Решение задач повышенной сложности Часть 2 Петропавловск-Камчатский

Решение
;
3
g a
g
T
T
;
ma mg
T
;
mg
T
1 2
2 Решение
1. Коэффициент сопротивления парашюта
;
v g
m k
;
0
kv g
m
;
0
F
g m
1 1
1 1
1







2. Скорость спуска с установившейся скоростью человека с малой массой см Решение
1. Уравнение второго закона Ньютона для стартующего с ускорением автобуса в проекции на направление движения




;
кН
15 3
,
0 7
,
0 10 15
g a
m mg Решение
1. Уравнение второго закона Ньютона в проекции на направление ускоренного движения бруска с учётом того, что нормальная реакция связи
N

, в данном случае вызвана действием горизонтальной силы
F

:
,
F
mg
F
ma где
F модуль силы трения, возникающей между вертикальной стенкой и бруском, вертикальная сила, необходимая для обеспечения заданного режима движения Решение
1. Ввиду отсутствия трения и сопротивления ускорение лыжника составит
;
sin g
g a
x



2. С другой стороны ускорение может быть определено через изменение скорости
;
sin g
v v
;
sin g
v v
a
1 2
1 2










3. Для определения расстояния, проделанного лыжником под уклон, воспользуемся кинематическим уравнением




;
sin g
2
v v
sin g
v sin g
v v
2
sin g
sin g
v
2
a v
x
2 1
2 1
2 2
2 1
2 1
2 м 10 100 Решение
1. Угол наклона плоскости к горизонту
;
37
h arcsin
0




2. Второй закон Ньютона в проекции на направление движения
;
cos mg sin mg ma







;
cos sin см Решение
1. Если автомобиль передне- приводной, то сила тяги приложена к передним шинам, а сила трения к задним шинам, уравнение второго закона Ньютона в проекции на направление ускоренного движения представится следующим образом
;
sin mg cos mg
F
ma x








;
sin g
cos mg a
m
F
x







24
;
1
cos
;
14
,
1 0







;
H
10 2
,
3 02
,
0 10 10 04
,
0 2
,
0 10 4
F
3 Решение
1. При рассмотрении разного рода движений, как правило, полагалось, что все движения совершаются относительно неподвижных, инерциальных систем координат, связанных с Землёй, которая по Аристотелю представлялась неподвижной. Однако с древнейших времен известно, что Земля вращается вокруг своей собственной оси, обеспечивая смену дня и ночи. Времена же года обусловлены движением третьей планеты Солнечной Системы по эллиптической траектории вокруг Солнца. Кроме того, Солнечная Система вместе с Землёй вращается вокруг галактического центра. Законы динамики одинаковы только в инерциальных системах отсчёта, это нетрудно показать. Рассмотрим две системы отсчёта, одна из которых, неподвижная система координат
(НСК) связана с Землёй, а вторая подвижная (ПСК), движется относительно НСК с постоянной по модулю скоростью
0
v

. Точка М, принадлежащая некому телу, совершает относительно подвижной системы отсчёта
{O,x,y,z} относительное движение. Движение подвижной системы координат относительно неподвижной системы координат называется переносным. Движение точки М относительно неподвижной системы координат называется абсолютным.
3. Движение точки М принято называть составным, потому что его можно разложить на два более простых движения, этот приём использовался ранее при разложении плоского движения колеса на поступательное движение центра масс и вращение вокруг центра масс.
4. Пусть движение точки М, принадлежащей твёрдому телу, задано в координатной форме тремя стандартными уравнениями
 
 
 

t f
z
;
t f
y
;
t f
x
3 2
1



5. Если из этих уравнений исключить время t, то получим уравнение траектории
L относительного движения. Проекции относительной скорости r
v
определятся в виде производных






dt dz v
;
dt dy v
;
dt dx v
rz ry rx
Относительное движение

25 6. Уравнения дают основание разложить вектор относительной скорости по подвижным осям координат ПСК k
dt dz j
dt dy i
dt dx k
v j
v i
v v
rz ry rx r













