамвая кВт 8
10 10
mv
Fv
N
;
1
v
;
F
cos
;
0
v
;
F
;
v
;
F
cos
Fv
N
2 4
2 Решение

47 1. Кинематические уравнения движения тела, брошенного под углом к горизонту. Из уравнений, в частности, следует, что проекция скорости на горизонтальную ось величина постоянная во всё время полёта тела, включая тоску С, соответствующую наибольшей высоте подъёма над горизонтом
;
cos С 3. Отношение кинетических энергий


;
4 25
,
0 1
60
cos
1
cos v
m mv
K
K
0 2
2 2
2 0
2 Решение
1. Из кинематических уравнений свободного падения определим время падения и пройденное телом расстоянием. Работа силы тяжести
;
mgdy dy
F
A
2 1
2 1
y y
y y
y
2 Дж 6
,
9 10 20
mgh y
y mg
A
1 2
2 Решение
1. В природе существует многообразие форм движений механическое, тепловое, электромагнитное и т.д. Одной из основных количественных характеристик всех форм движения служит энергия. Во всех канонах механики эпохи Ньютона отсутствует понятие энергии, понятие которое замыкает практически все современные физические теории, понятие, играющее роль великого судьи над новыми идеями и методами изучения Мира.
2. Проще всего об энергии можно сказать, что это некое универсальное представление, объясняющее почти всё в физике, химии и даже в биологии. Отчасти это таки есть. Действительно, энергия и наша жизнь представляют такие хитросплетения, что часто создаётся впечатление их тождественности. В самом деле, основа всей нашей цивилизации топливо, вещества способные выделять энергию. В частности, хлеб наш насущный тоже представляет собой своеобразное топливо, в определённом смысле, такое же, как нефть, уголь, Солнце.

48 3. Следуя жизненной логике мы неминуемо приходим к сопоставлению понятий энергии и работы. По жизни известно, что для совершения работы надо обладать энергией. Это, казалось бы, становится очевидным с первого человеческого вздоха. Чтобы впервые наполнить лёгкие воздухом, надо совершить работу, увеличивая их объём. Анаше сердце, этот неутомимый маленький насос, от его энергетических возможностей зависит благополучие всего организма, включая мозг.
4. Остаётся загадкой, почему Ньютон не пришёл к понятию энергии А может быть он, опередивший в своих мыслях на многие годы остальных людей и оценивший человека, как такового, не захотел дарить этот мощнейший инструмент энергетический анализ законов, явлений и процессов. Кто теперь это сможет установить Хотя до понятий энергии и работы, формально было подать рукой, они следовали из всё того же основного закона динамики.
5. Запишем уравнение полной работы силы F

на криволинейном перемещении L



L
2 1
,
r и второй закон Ньютона, выраженный через вектор импульса dt p
d
F



Совместим уравнения





L
L
2 1
p d
v r
d dt p
d
A




6. Чтобы вычислить криволинейный интеграл необходимо установить зависимость между скоростью материальной и её импульсом. Эта очевидная взаимосвязь следует из уравнения работы. Проинтегрируем это уравнение
1 2
2 1
2 2
2 1
v v
r r
2 1
K
K
2
mv
2
mv
A
,
v d
v m
r d
F
A
2 1
2 1













7. Скалярная всегда положительная величина m
2
p
2
mv
K
2 называется кинетической энергией материальной точки. Из уравнения,
K
K
2
mv
2
mv
A
1 2
2 1
2 2
2 которое является математическим выражением теоремы об изменении кинетической энергии следует изменение кинетической энергии материальной точки на данном перемещении численно равно работе, производимой на этом перемещении внешними силами.
8. Применительно к данной задаче, теорема об изменении кинетической энергии представится следующим образом кДж 25 10 10
v v
2
m
2
mv
2
mv
A
2 2
3 2
1 2
2 2
1 2
2 Решение
1. В первую половину полёта до точки С (см. риск задаче 91) совершается работа против силы тяжести, а во вторую половину пути точно такую же по модулю работу с противоположным знаком совершает сила тяжести, таким суммарная работа силы тяжести будет нулевой.
2. В первую половину пути работа будет отрицательной, потому что угол между вектором силы тяжести и элементарными перемещениями будет всё время больше
90 0
, косинус будет иметь отрицательную величину. Решение
1. Если консервативные силы, работа которых не зависит от вида траектории, занимают часть пространства, то говорят о силовом потенциальном поле. В частности о силовом поле гравитационных или электрических сил. Каждой точке пространства занятого силовым полем можно сопоставить некоторую математическую функцию П, определяемую из следующих физических соображений. Выберем в силовом поле некую точку О и запишем для неё значение функции П, которое возьмём произвольным. Значение рассматриваемой функции для произвольной точки k запишем в виде суммы
,
А
П
П
0
k
0
k



где А работа, затрачиваемая при переносе частицы из точки k в точку О. Так как для консервативных сил работа не зависит от вида траектории, то значение П будет определяться однозначно. Функция П (x,y,z), как следует из последнего уравнения, имеет размерность работы и называется потенциальной энергией частицы во внешнем силовом поле.
2. Рассмотрим далее две произвольные точки 1 и 2, из которых осуществим последовательно перенос частицы в точку О. Разность потенциальной энергии в 1 и 2, запишется так
0 2
0 1
0 2
0 0
1 0
2 1
А
А
)
А
П
(
)
А
П
(
П
П











3. Ввиду независимости работы от вида траектории, перенос частицы можно осуществлять не только по траектории
2 0
1


. Частицу можно сразу перенести изв. Это даёт основание заключить, что работа консервативных сил равна разности значений функции П) в начальной и конечной точке движения, те.
П
П
А
2 1
12


Так как в рассмотренном примере работа совершается за счёт убыли потенциальной энергии, то
;
d Уравнение позволяет находить потенциальную энергию и наконечном перемещении, для этого нужно взять интеграл




;
C
r П 5. Наличие произвольной постоянной никак не сказывается на физических законах и уравнениях, потому что физический смысл имеет не абсолютное значение по-
Потенциальная энергия

50
тенциальной энергии, а разность энергии в двух положениях рассматриваемой частицы. Так, например, для математического маятника, в принципе, не имеет никакого значения, каким образом выбран нулевой уровень потенциальной энергии, хотя из соображений удобства проведения вычислений, лучше совместить его с положением статического равновесия груза, т.е.,П
1
= 0. Потенциальная энергия при отклонении нити на угол определится как
).
cos
1
(
mg П 7. Если за нулевой принять уровень, отстоящий от уровня статического равновесия на расстоянии
1
h
, то это приведёт к появлению постоянной величины, потенциальная энергия груза в точке 2 относительно нового нулевого уровня будет равна
2
mgh
. Разность же энергий груза в точках 1 и 2 останется неизменной h
mg
П
П
1 2



, причём:






cos
1
h 
8. Таким образом, в условиях данной задачи для вычисления работы силы тяжести необходимо определить изменение потенциальной энергии, найдя предварительно изменение положения центра масс шарика
;
sin h




9. Работа силы тяжести Дж 5
,
1 10 1
,
0
cos mg Решение
1. Приведение однородного стержня из горизонтального в вертикальное положение происходит изменение положения центра масс стержня С.
2. Ввиду однородности стержня его центр масс будет расположен на середине его длины, те. на расстоянии
2

от его конца.
3. Изменение потенциальной энергии стержня будет численно работе, производимо внешними силами Дж 5
,
0 100 2
mg
A








1   2   3   4   5   6   7   8   9   10   11