Решение задач повышенной сложности Часть 2 Петропавловск-Камчатский

Название	Решение задач повышенной сложности Часть 2 Петропавловск-Камчатский
Анкор	4. Решение задач повышенной сложности.pdf
Дата	11.05.2018
Размер	10.47 Mb.
Формат файла
Имя файла	4_Reshenie_zadach_povyshennoy_slozhnosti.pdf оригинальный pdf просмотр
Тип	Решение #40205
страница	5 из 11
Каталог		Образовательный портал Как узнать результаты егэ Стихи про летний лагерь 3агадки для детей

Образовательный портал Как узнать результаты егэ Стихи про летний лагерь 3агадки для детей

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

Решение
1. Всё началось в Древнем Китае. В 682 г. с.л. китайский алхимик Сунн Сымяо впервые описал горючую смесь, состоящую из селитры, серы и опилок. По сути это было описание пороха, который успешно использовался при организации фейерверков. В 808 г. другой китайский химик Цинь Сюйцзы предложил опилки заменять древесным углем, что, по мнению автора, повышало эффективность полёта развлекательных ракет. Известно, что принцип реактивного движения использовался задолго до упомянутых описаний, естественно, без каких бы тони было теоретических интерпретаций. В Китае до VI в. н.э. существовали специализированные мастерские по производству пороховых ракет. Полёт бамбуковых цилиндров с горючей смесью, с позиций современных представлений можно представить как движение тела с переменной массой. На рис. приведены примеры некоторых движущихся объектов, масса которых изменяется в процессе движения.
2. Эта разновидность движения, распространённая в живой природе, заинтересовала механиков-теоретиков относительно недавно, при попытках описания реактивных принципов движения. Эти принципы используются кальмарами, осьминогами, каракатицами, наутилусами и ещё целым рядом подводных обитателей.
3. Когда в классической механике говорят о переменной массе, то подразумевают, что изменение массы происходит не как следствие движения, а как процесс, обеспечивающий это движение. При рассмотрении движения объектов со скоростями соизмеримыми со скоростью света (с
 310 8
мс, например, в теории относительности, достаточно невнятно полагается, что масса находится в зависимости от скорости, причём изменения массы происходят не за счёт притока или оттока веще-
Движение тел с переменной массой

66
ства. Далее будут рассматриваться движения, происходящие со скоростями значительно меньшими скорости света. Изменение массы в виде потерь и приобретений происходит за счёт изменения во времени количества вещества.
4. Получим на основе второго закона Ньютона уравнение движения материальной точки с переменной массой, используя в качестве модели реактивный принцип движения, например ракету. В ракетном двигателе обеспечиваются условия выброса с большой скоростью продуктов сгорания топлива в направлении противоположном движению аппарата. На основании третьего закона Ньютона к ракете будет приложена сила, противоположная силе, возникающей при истечении из сопла продуктов сгорания топлива высокоскоростного газового потока. Ракета, при этом будет получать ускорение. Во многих случаях реактивного движения ракету можно рассматривать как замкнутую материальную систему, импульс которой не изменяется во времени. Эта концепция и положена в основу дальнейших рассуждений. Следует заметить, что такая постановка вопроса не совсем корректна, потому что главный вектор внешних сил, приложенный к ракете или к реактивному самолёту неэквивалентен нулю. На эти аппараты действуют силы гравитации и силы сопротивления. Однако для выяснения принципиальных основ реактивного движения этим можно поступиться.
5. Рассмотрим в качестве примера горизонтально летящий реактивный самолёт, обладающий массой m(t), которая изменяется во времени за счёт сгорания топлива.
6. В произвольный момент времени t самолёт имел скорость v
, а его импульс был равен

0
p

v m
. Через бесконечно малый промежуток времени dt Мааса и скорость самолёта получают приращения dm и v
d
, причём масса имеет отрицательный знак, т.к. связана со сгоранием некоторого количества топлива. Импульс само- лёта через время dt представится следующим образом



v d
v dm m
p
1






7. Для записи уравнения закона сохранения импульса к уравнению необходимо добавить импульс газов, образовавшихся за время dt g
2
v dm p
g

 
8. Из суммарного импульса самолёта и газов, при записи уравнения закона изменения импульса системы самолёт газы необходимо вычесть начальный импульс самолёта в момент времени t



dt
F
v m
v dm v
d v
dm m
g g










9. При раскрытии скобок в уравнении следует иметь ввиду, что произведение dm
dv представляет собой бесконечно малую величину высшего порядка, ей можно пренебречь. Следуя далее принципу сохранения массы, можно записать
0
dm dm Это обстоятельство позволяет исключить из уравнения массу газов dm g
, с другой стороны величина v
v v
g отн