Положение точки относительно НСК можно представить в виде суммы радиус- векторов
R
r r
o





, но, как видно из построений k
z j
y i
x
R







, что даёт основание переписать уравнение в виде k
z j
y i
x r
r
0









7. Принимая в данном случае единичные векторы
 
k
,j
,
i



неизменными, при дифференцировании векторного уравнения можно получить уравнение абсолютной скорости точки М k
dt dz j
dt dy i
dt dx dt r
d dt r
d v
0
a











Абсолютная скорость точки представится следующим образом r
e a
v v
v





Таким образом, ели переносное движение является поступательным, то абсолютная скорость точки представляется геометрической суммой переносной и относительной скоростей этой точки.
Для ускорений точки уравнение получается после дифференцирования повремени уравнения абсолютной скорости k
dt z
d j
dt y
d i
dt x
d dt v
d dt v
d a
2 2
2 2
2 2
0
a a











, или r
0
a a
a a





8. Полученные уравнения, по сути, являют собой принцип относительности Галилея, на основании которого все законы Ньютона, в любой инерциальной системе отсчёта будут иметь идентичные формы, те. не будут отличаться, что указывает на равноправность таких систем.
Если же переносное движение будет ускоренным, то первый и второй закон Ньютона в традиционной форме неприменимы. Рассмотрим, движущуюся с постоянным ускорением a
платформу, на которой расположены два тела массами и m
1
, причём тело массой m покоится на подложке, а тело массой m
1
повешено на невесомой и нерастяжимой нити.
10. На покоящийся предмет, движущейся вместе с платформой с ускорением, действует сила трения Тело, висящее на нити, при ускоренном движении платформы отклоняется от положения статического равновесия, которое характеризуется отклонением нити подвеса на угол
, при этом
Ускоренное переносное движение

26



mgtg
F
,
a m
F
1 1
1


11. Тело, подвешенное на нити и отклонённое от положения равновесия, находится под действием силы тяжести g и силы натяжения нити T

. Геометрическая сумма этих сил образует, так называемую возвращающую силу
1
F

, которая стремится вернуть масса m
1
в положение статического равновесия, когда нить подвеса занимает вертикальное положение.
12. Поскольку под действием силы
1
F

тело не возвращается в состояние равновесия, а остаётся в откло- нённом состоянии, то это значит, что на тело действует ещё одна сила, равная по модулю силе
1
F

и противоположная ей по направлению. В этом случае говорят оси- ле инерции i
F

, которая не является результатом взаимодействия тела представляется как следствие ускоренного движения тела. Использование понятия таких сил позволяет использовать для ускоренно движущихся тел первый и второй законы Ньютона.
13. В общем случае для несвободной материальной точки массой m, находящейся под действием активной силы F

и движущейся с ускорением a
, второй закон Ньютона представляется следующим образом
N
F
a m





, где сила реакции связи. Перепишем уравнение в следующем виде


0
a m
N
F







, и введём следующее обозначение i
F
a m

 

14. Уравнение второго закона Ньютона представится следующим образом
0
F
N
F
i






. *
15. Сила
i
F

, равная по модулю произведению массы материальной точки на е ускорение и направленная в сторону противоположную ускорению, называется силой инерции точки.
16. Соотношение (*) является математическим выражением принципа Даламбера для несвободной материальной точки Во всякий момент движения материальной точки, приложенные к ней активная сила и сила реакции связи, как бы уравновешиваются условно приложенной к этой точке её силой инерции. Реально никакого уравновешивания не наблюдается, т.к. в ньютоновском понимании сил на точку действуют только две силы, активная сила
F

и реакция связи
N

, поэтому условие равновесия, получаемое в результате описанного действа, является воображаемым. Принцип Даламбера являет собой весьма удобный приём при решении первой задачи динамики, когда по заданным уравнениям движения и массе необходимо находить систему действующих сил. Принцип Д Аламбера позволяет упростить процесс составления уравнений движения точки.
17. Если точка движется по криволинейной траектории, то силу инерции по аналогии с ускорением удобно представлять в виде двух взаимно перпендикулярных составляющих касательную (тангенциальную) силу инерции
Возникновение силы инерции

