Решение задач повышенной сложности Часть 2 Петропавловск-Камчатский

80
p
R
dT
dV
,
p
RT
V
,
RT
pV
p














, где V

 объём одного моля газа, R универсальная газовая постоянная. Совмещая уравнения, получим для одного моля идеального газа
R
C
C
V
p


12. Отношение теплоёмкостей
V
V
V
V
p
C
R
1
C
R
C
C
C






, является индивидуальным для каждого газа и зависит от кинетической энергии отдельных молекул. Величину называют коэффициентом Пуассона. Уравнение можно записать в виде, более удобном для практического использования
1
RT
C
V



13. Для заданного графика зависимости T = f(T):
;
T
m
Q
c
;
T
cm
Q





;
К
кг
Дж
625 100 8
10 Решение
;
T
m
Q
c
;
T
cm
Q





;
К
кг
Дж
500 100 4
10 Решение
1. Если два тела, обладающие разными температурами привести в соприкосновение (обеспечить тепловой контакт, то со временем их температура выровняется, по закону сохранения энергии станет одинаковой. Количество теплоты, отданное более нагретым телом, будет равно (исключая неминуемые тепловые потери) количеству теплоты, приобретенному менее нагретым телом. Математически процесс установления теплового баланса описывается уравнением Рихтера:




;
t m
c t
m c
2 2
1 1
1 1







;
m m
t m
t m
;
t m
t m
m m
;
m t
m t
m m
2 1
2 2
1 1
1 1
2 2
2 1
2 2
2 1
1 1














;
C
70 3
2 100 3
25 2
0








Решение
1. Количество теплоты, получаемое термометром при его погружении вводу Дж 20 41 2
T
C
Q
T





2. Температурная поправка при определении температуры воды
;
C
1 10 4200 42
cm
Q
t
;
Q
t с 2
T
x
T
x









3. Действительная температура воды
;
C
42
t Решение
1. Введём следующие обозначения
;
кг
1
,
0
m
;
кг
2
,
0
m
;
К
кг
Дж
4200
c
;
C
100
t
;
C
20
t
;
С
93 2
1 1
0 2
0 1
0








2. Уравнение теплового баланса




;
m c
t m
c t
m c
m c
;
t m
c t
m с 1
2 1
1 1
2
x
2
x
2 1
1 1
2
x











;
К
кг
Дж
5
,
805 1
,
0 73 2
,
0 4200 7
m
73
m c
7
c
2 Решение
1. Если время плавления принять по заданному графику минут, то количество теплоты, затраченное на этот процесс, определится как Дж 3
15 10 2
Q
4 Решение
1. Изменение кинетической энергии молекул газа будет равно изменению его внутренней энергии
;
U
K




82 2. Молекула азота N
2
двухатомная, имеет i = 5 степей свободы, три вращательных и две поступательных
;
T
T
m
2 5
U




3. Считая, что вся кинетическая энергия молекул азота после остановки сосуда перейдёт в тепло, можно записать
;
K
7
,
6 3
,
8 5
10 10 28
R
5
u
T
;
T
R
m
2 5
2
mu
4 3
2 2













4. Конечная температура азота после остановки сосуда
K
280 7
,
6 273
T
T
T
0






; Решение
1. При падении с высоты h вода теряет потенциальную энергию, приобретая при этом кинетическую энергию, трансформация одного вида энергии в другой сопровождается тепловыми потерями, которые обусловлены, в основном внутренним трением между частичками падающей воды. Уравнение теплового баланса для такого процесса на качественном уровне можно представить уравнением t
cm mgh



,
 = 1;
2. Изменение температуры воды при падении с высоты Решение см Решение
1. Чтобы от капель воды не осталось "мокрого мета" они должны нагреться до температуры кипения и полностью испариться км 10 10 26
,
2 80 4200
g
T
c h
;
m
T
cm Решение кг 10 3
3
,
0 40 10 2
,
1 750
q
T
cm m
;
T
cm qm
7 3
x Решение




;
c
510 10 8
,
0 10 256
,
2 70 4200 16
,
0
N
T
c m
;
N
m
T
cm
3 Решение
1. В каждый момент времени состояние тела определяется всем многообразием его свойств, причём, изменение одного из них, как правило, приводит к изменению других. Построение термодинамической модели поведения вещества осуществим на примере идеального газа, для которого всё многообразие параметров состояния можно свести к трём, те.


