Решение задач повышенной сложности Часть 2 Петропавловск-Камчатский

114
a
2
I
B
0



,
2. Магнитный поток, пронизывающий поверхность кольца, при расположении его плоскости перпендикулярно вектору магнитной индукции В a
2
Ir r
a
2
I
Bs
2 0
2 0









3. Индукционный ток в кольце в этом случае определится уравнением нКл
28
,
6 20 10 10 10 56
,
12
aR
2
Ir
Q
,
t
Q
tR
a
2
Ir
R
i
4 3
7 2
0 Решение
......1. Магнитный поток в данном случае будет изменяться во времени за счёт изменения площади контура
 
;
t
4
t s
2







2. Модуль ЭДС индукции в контуре при изменении его площади на
s:
 
;
t
4
B
2
i




3. Величина электрического заряда мкКл 1
,
0 25
,
0 10 5
R
4
B
t
R
t i
q
;
t q
i
5 2
i Решение
1. Изменение площади перекрываемой проводником в магнитном поле
;
t v
s




2. Модуль ЭДС индукции
;
B
016
,
0 5
,
0 4
10 8
Bv t
s
B
3
i













Решение
1. Скорость самолёта:
;
B
v
;
v
B
i i







2. Сила тяги двигателей самолёта при постоянной скорости полёта:
;
кН
50 3
,
0 15 10 10
NB
v
N
F
;
Fv
N
4 Решение
1. При повороте контура изменяется величина магнитного потока, за счёт изменения угла между вектором магнитной индукции и внешней нормалью контура


;
60
cos
1
s
60
cos s
s s
0 0





2. Модуль ЭДС индукции, возникающей при повороте контура


;
t
60
cos
1
Bs t
s
B
0
i







;
3. Заряд прошедший по контуру при его повороте Кл 5
,
6 2
13
,
0 1
,
0 1
,
0
R
60
cos
1
Bs q
4 Решение
1. Изменение ЭДС индукции, возникающей во вращающейся рамке, будет происходить по гармоническому закону
;
t
2
cos t
cos
)
t
(
max max







;
t
2
cos dt d
)
t
(
max
B






2. Последнее уравнение является линейным дифференциальным с разделяющимися переменными
;
tdt
2
cos d
max
B




3. Проинтегрируем уравнение в соответствующих пределах
;
t
2
sin
2
;
tdt
2
cos d
max
(max)
B
0
max
0
B
max max














4. Условие, при котором будет иметь место Ф

116
;
мВб
48
Вб
048
,
0 8
,
62 Ф max
(max)
В









Решение
1. Воспользовавшись конченым уравнением предыдущей задачи, имеем
;
B
1 50 2
,
0 Ф max
(max)
В














Решение
1. Величина ЭДС самоиндукции dt di
L
si



;
2. В заданном интервале времени
;
0
;
0
dt di
;
const i
si







254.
Тонкое кольцо радиусом r = 1 м, обладающее электрическим сопротивлением R =
0,273 Ом в однородном магнитном поле с индукцией В = 1 Тл. Плоскость кольца составляет с вектором индукции угол
 = 30 0
. Магнитное поле внезапно пропадает, какое количество электричества протечёт, при этом, по кольцу Решение
1. Определим изменение магнитного потока магнитного потока, пронизывающего рамку, при исчезновении поля






cos r
B
2 2. Величина ЭДС индукции, возникающая при изменении магнитного потока t
cos r
B
t
2
i








3. Индукционный ток, возникающий в кольце мКл
1 273
,
0 87
,
0 14
,
3 10 10
R
cos
Br
Q
,
t
R
cos
Br t
Q
R
i
2 2
2 2
i





















Решение
1. Индуктивность катушки
;
Гн
10
L
;
L
dt di
L
si si









2. Энергия магнитного поля катушки Дж 2
25 10 Решение
1. Ускорение частицы
;
m qE
m
F
a
K


2. Пройденное частицей расстоянием Решение
1. В соответствии с теоремой об изменении кинетической энергии пылинки при её движении в под действием силы Кулона