27




a m
F
)
(
i


, направленную противоположно тангенциальной составляющей ускорения и нормальную центробежную) силу инерции n
)
n
(
i a
m
F




, вектор которой противоположен по направлению вектору нормального (центростремительного) ускорения. Уравнениям можно придать иной вид






2
)
n
(
i
)
(
i mv
F
;
dt v
d m
F



18. При решении практических задач силы инерции удобно представлять в виде проекций на оси координат















dt z
d m
ma
F
;
dt y
d m
ma
F
;
dt x
d m
ma
F
2 2
z iz
2 2
y iy
2 2
x ix
19. Понятие сил инерции появилось в механике не вдруг и не сразу. Дискуссии о них до настоящего времени ведутся в среде специалистов. Слово инерция в переводе с латинского буквально обозначает покой или бездействие. Все заморочки, возникающие с понятием инертности связаны стем, что не всё понятно с массой, которая, как известно, является мерой инертности. Природа массы к настоящему времени не вполне ясна. Принято считать, и не более того, что масса элементарной частицы на качественном уровне определяется комплексом физических полей. О силах инерции начали рассуждать в Древней Греции. Именно там впервые появился термин
«механе», который обозначал подъёмную машину в театре, предназначенную для транспортировки на сцену актёров, играющих роли древнегреческих богов. В работах Аристотеля можно усмотреть первые элементы динамики, хотя само понятие движения было расплывчатым. Направление движения, как правило не рассматривалось, акцент делался на анализ начального и конечного положения движущихся объектов. Так, например, Аристотель полагал, что движение, это изменение места. Эта сентенция натурфилософа приводила к некоторой двусмысленности. Следует ли вращение по круговой траектории считать движением, ведь, по сути, место тонеме- няется? Конечную и начальную точку в этом случае, не рассматривая направления движения задать затруднительно.
20. Аристотель, как уже отмечалось во введении, все движения делил на естественные и насильственные. Естественные движения, по его мнению, протекали сами собой, без воздействия сторонних сил. Насильственные движения непременно протекали в присутствии двигателя, который, собственно, и инициировал самодвижение. Двигатель Аристотель располагал либо в самом исследуемом теле либо вне- посредственном контакте с ним. В современном представлении естественное движение может быть истолковано, как движение по инерции. Но Древние Греки были иного мнения. Естественное движение происходило исключительно для того, чтобы тяжёлые тела занимали свои естественные места, например, на поверхности Земли.
Лёгкие тела, типа огня, стремились занять своё естественное положение, как можно дальше от поверхности земли в небесах. При этом естественные движения тяжёлых тел полагались прямолинейными, имеющими начальное положение и конечное, а для небес отводилось более совершенное круговое движение. Кстати поначалу даже Галилей, открывший закон инерции считал, что движение по инерции непременно должно быть круговым. Открытый закон инерции Галилей воспринимал, прежде
Сила инерции при вращении