0
T
,
V
,
p f

, все остальные свойства, включая электрические, магнитные, оптические и др. будут далее полагаться неизменными.
2. Рассмотрим pV диаграмму некоторого термодинамического процесса вследствие которого объект переводится изначального состояния в конечное состояние 2. состояние 1 и характеризуется набором из трёх параметров давления р, объёма V и температуры Т. Кроме того, рассматриваемая масса газа в этом состоянии будет обладать внутренней энергией
U
1 3. Предположим далее, что газ получил возможность расширяться, совершая при этом работу. Почему при расширении газа будет совершаться механическая работа Это

можно показать, воспользовавшись традиционными представлениями о работе, заимствованными из классической механики. Рассмотрим цилиндр с термоизолиро- ванными стенками (адиабатная оболочка, заполненный идеальным газом и закрытый невесомым поршнем. Предположим, что первоначально давление в ограниченном объёме выше окружающего и равно р. Если поршень отпустить и допустить его перемещения без трения, то газ начнёт расширяться, причём на поверхность поршня будет действовать сила pds
F

4. Элементарная работа этой силы на перемещении поршня dx будет равна dV
p dx ds p
Fdx
A




Вычислим далее работу при переводе исследуемого объёма газа изначального положения 1 в конечное положение 2, для чего кривую p = f(V) разобьём на большое число отрезков и на каждом из них примерим уравнение для определения элементарной работы. При суммировании элементарных работ, мы придём к следующему выражению














2 1
V
V
n k
1
k k
k n
k
1
k k
2 1
pdV
pdV
lim
A
A
Работа, таким образом, численно будет равна площади трапеции построенной в p
 V координатах.
5. При увеличении объёма газа от V
1
до V
2
совершается работа А. Поскольку закон сохранения энергии никто не отменяли для энного случая, то совершение работы должно сопровождаться уменьшением внутренней энергии газа, больше энергии взяться неоткуда. На этом основании работу можно сопоставить с изменением внутренней энергии


2 1
1 2
2 1
U
U
U
U
A






6. Применительно к условиям данной задачи работа газа определится как площадь трапеции


1 2
1
V
V
2 1
V




,:
;
V
2
p p
V
2
p p
V
p
A
2 1
2 1
2 Дж 10 1
2 10 40 220
A
3 3
2 Решение кДж 2
,
0 2
10 5
10 2
A
;
V
2
p p
A
3 4
2 1
2 1
2 1












Решение
;
V
2
p p
V
p
V
2
p p
;
p p
p
B
Б
Б
Б
A
B
Б
А










;
A
A
A
B
Б
A


Решение
1. Как известно, закон сохранения энергии в его термодинамическом варианте можно математически выразить следующим уравнением
A
k dU
Q
m




, которое в системе СИ, где количество тепла Q, работа A, внутренняя энергия U измеряются в джоулях, уравнение первого начала термодинамики принимает вид
A
dU
Q




2. При сообщении газу количества тепла
Q и совершении над ним внешними силами работы А, возможно уравнение первого начала переписать следующим образом. Выражения представляют собой дифференциальную форму записи второго начала термодинамики. Интегральная форма получается при совмещении уравнений




2 1
V
V
1 2
pdV
U
U
Q
4. К ситуации описываемой уравнением можно прийти, подогревая газ в цилиндре и одновременно сжимая его поршнем, движимым внешними силами чисто механического свойства. Другими словами, подводимая теплота и совершаемая над газом работа преобразуются во внутреннюю энергию, что подтверждает предположение о том, что внутренняя энергия однозначно определяется термодинамическим состоянием тела, в данном случаев газообразном состоянии.
5. Мечта всех энтузиастов perpetuum mobile, чтобы при одинаковом наборе мак- ропараметров {p,V,T} тело имело бы разные внутренние энергии. В этом случае на основании совершенно справедливого уравнения первого начала можно было бы извлекать энергию в виде шаровой работы. Несмотря на многочисленные попытки создать желанную ситуацию не удалось, ибо законы природы неумолимы и управляются отнюдь нечеловеческими эмоциями.

86 Внутренняя энергия является однозначной функцией состояния вещества и представляется полным дифференциалом, что и продиктовало обозначение dU. А вот произведенная работа Аи соответствующее количество тепла Q полными дифференциалами не являются.
7. Полная работа А при заданных по условию задачи особенностях процессов геометрически отображается площадью криволинейной трапеции и зависит от способа, которым осуществляется перевод системы изначального положения в конечное. Величины Аи не являются полными дифференциалами, они называются функционалами и зависят от вида функции p = f(V), описывающий переход изначального положения в конечное положение.
9. Первое начало термодинамики позволяет более точно определить понятие количества тепла. Количество тепла
Q есть количество внутренней энергии, переданной от одного тела другому без совершения работы первым телом над вторым. Из этого следует, что количество тепла понятие, проявляющееся только в каком либо конкретном процессе, те. количество тепла является формой передачи энергии. Количество тепла нельзя рассматривать как некоторый самостоятельный вид энергии, содержащийся в веществе, точно также как бессмысленно говорить о количестве, содержащейся в теле работы.
;
T
R
2 3
Q
A
;
T
2 3
A
U
A
Q
2 1
2 1
2 кДж 20 3
,
8 4
2 3
10 3
A
3 2
1







