Решение задач повышенной сложности Часть 2 Петропавловск-Камчатский

Решение
;
i q
2
LC
2
T
;
i q
LC
;
C
2
q
2
L
i m
m Решение
1. Коэффициент упругости пружины
;
A
2
k
;
2
kA
2
max
2
max





2. Смещение маятника при заданной возвращающей силе см 6
,
0 5
,
22 10 4
2
F
A
k
F
x
;
x Решение
;
i q
2
LC
2
T
;
i q
LC
;
C
2
q
2
L
i m
m кГц 10 6
28
,
6 10 4
,
2
q
2
i
T
1 9
2
m m











;

135
6. Оптика Решение
1. Данную задачу целесообразно решать методами геометрической оптики, потому что
,
d

  где d характерный размер препятствия, расстояние от препятствия до экрана, длина световой волны (380 760 нм. В геометрической оптике полагается прямолинейное распространение световых лучей. В данном случае размер тени наколу экране) будет равен размерам препятствия непрозрачного квадратам Как нужно расположить источник света, чтобы вовремя хирургической операции тень от рук хирурга не закрывала операционное пространство Решение
1. Организация без теневой поверхности может быть организована при выполнении двух законов геометрической оптики закона прямолинейного распространения и закона независимости световых пучков. Закон независимости световых пучков утверждает, что пучок отданного источника распространяется независимо оттого, есть ли в пространстве другие световые пучки.
2. Выполнение этих условий обеспечивается при расположении нескольких источников света на вогнутой сферической поверхности. Решение
1. Восстановим в произвольной точке К перпендикуляр к горизонтальному полу. Будем считать далее, что вертикальная стена, на которой предполагается поместить зеркало проходит через точки NK.
2. Выделим две крайние точки фигуры человека Си, располагающиеся на расстоянии друг от друга.
3. Верхний край зеркала разместим на одной прямой сточкой С. Луч из Сна зеркало перпендикулярен, те. отражение точки Св зеркале будет постоянным.
Минимальная высота зеркала, обеспечивающая отражение точки D будет иметь место, исходя из закона отражения, прим. Из проведенных построений видно, что нижний край зеркала будет находиться от пола на расстоянии м
6. При изменении расстояния L будет изменяться только угол падения и угол отражения, на размер зеркала этот параметр не влияет. Решение
1. Построим изображение источника s, совместив его сглазом наблюдателя. Один луч направим перпендикулярно зеркалу mn, а второй под произвольным углом. Получим мнимое изображение, расположенное на расстоянии, равном расстоянию от зеркала до источника. Таким образом, изображение находится на расстоянии хот наблюдателя.
2. Пусть наблюдатель за время
t переместится в направлении зеркала на расстояние х, скорость при этом определится как t
x v



;
3. Изображение при этом переместится на в два раза большее расстояние v
2
t x
2
v
*




;
Другими словами, к зеркалу изображение приближается со скоростью v = 10 см/с, а к наблюдателю изображение приближается со скоростью v
*
= 20 см/с. Решение
1. Поскольку угол падения крайнего светового луча равен углу его отражения
 = , то глазу будет видна примерно четвёртая часть длины стрелки
;
4

 


Решение
1. Как видно из построений падающего, от- ражённого и преломлённого лучей, с учётом равенства угла падения углу отражения
;
180 0






;
180 0






;
50 25 105 180 0
0 Решение
1. Фокусное расстояние линзы м 2. Из уравнения тонкой собирающей линзы мм Построить и охарактеризовать изображение предмета, полученное с помощью собирающей линзы, если расстояние от предмета до линзы а) d
 ; б)  > d > 2F; в) d = 2F; где Решение
1. Запишем формулу собирающей линзы для случая мнимого изображения f
1
d
1
F
1


;
2. Разрешим это уравнение относительно искомого расстояния f
;
Fd
Ff df
;
f d
d см f
Ff см Решение
1. Запишем уравнение рассеивающей линзы и решим его, как ив предыдущем случае, относительно расстояния до изображения f f
1
d
1
F
1



,
;
Fd
Ff df
;
f d
d см 3
9 12
f
F
Ff d





;
Изображение в рассеивающей линзе получается мнимыми уменьшенным. Решение см 2
F
f
;
f
1
f
2 1
F
1







Решение мм d
;
f м 4
3
f Решение см d
d f
d df
F
;
d f
;
d Решение
1. Увеличение объектива фотоаппаратам. Фокусное расстояние объективам. Оптическая сила объектива
;
дптр
9
F
1
D


Решение мм 5
,
0
d
;
d f
;
5
,
0
d f














;
см
75
,
18
м
1875
,
0
f d
df
F





Решение
;
y y
;
S
O
O
S
S
O
SO
2 1
*
*
2 2
*
*
1 Решение
1. Период дифракционной решётки: м 33
,
8 10 2
,
1 1
N
1
d
6 5






2. Длина волны, падающая на решётку нормально нм 1
06
,
0 33
,
8
m sin d
3
,
2
,
1
,
0
m
;
m sin Решение
1. Период дифракционной решётки: м 1
10 1
1
N
1
d
5 5