;
мг
1
кг
10 1
1
,
0 3
,
0 10 4
10 10 2
v v
qEx
2
m
;
qEx v
v
2
m
6 2
2 2
5 11 2
1 2
2
x
2 1
2 Решение
1. Закон сохранения энергии для падающего шарика Дж 1
,
0 10 10 1
,
0 10 10 4
2 4
10 4
E
;
E
qEh mgh
2
mv
6 6
2 2
2 1






















Решение
1. Напряжённость электрического поля внутри сферы будем полагать равной, в соответствии с теоремой Остроградского Гаусса, в этом случае поле будет действовать на летящий электрон на перемещениях тока А поверхность отрицательно заряженной сферы радиусом,
10 1


см (ускоряющее поле) ив промежутке между первой и второй сферами
10 см (тормозящее поле. Таким образом, скорость электрона будет меняться на длине его пути см Решение
1. Построим мысленно сферу радиусом r =
2,5R, в соответствии с теоремой Остроградского Гаусса напряжённость на поверхности этой сферы определится как
;
s q
E
0
n k
1
k k
A





2. Величину условного единичного заряда выразим из заданной напряжённости Е

119 2
0 1
2 0
1
R
4
E
q
;
R
q
4 1
E





;
3. Напряжённость электрического поля в точке А мВ 25
,
6 5
,
62
R
5
,
2
R
4
E
4 1
r q
4 1
E
2 2
2 0
1 0
2 Решение
1. Напряжённость электрического поляна внешней стороне проводящего шара в точке 1: мкВ. Напряжённость поля в точке 2, на границе диэлектрической оболочки мкВ Решение
1. В соответствии с законом сохранения заряда, алгебраическая сумма зарядов кондесаторов до соединения и после параллельного их параллельного соединения должна сохраняться


;
U
U
C
q q
q
;
C
U
q
;
C
U
q
2 1
2 1
2 2
1 В 2
U
U
U
;
CU
2
U
U
C
;
CU
2
q
2 1
x x
2 Решение
1. Каждый из конденсаторов до их соединения имеет заряд Кл Кл 4
U
C
q
4 2
2 2
4 1
1 1








2. При параллельном соединении конденсаторов, отключенных от источника, заряд сохраняется, алгебраическая их сумма определится как Кл 1
U
C
U
C
q q
q
4 1
1 2
2 1
2 0








120 3. Электрическая ёмкость соединения мкФ 1
0



4. При параллельном соединении пластин двух конденсаторов разность потенциалов между ними будет одинаковой
;
B
67
,
6 10 15 10
C
C
U
C
U
C
C
q
U
6 4
2 1
1 1
2 2
0 Решение
1. Плоское движение точечной массы, несущей на себе заряд в стационарном электрическом поле целесообразно разложить на две составляющие вертикальное с ускорением свободного падения g и горизонтальное с ускорением, вызванным действием на заряд силы Кулона
;
m qE
a
E

2. Время полёта заряда будет ограничено его падением на отрицательно заряженную пластину
;
qE
m x
2
a x
2
;
2
a x
1 1
2 2
1






3. Вертикальная координата заряда по прошествии времени мм 10 2
10 2
10 2
10 10 5
,
1
qE
mg x
2
g h
5 10 5
2 Решение
1. Закон сохранения энергии при нагревании кипятильником воды
;
K
10 5
,
0 4200 100 210
cm q
U
T
;
T
cm t
t q
U
;
T
cm t
UI
0

















Решение
1. Количество теплоты, выделяющегося в проводнике подчиняется закону Джоуля ленца
;
R
U
IU
Q
2




2. Это же количество теплоты может быть выражено через теплофизические параметры меди
;
T
s c
T
V
c
T
cm
Q
Cu
Cu









3. Электрическое сопротивление медного проводника
;
s
R
R



4. Приравняем уравнения количества тепла
;
c
U
T
;
s
U
T
s с 5. Время, в течении которого температура проводника повысилась на Км Ом мкг 93
,
8
;
К
кг
Дж
380
c
8
R
3 3
Cu










;
c
5
,
57 1
100 10 7
,
1 10 93
,
8 380 10
U
Tc
8 3
2 Решение
1. Внутреннее сопротивление батареи Ом 2
1 1
2 1
2 1
2 1
1
