10. В подавляющем большинстве энергетическая сущность нашей теперешней цивилизации заключается в превращении тепла в работу. Все тепловые машины, включая двигатели внутреннего сгорания, то и делают, что внутреннюю энергию углеводородных топлив превращают в тепло, весьма неэффективно далее организуя трансформацию тепла в механическую работу.
11. С позиций молекулярно-кинетической теории тепловые машины должны уметь кинетическую энергию теплового хаотического движения молекул вещества превращать в полезную работу. Поскольку хаотическое тепловое движение молекул и атомов есть естественное состояние любого вещества, то энергии в окружающем нас пространстве должно быть не меряно, это действительно так. Однако в большинстве своём эта энергия абсолютно бесполезна по причине невозможности превращения её в работу. Эту энергию нельзя даже рассматривать в качестве гипотетических запасов, которые когда-либо, когда люди станут сильно умными, может быть использована для производства работы.
12. Возьмём кусок стали массой m = 1 кг и нагреем его на Т = 1000 К, при этом его внутренняя энергия изменится на величину Дж 6
,
4 10 1
460
T
cm
U
5 3








, где с
 460 Дж/(кгК) удельная теплоёмкость стали. Оценим далее, на какую высоту необходимо поднять не нагретый этот кусок стали над поверхностью земли, чтобы он приобрёл такую же величину потенциальной энергии м 6
,
4 10 1
10 6
,
4
mg
U
h
,
mgh
U
4 5









13. Но вот что замечательно, нагретый до столь высокой температуры типичный образец вещества, ни при каких обстоятельствах не отправится в полёт, а будет смирно лежать там, куда его поместили и растрачивать свою избыточную внутреннюю энергию окружающему пространству, переходя в состояние теплового равновесия. Стремление к равновесию является естественным направлением хода всех природных и технических процессов Следует особо подчеркнуть, что пришедшие в состояние равновесия тела, покинуть это состояние без влияния извне не могут.
14. Проведенные рассуждения и оценки говорят о том, что имеющиеся вокруг нас фантастические запасы энергии не могут превратиться в механическое движение ни при каких обстоятельствах. Печально конечно, а может, если вдуматься, то и нет. Уж больно человечество неосторожно в своих игрищах с источниками энергии. Следуя далее Китайгородскому, оценим энергетические изменения нашей планеты при понижении её средней температуры всего на Т = 1 КДж, где с
 920 Дж/(кгК) средняя удельная теплоёмкость Земли. Так вот, полученное значение изменения внутренней энергии нашей планеты практически в миллиард раз больше, чем величина энергии, вырабатываемой в течение года всеми электростанциями на Земле. Именно от таких оценок цепенеет буйная фантазия энтузиастов вечного движения. Как же, стоит только придумать устройство, использующее для производства работы только охлаждение среды, и человек снова счастлив и беззаботен на пару миллионов лета может быть и побольше. Но физическое существо мироздания к подобному стремлению повторно без особого напряга переселиться в Эдем, относится более чем категорично. Решение Дж 40 3
,
8 1
2 3
600
T
R
2 3
A
U
A
Q
2 1
*
2 Решение
1. Рассмотрим идеальный газ, находящийся в цилиндрическом сосуде под массивным поршнем. Если дно цилиндра привести на некоторое время в соприкосновение с телом, обладающим большей, чем окружающая среда температурой (нагревателем, то газ начнёт расширяться, совершая работу, связанную с увеличением потенциальной энергии поршня. В стадии нагревания изменение состояния газа (рабочего тела) можно охарактеризовать на pV диаграмме кривой а. Первое начало термодинамики позволяет записать следующее уравнение подобающее рассматриваемой ситуации
1 1
2 1
A
U
U
Q



Круговой процесс

88 2. Если в верхней точке своей прямолинейной траектории поршень соприкоснёт- ся с телом, температура которого ниже температуры газа (холодильником, произой- дёт охлаждение газа, что приведёт к уменьшению его объёма. Газ из состояния 2 по кривой 2b1 вернётся в исходное состояние 1, при этом
2 2
1 2
A
U
U
Q




Совмещая уравнения, получим
2 1
2 1
A
A
Q
Q



3. Уравнение демонстрирует, что рассматриваемое устройство совершило круговой процесс, при котором, нагреватель отдал рабочему телу тепло Q
1
, а холодильник приобрёл тепло в количестве Q
2
. Экономический коэффициент полезного действия тепловой машины можно представить традиционным образом кДж 75
,
0 10 3
1
N
1
Q
Q
;
Q
Q
1
Q
Q
Q
Q
A
4
X
X
Н
Х
Н
Н
Х
Н
1


















перейти в каталог файлов