2. Искомый синус и угол, под которым наблюдается максимум интенсивности третьего порядка


;
18
,
0 10 10 6
3
d m
sin
3
,
2
,
1
,
0
m
;
m sin d
5 7















;
37
,
10 Решение
1. Период дифракционной решётки: м 2
10 5
1
N
1
d
6 5






2. Наибольший порядок спектра

141


;
77
,
2
d m
;
1
sin
;
sin d
m
3
,
2
,
1
,
0
m
;
m sin d
m














;
2
m Решение
1. Период дифракционной решётки: м 2
10 5
1
N
1
d
6 5






2. Значение sin
:
;
583
,
0
x sin





3. Из уравнения дифракционной решётки:
;
3
,
2
sin d
m
;
m sin d








При заданном расположении решётки и длины волны падающего нормально света можно наблюдать максимум второго порядка m = 2. Решение
1. Период дифракционной решётки: м 5
,
2 10 4
1
N
1
d
6 5






2. Значение при хм х sin






3. Из уравнения дифракционной решётки: м 5
,
2 2
2
,
0 10 5
,
2
m sin d
;
m sin d
7 Решение
1. Условие полного внутреннего отражения
;
30 2
1
arcsin
;
5
,
0
n
1
sin
0
m m








Решение
1. Угол преломления
;
53
,
0 33
,
1
sin sin
;
33
,
1 4
3
n sin sin
1
,
2









;
32 0


2. Треугольник АОС равнобедренный и прямоугольный, поэтому см 3. Камень находится в точке В, причём: см 62
,
0 1
32
htg Решение
1. Угол преломления
;
1
,
22
;
376
,
0 33
,
1
sin sin
;
33
,
1 4
3
n sin sin
0 1
,
2











2. Длина тени от сваи
;
2 мм Решение
1. Угол падения солнечного луча
;
53 37 90
;
37 6
,
0
arcsin
;
6
,
0
sin
0 0
0 0










2. Угол преломления луча
;
37 33
,
1 798
,
0
arcsin n
sin arcsin
0

















3. Длина тени от шеста (см. рис. предыдущей задачи)
;
2 мм м 6
,
0 2
,
1
x





Решение
1. Угол преломления
:
;
1
,
22
;
376
,
0 33
,
1
sin sin
;
33
,
1 4
3
n sin sin
0 1
,
2











2. Расстояние между точками входа ивы- хода лучах м 2
2
htg
2 2
1
x











144
7. Специальная теория относительности Решение
1. Основой современной теории относительности, в отличие от принципов относительности Галилея, является постулирование постоянства скорости света, как максимально возможной в Природе. Знаменитый Советский физик АИ. Китагородский, предваряя изложение теории относительности, написал На первый взгляд принцип постоянства скорости света противоречит здравому смыслу. Поэтому желательно, прежде чем мы начнем выводить следствия из теории относительности, указать непосредственные опытные доказательства его справедливости.
2. Вопрос необходимости доказательств поставлен Китайгородским вполне уместно, потому что, несмотря на доступность, свет как объект физического исследования является далеко неизученным в своих многочисленных нюансах, одни из которых является его скорость распространения.
3. Теория относительности, представленная на суд научной общественности Альбертом Эйнштейном, являлась, по сути, симбиозом работ двух знаменитых учёных,
Лоренца и Пуанкаре.
4. В 1905 г. неизвестный до того в научных кругах Эйнштейн опубликовал работу К электродинамике движущихся тел, объединившую идеи Лоренца и Пуанкаре. Основополагающим стержнем развиваемой теории был постулат о неизменности скорости света, в независимости от относительного движения систем отсчёта. Там говорилось свет в пустоте всегда распространяется с определённой скоростью, независящей от движения, излучающего его тела. В соответствии с этим постулатом скорость света с
 310 8
мс не должна зависеть от скорости источника и прим- ника.
5. Такой постулат содержит одновременно два утверждения. Первое скорость света обладает определённой величиной. Второе скорость света не подчиняется классическому закону сложения скоростей
6. И если первое утверждение, с методологической точки зрения, не является необычным, то второе требует особого рассмотрения.
7. Дело в том, скорость, являясь одной из основных мер движения материальных объектов, по сути своей, представляет собой величину относительную. Как следует из повседневного опыта, на что впервые обратил внимание Галилео Галилей, величина скорости зависит от режима движения системы отсчёта. Другими совами, скорость одного итого же объекта может быть различной, будучи измеренной в разных системах отсчёта. Каждый замечал, что скорость встречного автомобиля несколько больше, чем скорость обгоняющего авто, при прочих равных условиях. Пассажир любого транспортного средства имеет нулевую скорость относительно системы от- счёта, связанной с движущимся прямолинейно и равномерно самолётом, автомобилем и т.д. Без указания системы отсчёта определение скорости теряет здравый смысл.