2. ЭДС батареи В 3. Максимальная активная мощность во внешней цепи ( см. задачу 228):
;
Вт
9
r
4
N
2
max



Решение
1. Внутреннее сопротивление элемента
;
5
,
1 2
3 4
9
R
R
I
I
;
R
I
R
I
;
N
N
1 2
2 1
2 2
2 1
2 1
2 1









Ом 1
5
,
1
R
5
,
1
R
r
;
r
R
r
5
,
1
R
5
,
1
;
5
,
1
r
R
r
R
I
I
1 2
2 1
1 2
2 1













2. Мощность, выделяемая во внешней цепи, достигает возможно большего значения при равенстве внутреннего источника тока и внешнего сопротивления. Сила тока в этом режиме составит
;
Ом
6
r
R
;
r
2
I
x





Решение
1. Сила тока вцепи. Падение напряжения на резисторе, включенном параллельно с конденсатором
;
B
8
IR
U
U
C
R



3. Напряжённость электрического полям кВ 10 Решение
1. Сила тока вцепи. Напряжение на конденсаторе
;
B
20
IR
U
U
C
R



3. Заряд конденсатора Кл 2





Решение
1. Так как вцепи постоянного тока присутствует конденсатор, то закон Ома для замкнутой цепи запишется следующим образом. Падение напряжения на резисторе R
3
:
;
B
35
,
1
IR
U
3 3


3. Заряд на левой обкладке конденсатора мкКл 35
,
1 10 2
CU
q
6 Решение
1. ЭДС индукции, возникающая в проволочном контуре, равна падению напряжения на конденсаторе
;
U
;
B
10 5
10 2
,
0 01
,
0
s t
B
C
i
5 3
i













2. Заряд конденсатора Кл 5
C
U
q
10
C





124
5. Колебания и волны Решение
1. Период колебаний первого маятника
;
c
167
,
0 6
1 1
T
1 1




2. Период колебаний второго маятника
;
c
3
,
0
T
;
24
,
3
T
T
;
g
24
,
3 2
T
;
g
2
T
2 1
2 Решение
1. Суммарная жёсткость параллельных пружин
;
k k
k
2 1
O


2. Период колебаний тела
;
c
1256
,
0 750 3
,
0 28
,
6
k k
m
2
k m
2
T
2 Решение
1. Закон сохранения энергии для малых незатухающих собственных гармонических колебаний
;
мм
5
м
10 5
2 10 5
k m
A
;
2
mv
2
kA
3 3
2 2
2











Решение
1. В соответствии с законом сохранения энергии Дж 2
mv
2
kA
2
max
2


2. В заданном положении ребёнка на качелях Дж max
A
A






277. Точка перемещается по круговой траектории радиусам против хода часовой стрелки с периодом Т = 6 с. Записать уравнение движения точки, найти для момента времени
 = 1 с смещение, скорость и ускорение точки. В начальный момент времени. Решение
1. Определим циклическую частоту колебаний с
рад
3
T
2





2. Запишем уравнение смещения точки в общем виде
 










0
t
3
cos
R
t x
3. Перепишем уравнение для заданных начальных условий, t = 0, x(0) = 0
 
 
2
,
0
cos
,
cos
R
0
x
0 0
0







4. Определим смещение точки в момент времени
 = 1 см. Скорость точки в произвольный момент времени
 











2
t
3
sin
T
2
R
t x
, в момент времени
 = 1 с см. Тело массой m скользит с высоты H по гладкой плоскости, наклоненной под углом к горизонту. У основания плоскости тело упруго взаимодействует с преградой и меняет своё направление движения на обратное, возникает периодическое движение. Определить период колебаний. Решение
1. Поскольку движение тела происходит тез сопротивления и взаимодействие с преградой упругое, то время спуска тела будет равно времени его подъёма, а период движения представится в виде суммы времён t
2
t Т 1



;