представляет собой относительную скорость истечения газов. С учётом принятых допущений, закон сохранения перепишется в более простом виде
F
dt dm v
dt v
d m
отн





Реактивное движение

67 10. Полученное уравнение совпадает с известной формой записи второго закона Ньютона, правда, здесь имеет место масса, зависящая от времени. Кроме того, к внешней силе добавляется ещё одна величина, имеющая размерность силы, имеющая смысл реактивной силы тяги, те. силы с которой газы действуют на само- лёт. Уравнение реактивного движения впервые было получено Иваном Васильевичем Мещерским, профессором Ленинградского политехнического института в 1902 г. Применим к уравнению Мещерского закон сохранения импульса, полагая
0
F


dm v
v md отн



11. В проекции на направление движения самолёта уравнению можно придать скалярную форму m
v dm dv отн


12. Дифференциальное уравнение легко интегрируемо в предположении постоянства скорости истечения газов, в этом случае просто делятся переменные
C
m ln v
m dm
-v v
отн отн





13. Постоянную интегрирования С определим, используя начальные условия предположим, что при старте самолёта его масса m
0
, а скорость равна нулю
C
m ln v
0 0
отн



, откуда
0
отн lnm v
C

Подставим далее значение постоянной интегрирования С m
m ln v
v
,
lnm v
lnm
-v v
0
отн
0
отн отн




,
 отн
0
v v
exp m
m 
14. Последнее уравнение впервые предложил Константин Эдуардович Циолков- ский и использовал его для вычисления необходимого запаса топлива для сообщения ракетам необходимой скорости. Если ракете необходимо сообщить первую космическую скорость v
1
 8 км/с, то при истечении газов со скоростью v
отн
= 1 км/с отношение масс в уравнении Циолковского m
0
/m
 2980, те. вся масса ракеты, практически приходится на топливо.
15. В современных ракетных технологиях относительная скорость истечения газов не превосходит величины v отн
≤ 5 км/с, что делает ракеты на химическом топливе совершенно непригодными для путешествий к звёздам, если предполагать ещё и возвращение экипажа.
16. Уравнение Циолковского позволяет получить величину скорости, максимально достижимую ракетой т 0
отн m
m m
отн max m
m m
ln v
m dm v
v т 0






, где стартовая масса ракеты, m т
 масса топлива.
17. Применительно к упрощённым данным задачи, закон сохранения импульса запишется в виде см Решение
1. Высота подъёма снаряда в точке его разрыва
;
g
2
v h
2 0
0

2. Начальная скорость первого осколка определится из условия равенства его кинетической энергии у поверхности сумме потенциальной энергии и кинетической энергии, обусловленной скоростью осколков после разрыва снаряда
 
;
v gh
2
v
4
;
2
v m
gh m
2
v
2
m
2 1
0 2
0 2
1 1
0 1
2 0
1





;
3
v v
v
4
gh
2
v
4
v
0 2
0 2
0 0
2 0
1





3. Начальная скорость второго осколка
;
3
v
2
v
2
v
;
mv mv
2 0
1 2
2 1




4. Максимальная высота подъёма осколка меньшей массы м 2
v
12
v g
1
g v
6
g
2
v g
2
v h
h
;
2
v m
gh m
gh m
2 0
2 0
2 0
2 0
2 0
2 2
0
max
2 2
2 0
2
max
2
















139
. Платформа с установленным на ней танком общей массой М = 200 m движется со скоростью v
1
= 2,5 мс. Из орудия танка выпущен снаряд массой m со скоростью v
2
= 800 мс относительно платформы. Определить скорость платформы после выстрела, если а) выстрел произведён по направлению движения платформы б) выстрел произведён под углом
 = о к направлению движения. Решение
1. Запишем закон сохранения импульса для системы платформа, танк снаряд в случае выстрела походу движения платформы




m v
m
M
v v
m
M
2 1




;

 

m v
v m
M
m
M
v
2 1




; см Отрицательный знаку результирующей скорости указывает на то, что платформа станком после выстрела станет двигаться в сторону противоположную первоначальной. В случае выстрела под углом
 = о к горизонту, уравнение закона сохранения импульса примет вид см Решение
1. Потенциальная энергия тела в точке 1 при движении по круговой траектории уменьшается при опускании на некоторую величину