145 8. Отметим, что постоянной считается скорость, при которой наблюдаемый объект за равные промежутки времени имеет одинаковые перемещения. Закон геометрического сложения скоростей распространяется не только на тела, но и на другие материальные объекты. Так, например, скорость звука в неподвижной среде равна, примерно, 340 мс, в случае движения источника упругих волн, скорость звука будет уже иной. Это очевидно и широко используемо в рамках классических представлений. По не вполне понятным причинам, для скорости света сделано исключение. В эйнштейновском постулате предписывается считать скорость света с = 3
10 8
мс постоянной для любых систем отсчёта движущихся равномерно и прямолинейно.
10. При таком раскладе скорость света определена как некое философическое понятие безотносительно к чему-либо материальному, перемещающемуся в трёх- мерном пространстве.
11. Такое утверждение противоречит самому определению скорости, которая с физической точки зрения является несамостоятельной, а производной величиной от длины и времени, действительно, мгновенная скорость математически определяется как см В теории же относительности скорость поставлена в разряд основных величина расстояния и времена приобретают свойства зависимых величин.
12. Теория относительности, как таковая обязана электродинамике Максвелла, Герца, Хевисайда. Электродинамические уравнения Максвелла, Герца, Хевисайда выглядят в интегральной форме следующим образом
 
 
 
 

























































S
0 0
S
S
S
V
0
S
d t
E
j d
B
IV
;
S
d t
B
d
E
III
;
0
S
d
B
II
;
dV
1
S
d
E
I
13. Записанные в интегральной форме уравнения наделали много шума в физическом мире своей необычностью и новизной. В момент их появления многие обратили внимание на то, что для этих, изначально 22 уравнений Максвелла, не выполняется закон сохранения энергии. Патриарх классической электродинамики Гельмгольц был одним из первых, кто подверг уравнения Максвелла жёсткой критике и поручил своему аспиранту Генриху Герцу провести серию экспериментов, с целью положить конец теоретическим изыскам относительно юного англичанина. Наука тоже не была лишена национального соперничества.
14. Герц провёл серию совершенно гениальных экспериментов, открыв электромагнитные волны. Оказалось, что часть потерянной в уравнениях энергии уносится этими новыми необычными волнами. Справедливость закона сохранения энергии восторжествовала. Используя математический аппарат, разработанный Оливером
Хевисайдом, Герцу удалось систему уравнений Максвелла свести к четырём лаконичным уравнениям, записанным выше.

146 15. В уравнениях было много чего необычного, кроме непоняток с законом сохранения энергии. В них отсутствовали параметры среды, хотя в прочих уравнениях, например, волновом уравнении для упругих волн
2 2
2 2
2
x y
v t
y





, в явном виде присутствовала скорость распространения волны v, которая определяется параметрами среды


E
v
, Где Е модуль упругости среды, плотность среды. Для электромагнитных волн на основании уравнений Максвелла, Герца, Хевисайда получались следующие волновые уравнения
2 2
0 0
2 2
2 2
2 2
t
E
z
E
k y
E
j x
E
i

















,
2 2
0 0
2 2
2 2
2 2
t
H
z
H
k y
H
j x
H
i

















, где единичные векторы, (x,y,z) координаты, Е  напряжённость электрического поля, Н
 напряжённость магнитного поля, 
0
 8,85410
 12
Кл
2
/м
2
Н, 
0

1,257 Н
с
2
/Кл
2
 электрическая и магнитная постоянные.
16. Сравнивая волновые уравнения для упругих и электромагнитных волн, логично предположить, что см 9975
,
2 985147372
,
8 10 257
,
1 10 854
,
8 1
1
c
8 6
12 0
0












;
17. Комбинация двух констант давала константу, которая с высокой степенью точности совпадала с измеренными значениями скорости света. Получалось, что электромагнитные волны могли распространяться в отсутствии среды со скоростью света.
18. Лоренц, исследуя уравнения Максвелла, Герца, Хевисайда обнаружил, что если в уравнениях сделать подстановку






















;
c v
1
c vx t
t
;
z z
;
y y
;
c v
1
vt x
x
2 2
2
*
*
*
2 то суть и форма уравнений после подстановки не изменялась. Сейчас эти уравнения называются преобразованиями Лоренца.
19. Французский исследователь Пуанкаре, исследуя преобразования Лоренца в совокупности с уравнениями Максвелла, Герца, Хевисайда пришёл к выводу, что все физические законы не должны изменяться от преобразований Лоренца и математически это доказал. Он был виртуозным математиком классической школы.
20. Этими откровениями гениев и воспользовался Эйнштейн, опубликовав, разрекламированную в мировом масштабе впоследствии, работу, названную ими последователями теорией относительности. Это был первый и самый грандиозный пи- ар в науке, который таки увенчался неслыханным успехом. Кто в простонародии знает Максвелла, Герца, Хевисайда, Лоренца и Пуанкаре А Эйнштейна знают все. Гений вех времён и одного народа.
21. Исходя из преобразований Лоренца и заключений Пуанкаре, появилась возможность проанализировать на новом уровне знаний законы классической механики. Основной закон динамики Ньютона
 




n k
1
k k
dt v
m предполагает массу постоянной величиной. Из преобразований Лоренца следовало, что масса должна меняться со скоростью (чтобы уравнения Максвелла, Герца,