всего, в виде его приложения к движению небесных тел, хотя позже, после открытия Ньютоном закона гравитации, оказалось, что небесные тела движутся по замкнутым траекториям вследствие действия на них гравитационных сил.
21. Впервые близкое к современным понятиям определение было сделано Ньютоном, которое в переводе с латыни АН. Крылова звучит следующим образом
«Врождённая сила материи, есть присущая ей способность сопротивления, по которой всякое отдельно взятое тело, поскольку оно предоставлено само себе, удерживает своё состояние покоя или равномерного прямолинейного движения.
22. Следует иметь ввиду, что бытовое употребление термина движется по инерции не всегда точно отражает суть происходящего. Говоря, например, о движении автомобиля с выключенным сцеплением или о качении бильярдного шара по поверхности игрового стола, нельзя считать движение инерциальным, т.к. в обоих случаях на движущиеся объекты всё-таки действуют силы трения и сопротивления.
23. Проявление сил инерции существенно отлично от проявления сил в их обычном понимании, поэтому на протяжении длительного времени даже в специальной литературе при употреблении определения сила инерции происходила путаница. Ясность внёс Д Аламбер, в свеем трактате, названном в духе того времени исчерпывающе Динамика Трактат в котором законы равновесия и движения тел сводятся к возможно меньшему числу и доказываются новым способом ив котором излагается общее правило для нахождения движения нескольких тел, действующих друг на друга произвольным образом. В трактате был специальный раздел, посвящённый силам инерции О силе инерции и вытекающих из неё свойствах движения. Д
Аламбер утверждал, совершенно справедливо, что пело приведенное в движение произвольной причиной, непременно должно двигаться равномерно и прямолинейно, пока следующая причина не выведет его из такового состояния.
24. Французский математики механик Лагранж (1736
 1813) в классическом произведении Аналитическая механика сформулировал общий принцип подхода а анализу движения механических систем, взяв за основу принцип Д Аламбера. Суть принципа такова При движении системы с идеальными связями (те. такими, реакции которых не могут произвести работы,
 без трения, без потерь энергии в этих связях) а каждый момент времени сумма элементарных работ всех активных сил (те. не реакций связи) и всех сил инерции на любом возможном перемещении системы будет равна нулю. Силы инерции и производимую ими работу Лагранж считал фиктивными, вводимыми исключительно из удобства анализа. Силу инерции Лагранж считал свойством тел. Принцип Лагранжа в своё время подвергся критике философов. Лагранж, по их мнению, предлагал решать задачи динамики методами статики, которая сама является частным случаем динамики, вот такое философическое несоответствие.
25. Несмотря на ясность общих теоретических принципов, дискуссия о силах инерции продолжается. В основном консенсуса, выражаясь в политических терминах, не находят теоретики и инженеры. При инженерных расчетах машин и механизмов конструкторы считают силы инерции реальными силами и учитывают их наряду с прочими при определении прочностных характеристик. И что характерно, хорошо всё получается. В соответствии с принципом Даламбера при добавлении к ньютоновским силам сил инерции (в данном случае) можно для определения веса тела применить второй закон Ньютона

29


;
a g
m ma mg
N






;
H
840 2
10 Решение
1. В соответствии с принципом Даламбера второй закон Ньютона применительно к заданным Мюнхгаузеном условиям запишется следующим образом


;
a g
m ma mg
N






;
H
656 8
,
1 10 Решение
1. В соответствии с принципом Даламбера второй закон Ньютона применительно к автомобилю, движущемуся по выпуклому мосту с постоянной по модулю скоростью и нормальным ускорением, запишется следующим образом
;
r v
g m
ma к 10 10 10 10 5
N
2 Решение
1. Линейно возрастающая сила обеспечивает ускоренное движение тел. Система уравнений, описывающих такое движение






;
F
a m
a m
;
T
a m
2 1
2 2. Определим ускорение тел в момент обрыва нити
;
m m
F
a
2 1


3. Сила натяжения нити определится при подстановке значения ускорения впер- вое уравнение системы

30
;
H
8 6
12 4
m m
F
m
T
2 Решение
1. Поскольку m
1
> m
2
, то ускоренное движение будет протекать в положительном направлении вертикальной оси. Запишем для каждого груза уравнение второго закона Ньютона в проекции на вертикальную ось с учётом того что, ввиду невесомости и нерастя- жимости нити и отсутствия трения нити о блок Т = T
2
= T









;
a m
g m
T
;
a m
T
g m
2 2
1 1
2. Из первого уравнения системы выразим натяжение Т a
m g
m
T
1 1


, и подставим это значение во второе уравнение a
m g
m a
m g
m
2 2
1 1





,

 

2 1
2 1
m m
g m
m a



,


2 1
2 1
m m
m m
g a



3. Определим натяжение нити, подставив значение ускорения в выражение для силы натяжения нити
2 1
2 1
2 1
2 1
2 1
2 1
2 1
m m
g m
m
2
m m
g m
m g
m g
m m
g m
T