;
cos
1
mg mg
2 1











2. Закон сохранения механической энергии
;
g v
;
cos mg
2
mv
2 2
2







3. Нормальное (центростремительное) ускорение груза в точке траектории 2: см Решение
1. Потенциальная энергия шарика в точке 1:
;
R
3
mg
1


2. Потенциальная энергия в точке 3:
;
R
2
mg
2


3. Разность потенциальных энергий в точка и 3
;
mgR
mgR
2
mgR
3




4. Квадрат скорости шарика в верхней точке его круговой траектории определится законом сохранения механической энергии. Сила давления шарика на жёлоб в точке 3:
;
H
1
mg mg mg
2
mg
R
mv
F
2







70
2. Молекулярная физика. Газовые законы Решение
1. Объём озера
;
sh
V
O

3. Число молекул в заданной массе NaCl:
;
mN
N
;
N
N
m a
A





4. Концентрация молекул соли в озере
;
sh mN
sh
N
n a



5. Количество молекул соли в напёрстке:
;
10 1
10 85
,
5 10 10 2
10 2
10 6
10
V
sh mN
nV
N
6 3
7 6
23 Решение
На основании уравнения Клапейрона Менделеева кг 67
,
2
T
T
T
m m
;
T
m m
mT
;
RT
m m
pV
;
RT
m pV
2 2
1 2
2 1
2 Решение
На основании уравнения Клапейрона Менделеева Па 4
200 10 2
400
T
T
2
p p
;
T
2
T
p p
;
RT
m
2
V
p
;
RT
m
V
p
4 4
1 2
1 2
2 1
2 1
2 2
1 1



















Решение
1. Поскольку при изотермическом процессе
,
const тов качестве расчётной, можно выбрать любую точку заданного графика, например
;
м
1
,
0
V
;
Па
10 5
p
3 5



2. Уравнение Клапейрона Менделеева для выбранной реперной точки моль 150 3
,
8 1
,
0 10 Решение
1. Зависимость давления от абсолютной температуры является линейной, поэтому в качестве характерной может быть выбрана любая точка заданного графика, например Па 1
p
5



2. Уравнение Клапейрона Менделеева для выбранной реперной точки моль 30 3
,
8 4
,
0 10 Решение
1. Уравнение Клапейрона Менделеева для заданных состояний




;
кПа
100 2
,
1
p p
;
p p
p
2
,
2
;
1
,
1
p
2
p p
;
T
1
,
1
R
2
V
p Решение
1. Уравнение Клапейрона Менделеева для заданных состояний
;
K
10 26
,
1 28
,
0
T
T
;
T
T
T
72
,
0 1
);
T
T
(
R
V
6
,
0
p
2
,
1
;
RT
pV
3



















Решение
1. Уравнение Клапейрона Менделеева для заданных состояний


;
pT
pT
T
p pT
;
T
T
T
p p
p
);
T
T
(
R
V
p p
;
RT
pV






















;
K
75 10 2
300 10 5
p pT
T
5 Решение
1. Уравнение Клапейрона Менделеева для заданных состояний
;
V
9
V
;
RT
V
9
p
;
RT
pV
1 2
2 Решение
1. Соотношение между давлениями и объёмами дои после открытия крана дм p
p p
V
V
;
V
V
p
V
p
V
p
3 0
2 1
0 1
2 2
1 0
2 2
1 Решение
1. Соотношение между давлениями и объёмами дои после открытия крана


;
V
p
V
p
V
p
V
p
;
V
V
p
V
p
V
p
2 0
1 0
2 2
1 1
2 1
0 2
2 1
1









;
кПа
500 10 30 100 40 200
V
V
p
V
V
p p
1 2
2 2
1 0
1









Решение Па 6
,
0 2400
p p
П
П
Н




Решение мкг 3
3
П
Н
А











Решение
1. Плотность гелия

1
при заданной температуре Т = 290 К и давлении р = 10 5
Па мкг. Плотность окружающего шар воздуха при таких же условиях мкг В 2




3. Условие безразличного равновесия воздушного шара

 

;
m m
m
;
m
V
;
V
g Ш 2
Ш















;
кг
223 400 166
,
0 100 Решение
1. Плотность гелия

1
при заданной температуре Т = 290 К и давлении р = 10 5
Па мкг. Плотность окружающего шар воздуха при таких же условиях мкг В 2