126 2. Движение при спуске будет протекать вследствие возникновения проекции силы тяжести на направление движения







sin g
H
2 2
T
;
sin g
H
2
t
;
2
t sin g
H
2
;
279
. Поплавок на поверхности воды за время
 = 30 с совершил n = 40 колебаний вокруг положения равновесия, рыбак, расположившейся на берегу, на двадцатиметровом отрезке насчитал N = 20 гребней волн. Определить скорость волн, распространяющихся в водоёме. Решение
1. Период колебаний частиц жидкости при распространении волны можно выразить через параметры колебаний и характеристики волны v
T
;
n
T




, откуда



n v
2. Длину волны в данном случае целесообразно выразить, воспользовавшись результатами наблюдений
N
s


, тогда скорость представится следующим образом см 20 30 40 20
N
sn v






280.
Нектоне обременённый возрастом, исключительно в познавательных целях, бросает в середину круглой лужи камень, отмечая, что за время

1
= 80 с к его ногам подошло n = 15 гребней волн. Расстояние между гребнями составляло
 = 0,2 м, первый сигнал от камня распространялся в течение

2
= 20 с. Каким образом по результатам этих наблюдений модно вычислить радиус лужи. Решение
1. Если волновой фронт перемещается с постоянной скоростью, то s = v

1
. С другой стороны скорость волн можно выразить через их длину v =
/T = n/
2 2. Подставим далее значение скорости в уравнение расстояния, проходимого волновым фронтом м 20 80 15 2
,
0
n
R
2 Услышав, пришедший сверху звук пролетающего самолёта, наблюдатель обнаружил его визуально под углом
 = 45 0
к горизонту. Определить скорость самолёта v и расстояние до него s, если звук распространялся в течение
 = 2 с. Решение
1. Расстояние L и высоту H звук проходит заодно и тоже время, что даёт основание записать следующие соотношения

127




c
H
;
v
L
; см c
v
;
v c
tg
L
Y







2. Расстояние s определится из равнобедренного прямоугольного треугольникам Решение мкКл 87
,
0 10 2
3
sin q
6
T
T
2
sin q
t q
6
max max









Определить, через какой промежуток времени после начала колебаний виде- альном LC контуре заряд на конденсаторе с периодом колебаний Т = 100 мкс достигнет впервые, величины равной половине амплитудного значения. Решение
1. Запишем уравнение, характеризующее изменение во времени заряда конденсатора. Подставим в уравнение заданное условие
3 2
1
arccos t
T
2
;
t
T
2
cos q
2
q m
m







, мкс 6
T
t
;
3 1
t
T
2



283.
Каковы причины возникновения колебаний электрических величин вцепи, состоящей их конденсатора, катушки индуктивности и источника постоянного тока Решение
1. Электрический колебательный контур состоит из последовательно соединённых конденсатора Си индуктивности L (рис. 15.2.1). Если, предварительно заряженный конденсатор замкнуть на индуктивность, то запасённая в конденсаторе электрическая энергия будет преобразовываться в энергию электромагнитного поля, запасаемую индуктивностью Э М 2. Колебания, возникающие в контуре можно сопоставить с колебаниями математического маятника или груза на пружине, суть процессов, в энергетическом плане даёт к этому все основания. В механических колебательных системах происходит преобразование кинетической энергии в потенциальную энергию, а в рассматриваемом контуре энергия магнитного поля преобразуется в энергию электрического поля. На рис. показаны пять стадий развития колебательного процесса в идеальном без сопротивления) контуре и пружинном маятнике
3. Дифференциальное уравнение такого осциллятора можно получить из условия равенства напряжений на конденсаторе U
C
и индуктивности U
L
dt di
L
U
;
C
q
U
L
C



, где q заряд конденсатора, i ток через индуктивность, С  ёмкость конденсатора,
L индуктивность катушки.
4. Сумма падений напряжения на ёмкости и индуктивности в соответствие с законом сохранения энергии должна быть рана нулю, те.
;
0
q
C
1
dt q
d
L
dt dq i
;
0
dt di
L
C
q
2 2






0
q
LC
1
q



5. Вводя традиционное обозначение
2 0
LC
1


, получим
,
0
q q
2 уже знакомое дифференциальное уравнение, имеющее стандартное решение
 


t sin q
t q
0 0




6. Период колебаний данного осциллятора определяется формулой Томсона Электромеханические аналогии
перейти в каталог файлов