H
4
,
2 5
,
0 10 2
,
0 3
,
0 2
T





; Решение
1. Линейная скорость вращающегося тела
;
r v


2. Нормальное ускорение тела
;
r r
r r
v a
2 2
2 2
n





3. Условие равновесия тела на вращающемся диске

31
;
H
135
,
0 3
,
0 9
10 5
r m
F
;
0
F
F
2 2
Тр
Тр Решение
1. В соответствии с принципом Даламбера второй закон Ньютона применительно к автомобилю, движущемуся по криволинейному участку траектории с постоянной по модулю скоростью и нормальным ускорением, запишется следующим образом
;
F
R
mv
R
2

2. Равенство по модулю силы трения и силы инерции обеспечивает нахождение автомобиля на стационарной круговой траектории Решение
1. Практика показывает, что одна и та же сила, будучи приложенной, в разных точках механической системы, вызывает различные типы движений. Если линия действия силы проходит через центр масс системы, то следует ожидать возникновения поступательного движения. В случае смещения линии действия силы на некоторое расстояние d, движение системы будет иметь вращательную составляющую относительно оси, проходящей через центр, перпендикулярно плоскости чертежа.
2. Действие силы на механическую систему или твёрдое тело, таким образом, исчерпывающе характеризуется тремя величинами модулем, направлением и линией действия Все три величины можно объединить в одну, введя понятие момента силы. Необходимо отметить, что моменты сил можно определять относительно центра (некой характерной точки) и оси, причём эти понятия связаны друг с другом, ноне являются эквивалентными. Их следует различать. Момент силы относи-
Движение под действием сил

32
тельно центра является величиной векторной, момент той же силы относительно оси представляется скалярной величиной, потому, что, по сути, представляется проекцией вектора момента силы на эту ось.
3. Пусть в точке А характеризуемой ра- диус-вектором r , приложена сила F

. Момент этой силы относительно центра О определится в виде векторного произведения
 


F
r
F
M
O

 


,
 
 
F
;
r О 4. Момент силы
 
F
M
o

не изменится, если точку приложения силы
F

перенести в любую точку, лежащую на линии её действия. Если точку приложения силы переместить в A*, которая охарактеризуется радиус-вектором
*
r

, то образуются два параллелограмма с одинаковыми площадями т.к. они имеют общее основание и одинаковые высоты. Это обстоятельство даёт возможность переносить силу по линии её действия, при этом момент силы не изменяется.
5. Вектор
 
F
M
O


направлен перпендикулярно плоскости, в которой располагаются векторы
F

и r , направление вектора момента силы определяется по правилу правого винта. Направление момента силы относительно точки можно определять по правилу НЕ. Жуковского вектор момента силы относительно неподвижного центра направлен перпендикулярно к плоскости, в которой лежат сила и центр О, таким образом, что сего конца можно видеть стремление силы вращать тело против движения часовой стрелки.
6. Момент силы относительно оси определяется в виде произведения модуля действующей силы на плечо, те. на кратчайшее расстояние между линией действия силы и осью, относительно которой определяется момент. Если сила
F

приложена в точке Аи требуется определить момент этой силы относительно оси z, то необходимо провести линию действия силы (голубая пунктирная линия) и найти кратчайшее расстояние между линией действия силы и осью, те. расстояние d, которое называется плечом силы F


 sin r
d

7. Момент силы считается положительным, если он стремится вращать тело или систему материальных точек против часовой стрелки. Отрицательным считается момент силы, стремящийся поворачивать тело в направлении, совпадающем сходом часовой стрелки
 
Fd sin r
F
F
M
z







8. Плечо силы применительно к данной задаче:
;
sin
AB
d




Момент силы относительно центра Момент силы относительно оси

Решение
 
;
cos
F
OB
F
|
F
M
|
Тр
Тр
Тр
O






перейти в каталог файлов