3. Условие безразличного равновесия воздушного шара

 

;
m m
m
;
m
V
;
V
g m
m
O
1
He
1
He
1 кг 034
,
1 625 166
,
0
m m
m
1 2
O
1
He











Решение
1. Условие безразличного равновесия воздушного шара в воздухе :




1 2
2 1
3 2
1 2
V
)
m m
(
;
g m
g m
m где масса оболочки, масса корзины с аэронавтами, масса воздуха внутри оболочки
V
m
1 3


, плотность нагретого горелкой воздуха внутри шара.
2. Плотность воздуха внутри шарам кг 2500 600 2
,
1
V
m m
3 2
1 2
1








3. Масса, которую может поднять шар при заданных условиях




;
m
V
V
m
V
m
,
g m
m m
V
1 1
2 1
1 2
2 3
2 кг 400 24
,
0 10 5
,
2
m
3 Решение
1. Условие безразличного равновесия воздушного шара в воздухе


,
g m
g m
m gV
3 2
1 где масса оболочки, масса корзины с аэронавтами, масса воздуха в оболочке
V
m
1 3


, плотность нагретого горелкой воздуха.
2. Плотность воздуха внутри шарам кг 2500 600 2
,
1
V
m m
3 2
1 2
1








3. Масса, которую может поднять шар при заданных условиях




;
m
V
V
m
V
m
,
g m
m m
V
2 1
2 1
2 2
1 3
2 кг 200 24
,
0 10 5
,
2
m
3 Решение
1. Количество вещества под поршнем моль

75 2. Условие равновесия поршня при начальной температуре газа Т = 273 К Па 2
s
Mg p
p
5 0
1




3. Первоначальный объём, занимаемый газом под поршнем м 1
1 1
1 1
1






4. Будем считать, что подвижный поршень "отслеживает" давление, сохраняя его постоянством. Изменение объёма при увеличении температуры газа до Т = Км. Высота подъёма поршням Решение
1. Система уравнений, описывающих состояние газа при заданных температурах м h
;
T
T
h h
h
;
RT
h h
ps
;
RT
psh
1 1
2 2
1 Решение
1. Величина избыточного давления при установке на поршень груза Па 1
s mg p
5




2. Процесс изменения состояния газа в данном случае будет изохорным Па 1
p p
;
2 1
p p
p
;
T
2
R
V
p Решение
1. Начальное давление газа под поршнем Па 5
,
1
s mg p
p
5 0
1





76 2. Процесс изменения состояния газа в данном случае будет изохорным Па 5
,
1
p p
;
2 1
p p
p
;
T
2
R
V
p p
;
RT
pV
5


















3. Дополнительная масса, обеспечивающая изменение давления газа нар кг ps Решение
1. Введём следующие обозначениям мм 2. При горизонтальном положении трубки давление по обе стороны ртути одинаково и равно р, объём тоже одинаков


;
2
x
-
L
s
V

3. При вертикальном положении трубки давления и объемы в частях разделенных ртутью будут разными, для верхней части трубки верхней части










2
x
L
s
V
;
p
1 1
;





2
x
L
p x
L
p
;
V
p pV
1 1
1






4. Для нижней части трубки





2
x
L
p p
x
L
;
V
p pV
2 2
2






;
5. Условие равновесия столбика ртути при вертикальном положении трубки gx p
p
1 2



;
6. Подставим значение объёмов и давлений в уравнение
2 2
1 1
V
p
V
p

неизвестных величин р и р
;
2
x
L
pV
p
;
V
pV
p
;
2
x
L
pV
p
;
V
pV
p
2 2
2 1
1 1










 
;
gx
2
L
p
2
x
L
2
x
L
;
gx
2
x
L
pV
2
- x
-
L
pV





















;
кПа
51 32
,
0 6
,
0 10 72
,
2
x
L
4 4
x
L
gx p
4 2
2











Решение
1. Процесс изменения состояния газа изотермический
;
sh s
ma s
mg p
sh s
mg p
x
0 0


















;
h s
a g
m p
h s
mg p
x
0 0
















;
B
A
h h
;
h h
B
A
;
Bh
Ah Па 6
,
1 10 12 5
10
s a
g Па 5
,
1 10 10 5
10
s mg p
A
5 3
5 0
5 3
5 см 6
,
1 5
,
1 2
,
0
h





78
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

перейти в каталог файлов

Образовательный портал Как узнать результаты егэ Стихи про летний лагерь 3агадки для детей